Matemáticas104Actualizado 16 de oct de 202613 páginas

Ejercicios Resueltos: Funciones a Trozos, Parte Entera y Valor Absoluto

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Jessica Valeria Parra Idarraga@valeria.parra

Las funciones a trozos son funciones que tienen diferentes expresiones matemáticas según el valor de x que uses. Imagínate que es como un menú de restaurante: dependiendo de lo que elijas, obtienes algo diferente.

Funciones a trozos, parte entera y valor absoluto – página 1

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Funciones a trozos básicas

Las funciones a trozos te permiten usar diferentes fórmulas matemáticas dependiendo del valor de x. Es como tener varias funciones en una sola.

Para resolver estos problemas, necesitas identificar qué fórmula usar según el intervalo donde esté tu valor de x. Por ejemplo, si x < -5, usas una fórmula; si -5 ≤ x < -4, usas otra diferente.

El dominio es todos los valores de x que puedes usar (en este caso, todos los números reales). El rango son todos los valores de y que la función puede tomar.

💡 Tip clave: Siempre verifica en qué intervalo está tu valor de x antes de elegir la fórmula correcta.

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Encontrando ecuaciones de rectas

Para definir una función a trozos desde una gráfica, necesitas encontrar la ecuación de cada pedazo por separado. Cuando tienes una recta, usas la fórmula y = mx + b.

Primero encuentras la pendiente $m$ con la fórmula m = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ . Después sustituyes un punto en la ecuación para encontrar b.

Por ejemplo, con los puntos $-7,2$ y $-5,0$ : m = $0-2$ / $-5-(-7)$ = -2/2 = -1. Luego sustituyes: 2 = -1 $-7$ + b, entonces b = -5.

💡 Recuerda: Cada trozo de la gráfica tiene su propia ecuación, así que trabaja con cada pedazo por separado.

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Trabajando con círculos y semicírculos

Los cuartos de circunferencia usan la ecuación x² + y² = r². Para encontrar solo la parte superior, despejas y = √ $r² - x²$ .

Cuando tienes puntos como $-5,0$ y $-2,3$ , primero verificas si forman parte de un círculo. El radio lo encuentras con la distancia entre el centro y cualquier punto del círculo.

Para las semirrectas, el proceso es igual que con las rectas normales: encuentras la pendiente y luego el valor de b.

💡 Dato útil: Si solo necesitas la mitad superior de un círculo, siempre usas la raíz cuadrada positiva.

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Parábolas y funciones constantes

Las funciones constantes son las más fáciles: y = k (donde k es un número fijo). En la gráfica se ven como líneas horizontales.

Para las parábolas, usas la forma $x-h$ ² = 4p $y-k$ , donde (h,k) es el vértice. Con otro punto de la parábola puedes encontrar el valor de p.

Al final, escribes toda la función a trozos juntando todas las ecuaciones con sus respectivos intervalos. Cada pedazo tiene su dominio específico.

💡 Importante: Verifica que no haya "huecos" entre los intervalos de tu función final.

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Funciones complejas con múltiples formas

Las funciones a trozos complejas pueden incluir semirrectas, elipses, segmentos y parábolas en una sola función. Cada forma geométrica tiene su propia ecuación.

Para las semirrectas, el proceso es siempre el mismo: dos puntos te dan la pendiente, y luego encuentras b. La ecuación y = $3/2$ x + 9 sale de puntos como $-6,0$ y $-4,3$ .

Identificar correctamente cada forma en la gráfica es clave. Una vez que sabes si es recta, círculo, elipse o parábola, aplicas la fórmula correspondiente.

💡 Consejo: Dibuja cada trozo por separado para verificar que tu ecuación esté correcta.

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Elipses y semicircunferencias

Las semielipses usan la ecuación $x-h$ ²/b² + $y-k$ ²/a² = 1, donde (h,k) es el centro. Los valores de a y b los obtienes midiendo los ejes mayor y menor.

Para encontrar solo la parte superior de la elipse, despejas y y tomas la raíz positiva. Esto te da ecuaciones como y = 3√ $-x²-4x$ /2 + 3.

Los segmentos de recta horizontales son funciones constantes $y = 3$ . Son los trozos más fáciles de identificar y escribir.

💡 Truco: En las elipses, el eje más largo determina el valor de a, y el más corto determina b.

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Semicircunferencias y parábolas horizontales

Las semicircunferencias siguen la ecuación $x-h$ ² + $y-k$ ² = r². Para la parte inferior, usas la raíz negativa: y = -√ $4-(x-3)²$ + 2.

Las parábolas horizontales tienen la forma $y-k$ ² = 4p $x-h$ . El vértice te da (h,k), y otro punto te ayuda a encontrar p.

Con el vértice (5,2) y el punto (6,3), puedes calcular: $3-2$ ² = 4p $6-5$ , entonces 1 = 4p, y p = 1/4.

💡 Atención: Si la parábola abre hacia la derecha, p es positivo; si abre hacia la izquierda, es negativo.

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Función valor absoluto

Las funciones de valor absoluto como f $x$ = |2x-1| crean gráficas en forma de V. Para graficarlas, encuentras donde la expresión dentro del valor absoluto es cero.

En |2x-1|, igualas 2x-1 = 0, entonces x = 1/2. Este es el punto donde la gráfica "dobla" y cambia de dirección.

A la izquierda de x = 1/2, la función es - $2x-1$ = -2x+1. A la derecha, es 2x-1. Así obtienes la forma de V característica.

💡 Recordatorio: El valor absoluto siempre da resultados positivos, por eso la gráfica nunca está bajo el eje x.

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Valor absoluto de funciones cuadráticas

Con f $x$ = |x²-2x-3|, primero encuentras donde x²-2x-3 = 0. Factorizando: $x-3$$x+1$ = 0, entonces x = 3 y x = -1.

Entre x = -1 y x = 3, la función x²-2x-3 es negativa, así que el valor absoluto la "refleja" hacia arriba. Fuera de este intervalo, la función ya es positiva.

La función parte entera $[3x-1]$ te da el mayor entero menor o igual que 3x-1. Para graficarla, resuelves cuándo n ≤ 3x-1 < n+1.

💡 Tip importante: La función parte entera crea "escalones" horizontales en la gráfica.

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Gráficas de valor absoluto de funciones

Para graficar |f $x$ | cuando ya tienes la gráfica de f $x$ , mantienes igual la parte que está arriba del eje x. La parte que está abajo la "reflejas" hacia arriba.

Las funciones a trozos con valor absoluto combinan todo lo que has aprendido. Para f $x$ con |x+3|, |3x-1|, y x²-6x+7, graficas cada trozo en su intervalo correspondiente.

El dominio es $-2,4$ según los intervalos dados, y el rango lo determinas viendo los valores mínimos y máximos de y en la gráfica final.

💡 Estrategia final: Siempre verifica que tu gráfica sea continua donde los trozos se conectan.

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