Asignaturas
Matemáticas
20 de dic de 2025
119
5 páginas
Karol💫 @tatianaforero268_hjmo
Las funciones matemáticas son relaciones especiales que conectan elementos de un conjunto con elementos de otro, siguiendo una... Mostrar más
Las funciones son relaciones especiales entre dos conjuntos. Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación donde cada elemento de A se asocia con exactamente un elemento de B.
Cuando trabajamos con funciones, utilizamos la notación F A → B, donde A es el dominio (conjunto de salida) y B es el codominio (conjunto de llegada). El rango es el subconjunto de B que contiene todas las imágenes de los elementos de A.
Para representar que un elemento b es imagen de un elemento a en una función f, podemos usar diferentes notaciones como (a,b) ∈ f, a → b, o f(a) = b.
💡 Recuerda que lo que hace especial a una función es que cada elemento del dominio tiene exactamente una imagen en el codominio, ¡ni más ni menos!
Veamos un ejemplo concreto sea Z el conjunto de los enteros y f = {(x, y) y = x² - 10, x ∈ Z}. Esta relación es una función porque cada número entero x tiene una única imagen y = x² - 10.
En este caso, tanto el dominio como el codominio son el conjunto de los enteros (Z). Sin embargo, el rango es solo un subconjunto de Z, ya que no todos los enteros pueden expresarse como x² - 10 para algún entero x.
La función puede representarse gráficamente en el plano cartesiano, mostrando los pares ordenados (x, y) que satisfacen la relación. Cada punto representa una correspondencia entre un elemento del dominio y su imagen.
🔍 Es crucial siempre definir claramente el conjunto en el que está definida una función, ya que esto determina su dominio y afecta sus propiedades.
Para determinar si una relación es una función, debemos verificar que cada elemento del dominio tenga exactamente una imagen en el codominio. Esto puede hacerse de varias formas
En los diagramas de flechas, una relación es función si de cada elemento del conjunto A sale exactamente una flecha hacia el conjunto B. Si algún elemento no tiene flecha o tiene más de una, no es función.
En la representación cartesiana, cada punto en el plano representa un par (x,y) donde x pertenece al dominio e y es su imagen. Las coordenadas verticales (y) son las imágenes de las coordenadas horizontales (x).
🧠 Un truco útil si puedes dibujar una línea vertical que corte a la gráfica en más de un punto, entonces no estás ante una función. ¡Esto se conoce como la "prueba de la línea vertical"!
En las gráficas cartesianas, las imágenes son las coordenadas y de los puntos (x,y). Para cada valor x del dominio, f(x) nos da la altura correspondiente en el eje vertical.
Podemos verificar gráficamente si una relación es función utilizando la prueba de la línea vertical si al trazar líneas perpendiculares al eje x, alguna corta la curva en más de un punto, entonces no es una función. Esto ocurre porque un solo valor de x estaría asociado con múltiples valores de y.
Vamos a analizar un ejemplo la función f(x) = √. Para trabajar con esta función, necesitamos determinar su dominio y rango analizando la expresión algebraica y su gráfica.
💪 Cuando trabajes con funciones que involucran raíces cuadradas, recuerda que la expresión dentro de la raíz debe ser mayor o igual a cero para que la función esté definida en números reales.
Para la función f(x) = √, al elevar al cuadrado obtenemos y² = 25-x², que reorganizada como x² + y² = 25 representa una circunferencia con centro en el origen y radio 5. Sin embargo, como y = √ implica que y ≥ 0, la función corresponde solo al semicírculo superior.
Analizando la gráfica, determinamos que el dominio es el intervalo (valores de x donde la expresión bajo la raíz es no negativa) y el rango es (posibles valores de y).
En el segundo ejemplo, f(x) = √, determinamos el dominio considerando que la expresión bajo la raíz debe ser mayor o igual a cero x-2 ≥ 0, por tanto x ≥ 2. El dominio es [2, ∞) y el rango es [0, ∞).
🔑 Para encontrar el dominio de funciones con raíces cuadradas, establece la condición de que la expresión bajo la raíz sea ≥ 0 y resuelve la desigualdad. ¡Esta técnica te ahorrará muchos problemas!
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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Roberto
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Las funciones matemáticas son relaciones especiales que conectan elementos de un conjunto con elementos de otro, siguiendo una regla específica. En este tema aprenderás qué hace que una relación sea una función y cómo identificarlas tanto en notación matemática como... Mostrar más
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Las funciones son relaciones especiales entre dos conjuntos. Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación donde cada elemento de A se asocia con exactamente un elemento de B.
Cuando trabajamos con funciones, utilizamos la notación F: A → B, donde A es el dominio (conjunto de salida) y B es el codominio (conjunto de llegada). El rango es el subconjunto de B que contiene todas las imágenes de los elementos de A.
Para representar que un elemento b es imagen de un elemento a en una función f, podemos usar diferentes notaciones como: (a,b) ∈ f, a → b, o f(a) = b.
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Veamos un ejemplo concreto: sea Z el conjunto de los enteros y f = {(x, y): y = x² - 10, x ∈ Z}. Esta relación es una función porque cada número entero x tiene una única imagen y = x² - 10.
En este caso, tanto el dominio como el codominio son el conjunto de los enteros (Z). Sin embargo, el rango es solo un subconjunto de Z, ya que no todos los enteros pueden expresarse como x² - 10 para algún entero x.
La función puede representarse gráficamente en el plano cartesiano, mostrando los pares ordenados (x, y) que satisfacen la relación. Cada punto representa una correspondencia entre un elemento del dominio y su imagen.
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Para determinar si una relación es una función, debemos verificar que cada elemento del dominio tenga exactamente una imagen en el codominio. Esto puede hacerse de varias formas:
En los diagramas de flechas, una relación es función si de cada elemento del conjunto A sale exactamente una flecha hacia el conjunto B. Si algún elemento no tiene flecha o tiene más de una, no es función.
En la representación cartesiana, cada punto en el plano representa un par (x,y) donde x pertenece al dominio e y es su imagen. Las coordenadas verticales (y) son las imágenes de las coordenadas horizontales (x).
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En las gráficas cartesianas, las imágenes son las coordenadas y de los puntos (x,y). Para cada valor x del dominio, f(x) nos da la altura correspondiente en el eje vertical.
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Vamos a analizar un ejemplo: la función f(x) = √. Para trabajar con esta función, necesitamos determinar su dominio y rango analizando la expresión algebraica y su gráfica.
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Para la función f(x) = √, al elevar al cuadrado obtenemos y² = 25-x², que reorganizada como x² + y² = 25 representa una circunferencia con centro en el origen y radio 5. Sin embargo, como y = √ implica que y ≥ 0, la función corresponde solo al semicírculo superior.
Analizando la gráfica, determinamos que el dominio es el intervalo (valores de x donde la expresión bajo la raíz es no negativa) y el rango es (posibles valores de y).
En el segundo ejemplo, f(x) = √, determinamos el dominio considerando que la expresión bajo la raíz debe ser mayor o igual a cero: x-2 ≥ 0, por tanto x ≥ 2. El dominio es [2, ∞) y el rango es [0, ∞).
🔑 Para encontrar el dominio de funciones con raíces cuadradas, establece la condición de que la expresión bajo la raíz sea ≥ 0 y resuelve la desigualdad. ¡Esta técnica te ahorrará muchos problemas!
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Pablo
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Elena
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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David K
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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