Entendiendo la función inversa: Explicación y ejercicios

María Victoria Sarmiento-Pérez Pardo

17/12/2025

Matemáticas

Función inversa

Asignaturas

Matemáticas

•

17 de dic de 2025

•

4 páginas

Entendiendo la función inversa: Explicación y ejercicios

María Victoria Sarmiento-Pérez Pardo

@araictoriaarmientorezardo_hc3w

Las funciones inversas son una parte clave del álgebra que... Mostrar más

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$DD IMMI AA 12/12/23 Inverse funtion The inverse Function F (2) is dented F-1(x). It reverses the action of that function 80 $(fof^{-1})($

Funciones Inversas: Conceptos Básicos

Una función inversa se denota como $f^{-1}(x)$ y su trabajo es revertir lo que hace la función original. Cuando aplicas una función y luego su inversa $(f \circ f^{-1})(x)$ , el resultado debe ser $x$ .

Para que una función tenga inversa, debe ser biyectiva (uno a uno). Esto significa que para cada valor de $x$ hay un único valor de $y$ , y viceversa. Gráficamente, una función biyectiva pasa tanto la prueba de la línea vertical como la horizontal.

Dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ son inversas si y solo si cumplen que $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x$ . Esta es la prueba definitiva para verificar si dos funciones son inversas entre sí.

💡 Consejo útil: Para comprobar rápidamente si dos funciones son inversas, calcula la composición en ambas direcciones. Si ambas dan como resultado $x$ , entonces son funciones inversas.

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Verificación Algebraica de Funciones Inversas

Para determinar si dos funciones son inversas, existen dos métodos principales. Primero, puedes encontrar la inversa de una función y compararla con la otra. O puedes usar la composición para verificar directamente.

Tomemos como ejemplo $f(x) = -2x + 2$ y $g(x) = \frac{1}{2}x + 2$ . Para verificar, calculamos $g(f(x)) = \frac{1}{2}(-2x + 2) + 2 = -x + 1 + 2 = -x + 3$ . Como el resultado no es $x$ , estas funciones no son inversas.

El método alternativo es encontrar la inversa de $f(x)$ directamente:

Reemplaza $f(x)$ por $y$ : $y = -2x + 2$
Intercambia $x$ e $y$ : $x = -2y + 2$
Despeja $y$ : $y = \frac{x - 2}{-2}$
La inversa es $f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{-2}$ , que no coincide con $g(x)$

🔍 Recuerda: La mejor forma de confirmar si dos funciones son inversas es verificar si su composición en ambos sentidos da como resultado $x$ .

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Cálculo de Funciones Inversas

Para encontrar la inversa de una función, sigue estos pasos sistemáticos:

Reemplaza $f(x)$ por $y$
Intercambia las variables $x$ e $y$
Despeja $y$
Reemplaza $y$ por $f^{-1}(x)$

Por ejemplo, para $f(x) = 2x^3 + 4$ :

$y = 2x^3 + 4$
$x = 2y^3 + 4$
$x - 4 = 2y^3$
$y = \sqrt[3]{\frac{x - 4}{2}}$
$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x - 4}{2}}$

Con funciones más complejas como $f(x) = \sqrt{3x - 2}$ , seguimos el mismo proceso para obtener $f^{-1}(x) = \frac{y^2 + 2}{3}$ .

🧩 Truco importante: Cuando trabajes con funciones inversas que involucran raíces o potencias, presta especial atención a las restricciones del dominio para asegurar que la función sea biyectiva.

$DD IMMI AA 12/12/23 Inverse funtion The inverse Function F (2) is dented F-1(x). It reverses the action of that function 80 $(fof^{-1})($

Gráficos de Funciones Inversas

Los gráficos de funciones inversas son simétricos respecto a la línea $y = x$ . Esto significa que si $(a, b)$ está en el gráfico de $f(x)$ , entonces $(b, a)$ está en el gráfico de $f^{-1}(x)$ .

Cuando graficas una función como $g(x) = \frac{1}{2}x + 6$ , puedes determinar puntos clave como:

Intercepto en $y$ : $(0, 6)$
Intercepto en $x$ : $(-12, 0)$

Para encontrar la inversa gráficamente:

Dibuja la función original
Traza la línea $y = x$
Refleja cada punto del gráfico original sobre esta línea

Para una función como $g(x) = -2\sqrt{x} + 5$ , su inversa será $g^{-1}(x) = \frac{(x - 5)^2}{4}$ y sus puntos notables como $(0, 5)$ en la función original se transformarán en $(5, 0)$ en su inversa.

🌟 Visualízalo así: La función inversa "deshace" lo que hace la original. Si trazas una línea desde un punto en $f(x)$ hasta su correspondiente en $f^{-1}(x)$ , esta siempre pasará por la línea $y = x$ .

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