Encontrando la recta tangente

¿Cómo hallamos la recta tangente a una curva en un punto específico? Vamos a resolver un ejemplo práctico: encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto (3,3) para la curva $x^3 + y^3 = 6xy$.

Primero, verificamos que el punto (3,3) pertenezca a la curva reemplazando en la ecuación: $(3)^3 + (3)^3 = 27 + 27 = 54$ y $6(3)(3) = 54$. ¡Perfecto! El punto sí está en la curva.

Ahora, derivamos implícitamente la ecuación para encontrar la pendiente de la tangente:

• Derivamos $x^3 + y^3 = 6xy$ respecto a $x$
• Aplicamos la regla de la cadena: $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$
• Agrupamos los términos con $\frac{dy}{dx}$: $(3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = -3x^2 + 6y$
• Despejamos: $\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 + 6y}{3y^2 - 6x}$

¡Consejo! Al derivar implícitamente, recuerda que cada término con $y$ lleva consigo $\frac{dy}{dx}$ por la regla de la cadena.

Finalmente evaluamos la derivada en el punto (3,3): $\frac{dy}{dx}\bigg|_{(3,3)} = \frac{-3(9) + 18}{3(9) - 18} = \frac{-27 + 18}{27 - 18} = \frac{-9}{9} = -1$

Así, la pendiente de la recta tangente es $m = -1$.

La ecuación de la recta tangente

Con la pendiente $m = -1$ y el punto (3,3), podemos construir la ecuación de la recta tangente usando la fórmula punto-pendiente:

$y - y_0 = m(x - x_0)$

Sustituyendo nuestros valores: $y - 3 = -1(x - 3)$

Desarrollamos aplicando la propiedad distributiva: $y - 3 = -x + 3$

Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $y = -x + 6$

Recuerda: La ecuación de la recta tangente nos dice exactamente cómo se comporta la curva en ese punto específico, como si "congeláramos" su dirección en ese instante.

Esta ecuación $y = -x + 6$ representa nuestra recta tangente que toca la curva original en el punto (3,3), con una pendiente negativa que indica que la curva decrece en ese punto.