Partes de una elipse

Una elipse tiene varios componentes clave que necesitas conocer. El centro es el punto medio de la figura, mientras que los focos son dos puntos especiales ubicados en el eje mayor.

La distancia más larga en una elipse se denomina eje mayor (2a), mientras que la más corta es el eje menor (2b). La distancia focal (c) es la medida desde el centro hasta cualquiera de los focos.

Los vértices son los puntos extremos del eje mayor y del eje menor. Es importante recordar que los focos siempre se ubican en el eje mayor.

💡 Dato útil: Para cualquier elipse siempre se cumple la relación a² = b² + c², donde a, b y c son las medidas que acabamos de definir. ¡Esta fórmula te ayudará a resolver muchos problemas!

Ecuaciones de la elipse

Dependiendo de cómo esté orientada la elipse, tendremos diferentes ecuaciones. Si el eje mayor es horizontal, usamos la ecuación x²/a² + y²/b² = 1. Si es vertical, usamos x²/b² + y²/a² = 1.

Vamos a analizar un ejemplo: en la ecuación x²/25 + y²/16 = 1, podemos identificar que a = 5 y b = 4. Los vértices del eje mayor están en V₁(5,0) y V₂(-5,0), mientras que los vértices del eje menor están en V₃(0,4) y V₄(0,-4).

Para encontrar los focos, calculamos c usando la fórmula a² = b² + c², obteniendo c = 3. Por lo tanto, los focos están en F₁(3,0) y F₂(-3,0).

El lado recto (Lr) de una elipse es otra medida importante que se calcula como Lr = 2b²/a = 2·16/5 = 6.4.

💡 Recuerda: En una elipse horizontal, los focos y vértices del eje mayor se ubican sobre el eje x, mientras que en una vertical, están sobre el eje y.

Elipse con centro fuera del origen

Cuando el centro de la elipse no está en el origen, utilizamos ecuaciones más generales. Para una elipse horizontal: $x-h$²/a² + $y-k$²/b² = 1, donde (h,k) es el centro.

Para una elipse vertical usamos: $x-h$²/b² + $y-k$²/a² = 1.

Por ejemplo, para $x-3$²/9 + $y-1$²/4 = 1, tenemos una elipse horizontal con centro C(3,1), a = 3 y b = 2. Sus vértices son V₁(6,1), V₂(0,1), V₃(3,3) y V₄(3,-1).

Para encontrar los focos, calculamos c = √$a²-b²$ = √(9-4) = √5 ≈ 2.23. Así, los focos están en F₁(5.23,1) y F₂(0.77,1).

El lado recto se calcula como Lv = 2b²/a = 2·4/3 = 8/3 ≈ 2.6.

💡 Consejo práctico: Siempre identifica primero si la elipse es horizontal o vertical observando qué término tiene el denominador mayor (a²), ¡esto te ahorrará confusiones!

Encontrando la ecuación general de una elipse

A veces necesitarás encontrar la ecuación de una elipse a partir de puntos específicos. Veamos un ejemplo con los vértices V₁(-1,5), V₂(7,5) y focos F₁(0,5), F₂(6,5).

Con estos datos, podemos determinar que el centro está en C(3,5) (punto medio entre vértices). La distancia del centro a los vértices nos da a = 4, y la distancia del centro a los focos nos da c = 3.

Usando la relación a² = b² + c², calculamos b²: 16 = b² + 9, por lo tanto b² = 7 y b = √7 ≈ 2.64.

Ahora podemos escribir la ecuación de la elipse con centro en (3,5): $x-3$²/16 + $y-5$²/7 = 1

Si necesitamos la ecuación general, multiplicamos ambos lados por 112 (MCM de 16 y 7): 7$x-3$² + 16$y-5$² = 112

Desarrollando: 7x² - 42x + 63 + 16y² - 160y + 400 = 112 7x² + 16y² - 42x - 160y + 351 = 0

💡 Estrategia: Para encontrar el centro de una elipse, siempre calcula el punto medio entre los vértices opuestos. Esto te dará inmediatamente el punto (h,k).