Ejercicios de Cálculo de Probabilidades

¡Llegó el momento de poner en práctica todo lo que sabés sobre probabilidades! Esta colección de ejercicios te va a ayudar a dominar los conceptos más importantes del tema 3.

Los problemas que vas a resolver cubren desde distribuciones binomiales hasta el famoso teorema de Bayes. No te preocupes si al principio te parecen complicados - con práctica vas a ver que todos siguen patrones similares.

💡 Dato clave: La mayoría de problemas de probabilidad se resuelven identificando primero qué tipo de distribución o regla aplicar.

Distribución Binomial y Probabilidades Básicas

El primer ejercicio te muestra cómo usar la distribución binomial B(20; 0,6) para encontrar el número más probable de caras al lanzar monedas. La fórmula clave es que el valor más probable m cumple: n·p - q ≤ m ≤ n·p + p.

Para problemas de intersección y unión de eventos, recordá que P(A) = P(A∩B) + P(A∩B̄). Este tipo de descomposición es súper útil cuando tenés información parcial sobre los eventos.

Los ejercicios de eventos independientes como las acciones de la bolsa usan la fórmula: P(solo uno ocurra) = p₁$1-p₂$ + $1-p₁$p₂.

💡 Consejo: Siempre verificá que las probabilidades sumen 1 cuando trabajés con eventos que cubren todo el espacio muestral.

Probabilidad Condicional y Sistemas de Ecuaciones

Cuando tenés relaciones entre probabilidades (como "B es el doble de A"), plantear un sistema de ecuaciones es tu mejor estrategia. Usá las propiedades P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) para conectar la información.

La probabilidad condicional P(A|B) = P(A∩B)/P(B) te dice qué tan probable es A sabiendo que B ya ocurrió. En el ejercicio, P(B|A) = 1 significa que si A ocurre, B ocurre con certeza.

Para problemas de monedas con probabilidades diferentes, recordá que los eventos son independientes, así que P(solo una cara) = p₁$1-p₂$ + $1-p₁$p₂.

💡 Truco: Si P(B|A) es mayor que P(A|B), entonces B es más probable dado A que A dado B.

Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

El teorema de la probabilidad total es perfecto cuando tenés diferentes "fuentes" (como las máquinas A y B). La fórmula es P(D) = P(D|Mₐ)·P(Mₐ) + P(D|Mᵦ)·P(Mᵦ).

El teorema de Bayes te permite "dar vuelta" la probabilidad condicional: P(Mₐ|D) = $P(D|Mₐ)·P(Mₐ)$/P(D). Es súper útil para problemas de diagnóstico o identificación de origen.

En el problema de las urnas, fijate cómo después de extraer la primera bola, el problema se transforma. Tenés que considerar todas las posibles composiciones de la urna para la segunda extracción.

💡 Clave: El teorema de Bayes siempre requiere calcular primero la probabilidad total del denominador.

Aplicaciones del Teorema de Bayes en Situaciones Reales

El ejercicio del portero es un ejemplo perfecto de cómo aplicar Bayes en situaciones cotidianas. Primero calculás la probabilidad total de parar un penal: P(P) = P(P|T)·P(T) + P(P|S)·P(S).

Para eventos independientes repetidos (como los tres penales), simplemente multiplicás: P(los tres) = $P(uno)$³. En este caso, 0.75³ ≈ 0.42.

La parte más interesante es la "probabilidad hacia atrás": si no pararon el penal, ¿cuál es la probabilidad de que fuera el titular? Usás Bayes: P(T|no para) = P(no para|T)·P(T)/P(no para).

💡 Aplicación: Este tipo de razonamiento es el que usan los médicos para diagnósticos y los científicos para verificar hipótesis.

Probabilidades en Contextos Educativos

El problema del colegio combina probabilidad total y Bayes en un contexto escolar. Primero identificás las proporciones: 50 alumnos de quinto vs 40 de sexto, dando P(quinto) = 5/9.

Las tasas de error son diferentes por curso: 50% de quinto tiene faltas vs 30% de sexto. Esto crea un problema clásico de clasificación probabilística.

Cuando sabés que una redacción tiene faltas, Bayes te dice que es más probable que sea de quinto (67.68%) porque aunque hay menos alumnos de quinto, su tasa de error es mayor.

💡 Insight: Este razonamiento es fundamental en machine learning y sistemas de clasificación automática.

Demostraciones y Dados

La demostración del ejercicio 10 usa propiedades fundamentales de probabilidad. La clave está en manipular las relaciones entre eventos complementarios y usar que P(A∪B) ≥ 0 siempre.

El problema del dado bien construido te enseña a verificar independencia de eventos. Dos eventos A y B son independientes si P(A∩B) = P(A)·P(B).

En este caso, A = {4,5,6} y B = {3,6}, entonces A∩B = {6}. Como P(A)·P(B) = (3/6)·(2/6) = 1/6 = P(A∩B), los eventos son independientes.

💡 Método: Para verificar independencia, siempre calculá ambos lados de la ecuación P(A∩B) = P(A)·P(B).

Eventos Independientes vs Disjuntos

Es crucial entender la diferencia: eventos disjuntos no pueden ocurrir simultáneamente $P(A∩B) = 0$, mientras que eventos independientes no se afectan mutuamente $P(A∩B) = P(A)·P(B)$.

En el dado, A y B no son disjuntos porque ambos incluyen el resultado 6. Sin embargo, sí son independientes porque conocer que ocurrió A no cambia la probabilidad de B.

Esta distinción es fundamental porque muchos estudiantes confunden estos conceptos. Dos eventos pueden ser independientes pero no disjuntos, o disjuntos pero no independientes.

💡 Recuerda: Si dos eventos son disjuntos y ambos tienen probabilidad positiva, entonces NO pueden ser independientes.

Distribución Binomial con Moneda Sesgada

Con una moneda donde P(cara) = 0.3, cada lanzamiento sigue una distribución de Bernoulli. Para 5 lanzamientos, usás la distribución binomial B(5; 0.3).

La probabilidad de exactamente k caras es: P(k caras) = C(5,k) · (0.3)ᵏ · (0.7)⁵⁻ᵏ. El coeficiente binomial C(5,k) cuenta las formas de elegir posiciones para las caras.

Para "al menos 3 caras", sumás P(3) + P(4) + P(5). Para "más de 1 y menos de 4", sumás P(2) + P(3). Siempre verificá que estés incluyendo los casos correctos en tu suma.

💡 Estrategia: Para problemas de "al menos" o "como máximo", a veces es más fácil usar el complemento.

Combinatoria en Probabilidad y Poker

El último ejercicio muestra cómo la combinatoria se conecta con probabilidad. Para 2 cruces en 5 lanzamientos, hay C(5,2) = 10 formas diferentes de que ocurra.

Cada configuración específica (como ccCCC) tiene probabilidad (0.3)²(0.7)³, pero como hay 10 configuraciones equivalentes, multiplicás por 10.

El problema del poker (aunque no está completo) usa principios similares: contás los casos favorables y los dividís entre el total de manos posibles. En poker, necesitás dominar las combinaciones para calcular probabilidades de diferentes jugadas.

💡 Fundamental: En problemas de conteo, siempre preguntate: ¿importa el orden? Si no importa, usás combinaciones C(n,k); si importa, usás permutaciones.