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Mariana
14/12/2025
Matemáticas
Ejercicios y parciales resueltos: ECUACIONES DIFERENCIALES
62
•
14 de dic de 2025
•
Mariana
@mariana_a3d3l
Las ecuaciones diferenciales son herramientas matemáticas que describen cómo cambian... Mostrar más
Ecuaciones Diferenciales es una materia fundamental en matemáticas avanzadas que te prepara para entender fenómenos de cambio en física, ingeniería y ciencias naturales.
Este curso está estructurado en tres seguimientos que cubren desde los conceptos básicos hasta técnicas avanzadas de resolución. Dominar estas herramientas te dará ventaja en materias posteriores como física matemática y análisis numérico.
💡 Dato clave: Las ecuaciones diferenciales describen todo, desde el crecimiento poblacional hasta circuitos eléctricos. ¡Estás aprendiendo el lenguaje del cambio!
El curso se divide en tres seguimientos con temas progresivos. El primer seguimiento cubre métodos básicos como variables separables y ecuaciones exactas, fundamentales para construir tu base teórica.
El segundo seguimiento introduce ecuaciones lineales homogéneas y métodos como coeficientes indeterminados y variación de parámetros. Estos son esenciales para resolver problemas más complejos.
El tercer seguimiento se enfoca en transformadas de Laplace, una herramienta poderosa que convierte ecuaciones diferenciales en problemas algebraicos más fáciles de resolver.
📚 Consejo de estudio: Cada seguimiento construye sobre el anterior, así que asegúrate de dominar bien los conceptos básicos antes de avanzar.
Este seguimiento te introduce a los fundamentos de ecuaciones diferenciales. Aprenderás a clasificar ecuaciones por tipo, orden y linealidad, habilidades esenciales para elegir el método correcto de solución.
Los métodos principales incluyen variables separables (el más básico), ecuaciones lineales de primer orden, y ecuaciones exactas. También verás casos especiales como Bernoulli y Riccati.
Estos métodos resuelven la mayoría de problemas que encontrarás en aplicaciones prácticas. Dominar este seguimiento te dará confianza para enfrentar ecuaciones más complejas.
🎯 Meta de aprendizaje: Al final de este seguimiento, deberías identificar rápidamente qué método usar para cada tipo de ecuación diferencial.
Una ecuación diferencial es cualquier ecuación que contiene derivadas de una o más variables. Si solo hay una variable independiente, es una EDO (Ecuación Diferencial Ordinaria).
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece. Una ecuación es lineal cuando es lineal en la función y todas sus derivadas.
Las variables separables son las ecuaciones más simples: se escriben como dy/dx = f(x)g(y). El método consiste en separar variables y luego integrar ambos lados por separado.
🔧 Técnica práctica: Para variables separables, siempre reorganiza para tener todas las y's de un lado y todas las x's del otro antes de integrar.
Las ecuaciones lineales tienen la forma dy/dx + P(x)y = f(x). Se resuelven usando un factor integrante μ = e^∫P(x)dx que simplifica la ecuación.
Las ecuaciones exactas tienen la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, donde ∂M/∂y = ∂N/∂x. Esto significa que existe una función F(x,y) tal que dF = 0, y la solución es F(x,y) = C.
Para resolver ecuaciones exactas, integras M respecto a x, luego determinas la función g(y) usando la condición ∂F/∂y = N.
✅ Verificación rápida: Siempre verifica si ∂M/∂y = ∂N/∂x antes de intentar resolver como ecuación exacta.
Cuando una ecuación no es exacta , necesitas un factor integrante para convertirla en exacta.
Si /N depende solo de x, usa μ(x) = e^∫dx. Si /M depende solo de y, usa μ(y) = e^∫dy.
Una vez que encuentres el factor integrante, multiplica toda la ecuación por μ y resuelve como ecuación exacta normal.
💡 Truco importante: Si ninguna de las dos condiciones se cumple, busca factores integrantes especiales o usa otro método de solución.
Las ecuaciones homogéneas tienen coeficientes M y N que son funciones homogéneas del mismo grado. Se resuelven con la sustitución u = y/x, que las convierte en variables separables.
La ecuación de Bernoulli tiene la forma dy/dx + P(x)y = f(x)y^n. Cuando n ≠ 0 y n ≠ 1, usa la sustitución u = y^ para convertirla en lineal.
La ecuación de Riccati requiere conocer una solución particular y₁, luego usar y = y₁ + 1/v para reducirla a una ecuación lineal en v.
🔄 Estrategia clave: Las sustituciones transforman ecuaciones complejas en tipos que ya sabes resolver. ¡Es como traducir a un idioma conocido!
Para ecuaciones de la forma dy/dx = f, usa la sustitución u = Ax + By + C. Esto convierte la ecuación en variables separables.
Las ecuaciones de Riccati son especiales porque requieren dos pasos: primero necesitas una solución particular, luego aplicas la sustitución Y = Y₁ + 1/V para obtener una ecuación lineal.
Estos métodos de sustitución son herramientas poderosas que amplían tu arsenal para resolver ecuaciones que no encajan en las categorías básicas.
🎯 Punto clave: Reconocer cuándo usar cada sustitución es más importante que memorizar las fórmulas. Practica identificando patrones.
Variables separables: Reorganiza como dy/g(y) = f(x)dx, luego integra ambos lados. Ecuaciones lineales: Encuentra el factor integrante μ = e^∫P(x)dx y multiplica toda la ecuación.
Ecuaciones exactas: Verifica si ∂M/∂y = ∂N/∂x, luego encuentra F(x,y) integrando M respecto a x. No exactas: Calcula el factor integrante apropiado primero.
La clave del éxito es identificar rápidamente el tipo de ecuación y aplicar el método correcto. Con práctica, este proceso se vuelve automático.
📋 Lista de verificación: Siempre verifica tu solución sustituyéndola de vuelta en la ecuación original. ¡Es la mejor forma de confirmar que está correcta!
Las reglas de derivación básicas incluyen: derivada de constante = 0, derivada de x^n = nx^, y la regla de la cadena para funciones compuestas.
Para funciones trigonométricas: d/dx(sen x) = cos x, d/dx(cos x) = -sen x, d/dx(tan x) = sec²x. Estas aparecen frecuentemente en aplicaciones físicas.
Las integrales directas esenciales son: ∫x^n dx = x^/ + C, ∫e^x dx = e^x + C, ∫dx = ln|x| + C. También domina integración por partes y sustitución.
🔧 Herramienta fundamental: Tener estas fórmulas memorizadas acelera enormemente la resolución de ecuaciones diferenciales. ¡Son tu caja de herramientas matemática!
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Mariana
@mariana_a3d3l
Las ecuaciones diferenciales son herramientas matemáticas que describen cómo cambian las variables en función de sus derivadas. Este curso te enseñará métodos sistemáticos para resolver diferentes tipos de ecuaciones, desde variables separables hasta transformadas de Laplace.
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El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece. Una ecuación es lineal cuando es lineal en la función y todas sus derivadas.
Las variables separables son las ecuaciones más simples: se escriben como dy/dx = f(x)g(y). El método consiste en separar variables y luego integrar ambos lados por separado.
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Para resolver ecuaciones exactas, integras M respecto a x, luego determinas la función g(y) usando la condición ∂F/∂y = N.
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La ecuación de Riccati requiere conocer una solución particular y₁, luego usar y = y₁ + 1/v para reducirla a una ecuación lineal en v.
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Las integrales directas esenciales son: ∫x^n dx = x^/ + C, ∫e^x dx = e^x + C, ∫dx = ln|x| + C. También domina integración por partes y sustitución.
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Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Herramientas Inteligentes NUEVO
Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
Matemáticas
Inglés
Biologia
Química