Análisis de la función f(x) = 1/x

La función f(x) = 1/x es una función racional que no puede factorizarse. Al analizar sus puntos de corte con los ejes, descubrimos algo interesante: no corta al eje X ni al eje Y. Esto ocurre porque al intentar resolver la ecuación para y = 0, obtenemos 0 = 1/x, lo cual es imposible. De igual manera, para x = 0, obtenemos f(0) = 1/0, que es indefinido.

Esta función presenta una asíntota vertical en x = 0, lo que significa que cuando x se acerca a cero por derecha o izquierda, los valores de y tienden al infinito. También tiene una asíntota horizontal en y = 0 (el eje X), lo que indica que a medida que x se aleja hacia el infinito positivo o negativo, la función se aproxima al eje X sin tocarlo nunca.

Para graficarla correctamente, es útil elaborar una tabla de valores. Observamos que para valores negativos de x, obtenemos valores negativos de y, y para valores positivos de x, obtenemos valores positivos de y. Esto crea una simetría especial conocida como simetría respecto al origen.

💡 Truco para recordar: La función 1/x forma cuatro "ramas" que nunca tocan los ejes, creando cuatro regiones en el plano cartesiano: dos en el primer y tercer cuadrante.

Dominio y rango de f(x) = 1/x

¿Alguna vez te has preguntado qué valores puede tomar x en esta función? El dominio de f(x) = 1/x incluye todos los números reales excepto el cero. Esto se debe a que no podemos dividir por cero. Lo expresamos matemáticamente como:

Domf = ℝ - {0} = (-∞,0) ∪ (0,+∞)

De manera similar, el rango también excluye el cero, ya que 1/x nunca puede ser igual a cero sin importar qué valor de x elijamos (¡piénsalo, 1 dividido entre cualquier número nunca dará exactamente cero!). Por tanto:

Ranf = ℝ - {0} = (-∞,0) ∪ (0,+∞)

La gráfica resultante es una hipérbola que se distribuye en el primer y tercer cuadrante del plano cartesiano. La curva se acerca infinitamente a las asíntotas sin tocarlas jamás, creando ese característico patrón que parece "abrazar" los ejes X y Y sin nunca intersectarlos.

⚠️ Atención: Aunque el dominio y rango de esta función tienen la misma expresión algebraica, es importante entender que representan conjuntos diferentes: el dominio se refiere a los valores posibles de x, mientras que el rango a los valores posibles de y.