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Determinantes e Inversas de Matrices: Guía Fácil y Práctica con Ejemplos

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Sam

30/11/2025

Matemáticas

Determinantes e inversa

Asignaturas

Matemáticas

42

•

30 de nov de 2025

•

21 páginas

Determinantes e Inversas de Matrices: Guía Fácil y Práctica con Ejemplos

S

Sam

@tokyo_019

La matriz inversa es una herramienta matemática fundamental que nos... Mostrar más

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Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz

Inversa de una matriz

La inversa de una matriz es un concepto clave para resolver sistemas de ecuaciones. Cuando multiplicamos una matriz por su inversa, obtenemos la matriz identidad (similar a cuando multiplicas un número por su recíproco y obtienes 1).

Para una matriz A, su inversa se denota como A⁻¹, y cumple que A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I, donde I es la matriz identidad.

💡 ¡Recuerda! No todas las matrices tienen inversa. Solo aquellas que son "no singulares" o "invertibles" la poseen.

Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz

Aplicación de la inversa

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones escrito como A𝑥⃗ = 𝑏⃗, podemos usar la inversa para encontrar el valor de 𝑥⃗.

Si A tiene una matriz inversa, podemos multiplicar ambos lados por A⁻¹:

A⁻¹A𝑥⃗ = A⁻¹𝑏⃗ I𝑥⃗ = A⁻¹𝑏⃗ 𝑥⃗ = A⁻¹𝑏⃗

Esta es una forma directa de resolver sistemas de ecuaciones cuando conocemos la inversa.

Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz

Definición de la inversa

La inversa de una matriz cuadrada A se denota como A⁻¹ y es única cuando existe.

Es importante entender que no todas las matrices tienen inversa. Las matrices que no tienen inversa se llaman matrices singulares o no invertibles.

Cuando una matriz tiene inversa, decimos que es invertible o no singular, y esta propiedad es crucial en muchas aplicaciones matemáticas.

Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz

Condición de existencia

Una matriz cuadrada de tamaño nxn tiene inversa si y solo si existen n pivotes diferentes de cero cuando aplicamos eliminación gaussiana.

Visualmente, esto significa que podemos convertir la matriz original en una forma triangular superior donde todos los elementos de la diagonal principal son diferentes de cero:

[a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33]→[u11−− 0u22− 00u33]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} u_{11} & - & - \ 0 & u_{22} & - \ 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix}

🔑 Concepto clave: Si alguno de los pivotes (valores u₁₁, u₂₂, u₃₃...) es cero, la matriz no tendrá inversa.

Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz

Unicidad de la inversa

Cuando una matriz A tiene inversa, esta inversa es única. Esto significa que no puede haber dos matrices diferentes que sean ambas la inversa de A.

Matemáticamente, si tenemos dos matrices B y C tales que BA = I y AC = I, entonces B = C.

Esta propiedad garantiza que cuando calculamos la inversa de una matriz, estamos encontrando la única solución posible.

Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz

Sistemas homogéneos

Si una matriz A tiene inversa y tenemos el sistema homogéneo A𝑥⃗ = 0⃗, entonces la única solución posible es 𝑥⃗ = 0⃗ (el vector nulo).

Esto se demuestra fácilmente: si A𝑥⃗ = 0⃗, entonces multiplicando por A⁻¹: A⁻¹A𝑥⃗ = A⁻¹0⃗ I𝑥⃗ = 0⃗ 𝑥⃗ = 0⃗

Por lo tanto, si una matriz invertible multiplica a un vector y da como resultado el vector cero, ese vector debe ser el vector cero.

Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz

Inversa de una matriz 2x2

Para matrices 2x2, existe una fórmula directa para calcular la inversa:

Si A=[ab cd]A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}, entonces:

A−1=1ad−bc[d−b −ca]A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}

El término ad-bc es el determinante de la matriz A. Si este determinante es cero, entonces A⁻¹ no existe y decimos que A es singular.

🧠 Truco: Para recordar la fórmula, intercambia los elementos de la diagonal (a↔d), cambia el signo de los otros elementos, y divide todo por el determinante.

Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz

Método de la matriz adjunta

Para calcular la inversa de una matriz, podemos usar la fórmula general:

A−1=1det(A)⋅Adj(A)A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot Adj(A)

Donde:

  • det(A) es el determinante de la matriz
  • Adj(A) es la matriz adjunta, que se obtiene como la transpuesta de la matriz de cofactores

Para una matriz 2x2 A=[ab cd]A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}:

  1. Calculamos su determinante: det(A) = ad-bc
  2. Formamos la matriz de cofactores
  3. Transponemos esta matriz para obtener la adjunta
  4. Dividimos por el determinante
Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando filas por columnas. Se denota como A^T.

Por ejemplo: A=[ab cd]A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} → AT=[ac bd]A^T = \begin{bmatrix} a & c \ b & d \end{bmatrix}

La transpuesta es una operación fundamental que usarás con frecuencia al trabajar con matrices, especialmente al calcular inversas usando el método de la matriz adjunta.

Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz

Inversa de una matriz diagonal

Una matriz diagonal tiene todos sus elementos fuera de la diagonal principal iguales a cero.

Para una matriz diagonal D=[d100 0d20 00d3]D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & 0 \ 0 & d_2 & 0 \ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}, su inversa es:

D−1=[1/d100 01/d20 001/d3]D^{-1} = \begin{bmatrix} 1/d_1 & 0 & 0 \ 0 & 1/d_2 & 0 \ 0 & 0 & 1/d_3 \end{bmatrix}

La inversa de una matriz diagonal existe siempre que todos los elementos de la diagonal sean diferentes de cero. Para calcularla, simplemente tomamos el recíproco de cada elemento diagonal.

⚡ Ventaja: Las matrices diagonales son especialmente fáciles de invertir, lo que las hace muy útiles en aplicaciones prácticas.

Inversa de una matriz Dado Ax = 5 AA = AA' = 1 Una forma de encontrar x AAR = A es сото A'A = I entonces -A A' → es la inversa de la matriz
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Sarah L

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

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Determinantes e Inversas de Matrices: Guía Fácil y Práctica con Ejemplos

S

Sam

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La matriz inversa es una herramienta matemática fundamental que nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales. Conocer sus propiedades y cómo calcularla te dará ventaja en álgebra lineal. Aprenderás a determinar cuándo existe la inversa y cómo encontrarla usando diferentes... Mostrar más

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La inversa de una matriz es un concepto clave para resolver sistemas de ecuaciones. Cuando multiplicamos una matriz por su inversa, obtenemos la matriz identidad (similar a cuando multiplicas un número por su recíproco y obtienes 1).

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💡 ¡Recuerda! No todas las matrices tienen inversa. Solo aquellas que son "no singulares" o "invertibles" la poseen.

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Si A tiene una matriz inversa, podemos multiplicar ambos lados por A⁻¹:

A⁻¹A𝑥⃗ = A⁻¹𝑏⃗ I𝑥⃗ = A⁻¹𝑏⃗ 𝑥⃗ = A⁻¹𝑏⃗

Esta es una forma directa de resolver sistemas de ecuaciones cuando conocemos la inversa.

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Definición de la inversa

La inversa de una matriz cuadrada A se denota como A⁻¹ y es única cuando existe.

Es importante entender que no todas las matrices tienen inversa. Las matrices que no tienen inversa se llaman matrices singulares o no invertibles.

Cuando una matriz tiene inversa, decimos que es invertible o no singular, y esta propiedad es crucial en muchas aplicaciones matemáticas.

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Matemáticamente, si tenemos dos matrices B y C tales que BA = I y AC = I, entonces B = C.

Esta propiedad garantiza que cuando calculamos la inversa de una matriz, estamos encontrando la única solución posible.

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Esto se demuestra fácilmente: si A𝑥⃗ = 0⃗, entonces multiplicando por A⁻¹: A⁻¹A𝑥⃗ = A⁻¹0⃗ I𝑥⃗ = 0⃗ 𝑥⃗ = 0⃗

Por lo tanto, si una matriz invertible multiplica a un vector y da como resultado el vector cero, ese vector debe ser el vector cero.

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Inversa de una matriz 2x2

Para matrices 2x2, existe una fórmula directa para calcular la inversa:

Si A=[ab cd]A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}, entonces:

A−1=1ad−bc[d−b −ca]A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}

El término ad-bc es el determinante de la matriz A. Si este determinante es cero, entonces A⁻¹ no existe y decimos que A es singular.

🧠 Truco: Para recordar la fórmula, intercambia los elementos de la diagonal (a↔d), cambia el signo de los otros elementos, y divide todo por el determinante.

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Para calcular la inversa de una matriz, podemos usar la fórmula general:

A−1=1det(A)⋅Adj(A)A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot Adj(A)

Donde:

  • det(A) es el determinante de la matriz
  • Adj(A) es la matriz adjunta, que se obtiene como la transpuesta de la matriz de cofactores

Para una matriz 2x2 A=[ab cd]A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}:

  1. Calculamos su determinante: det(A) = ad-bc
  2. Formamos la matriz de cofactores
  3. Transponemos esta matriz para obtener la adjunta
  4. Dividimos por el determinante
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Por ejemplo: A=[ab cd]A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} → AT=[ac bd]A^T = \begin{bmatrix} a & c \ b & d \end{bmatrix}

La transpuesta es una operación fundamental que usarás con frecuencia al trabajar con matrices, especialmente al calcular inversas usando el método de la matriz adjunta.

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Inversa de una matriz diagonal

Una matriz diagonal tiene todos sus elementos fuera de la diagonal principal iguales a cero.

Para una matriz diagonal D=[d100 0d20 00d3]D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & 0 \ 0 & d_2 & 0 \ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}, su inversa es:

D−1=[1/d100 01/d20 001/d3]D^{-1} = \begin{bmatrix} 1/d_1 & 0 & 0 \ 0 & 1/d_2 & 0 \ 0 & 0 & 1/d_3 \end{bmatrix}

La inversa de una matriz diagonal existe siempre que todos los elementos de la diagonal sean diferentes de cero. Para calcularla, simplemente tomamos el recíproco de cada elemento diagonal.

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App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

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Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

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Roberto

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