Cálculo de derivadas por definición

La derivada de una función se calcula mediante el límite: $\lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$. Esta fórmula mide el cambio instantáneo de la función en cualquier punto.

Para calcular la derivada de una función como $F(x) = 3x+2$, necesitamos seguir estos pasos:

1. Calcular $F(x+h)$ reemplazando cada $x$ por $(x+h)$
2. Restar $F(x)$ y dividir todo por $h$
3. Calcular el límite cuando $h$ tiende a 0

💡 Recuerda que la derivada representa la pendiente de la tangente a la curva en un punto específico.

Veamos un ejemplo completo:

• Para $F(x) = 3x+5$, primero calculamos $F(x+h) = 3(x+h)+5 = 3x+3h+5$
• Luego formamos el límite: $\lim_{h\to 0} \frac{3x+3h+5-(3x+5)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{3h}{h} = 3$
• Por tanto, $F'(x) = 3$, lo cual significa que esta función tiene una tasa de cambio constante.

Reglas de derivación

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas de forma más rápida sin usar siempre la definición por límite. Conocerlas te ahorrará mucho tiempo en tus exámenes.

Para funciones constantes, la regla es simple: si $F(x) = K$ (cualquier constante), entonces $F'(x) = 0$. Esto significa que las funciones constantes no cambian, así que su tasa de cambio es cero.

La regla de la potencia es una de las más utilizadas: si $F(x) = x^n$, entonces $F'(x) = n·x^{n-1}$. Por ejemplo:

• Si $F(x) = x^3$, entonces $F'(x) = 3x^2$
• Si $F(x) = x^{1/2}$ (raíz cuadrada), entonces $F'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$
• Si $F(x) = x^{-3}$, entonces $F'(x) = -3x^{-4}$

🔑 Cuando trabajes con raíces, recuerda que $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$ para aplicar correctamente la regla de la potencia.

Para funciones más complejas, usamos la regla del producto: si $F(x) = u(x)·v(x)$, entonces $F'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)$. Esta regla es esencial cuando necesitas derivar el producto de dos funciones diferentes.