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Matemáticas
11 de dic de 2025
198
4 páginas
Val ;) @studywith.val
Las derivadas son una herramienta matemática fundamental que nos permite analizar cómo cambia una función. Estudiaremos desde variaciones... Mostrar más
Las derivadas nos ayudan a entender cómo cambia una función. Existen tres tipos importantes de variaciones que debes conocer la variación, la variación media y la variación instantánea.
La variación es simplemente la diferencia entre dos valores de la función f(b)-f(a). La variación media nos indica el promedio de cambio y se calcula como /. Por ejemplo, para f(x) = 5x³-2x+10 en el intervalo , la variación media es 33.
La variación instantánea (o derivada) se define como el límite cuando h tiende a 0 de /h. Esta es la herramienta más poderosa, pues nos da el cambio exacto en un punto específico.
💡 Consejo clave Para calcular derivadas rápidamente, recuerda la regla de la potencia si f(x)=xⁿ, entonces f'(x)=nxⁿ⁻¹. ¡Te ahorrará mucho trabajo!
Cuando derivamos funciones complejas, necesitamos reglas específicas que nos faciliten el trabajo. Las dos primeras son la derivada del producto y del cociente.
Para la derivada de un producto usamos la fórmula (f·g)' = f'·g + f·g'. Por ejemplo, al derivar , multiplicamos la derivada del primer término por el segundo, luego el primer término por la derivada del segundo, y sumamos. Esto nos da 12x³+3x²+1.
La derivada de un cociente se calcula con ' = /g². Esto puede parecer complicado, pero solo requiere práctica. Por ejemplo, al derivar /, seguimos esta fórmula paso a paso para obtener /².
Estas técnicas te permiten derivar expresiones complejas dividiéndolas en operaciones más sencillas. Recuerda organizar tus cálculos para evitar errores y verificar cada paso.
La regla de la cadena es una herramienta poderosa para derivar funciones compuestas. Se aplica cuando tienes una función dentro de otra, como en y = ⁸.
Para aplicarla, identifica la función externa e interna. Luego, multiplica la derivada de la función externa (evaluada en la función interna) por la derivada de la función interna. En nuestro ejemplo y' = 8⁷· = ⁷.
Esta regla también funciona con exponentes negativos y fraccionarios. Por ejemplo, para y = ⁻²¹, obtenemos y' = 42x/²². Para raíces cuadradas como y = ¹/² derivamos como y' = /√.
🔍 Atención Al trabajar con potencias fraccionarias o raíces, primero escribe la expresión como potencia para aplicar la regla de la cadena correctamente.
Las funciones exponenciales aparecen frecuentemente en problemas de crecimiento y decaimiento. Su derivación requiere una técnica especial.
La derivada de una función exponencial e^f(x) es e^f(x)·f'(x). Es decir, mantenemos la función exponencial original y la multiplicamos por la derivada del exponente. Por ejemplo, para y = e^, la derivada es y' = e^·.
Con funciones exponenciales más complejas, combinamos la regla de la cadena. Para y = e^, primero derivamos el exponente ³ usando la regla de la cadena, obteniendo 3²·, y luego multiplicamos todo por la exponencial original.
🌟 Recuerda La derivada de e^x es e^x misma, lo que hace que las funciones exponenciales sean únicas y especiales en cálculo. ¡Esto te será muy útil en aplicaciones de física y economía!
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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Las derivadas son una herramienta matemática fundamental que nos permite analizar cómo cambia una función. Estudiaremos desde variaciones medias hasta técnicas específicas de derivación, lo que te permitirá resolver problemas de tasa de cambio y optimización en diferentes situaciones.
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Las derivadas nos ayudan a entender cómo cambia una función. Existen tres tipos importantes de variaciones que debes conocer: la variación, la variación media y la variación instantánea.
La variación es simplemente la diferencia entre dos valores de la función: f(b)-f(a). La variación media nos indica el promedio de cambio y se calcula como /. Por ejemplo, para f(x) = 5x³-2x+10 en el intervalo , la variación media es 33.
La variación instantánea (o derivada) se define como el límite cuando h tiende a 0 de /h. Esta es la herramienta más poderosa, pues nos da el cambio exacto en un punto específico.
💡 Consejo clave: Para calcular derivadas rápidamente, recuerda la regla de la potencia: si f(x)=xⁿ, entonces f'(x)=nxⁿ⁻¹. ¡Te ahorrará mucho trabajo!
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Cuando derivamos funciones complejas, necesitamos reglas específicas que nos faciliten el trabajo. Las dos primeras son la derivada del producto y del cociente.
Para la derivada de un producto usamos la fórmula (f·g)' = f'·g + f·g'. Por ejemplo, al derivar , multiplicamos la derivada del primer término por el segundo, luego el primer término por la derivada del segundo, y sumamos. Esto nos da 12x³+3x²+1.
La derivada de un cociente se calcula con ' = /g². Esto puede parecer complicado, pero solo requiere práctica. Por ejemplo, al derivar /, seguimos esta fórmula paso a paso para obtener /².
Estas técnicas te permiten derivar expresiones complejas dividiéndolas en operaciones más sencillas. Recuerda organizar tus cálculos para evitar errores y verificar cada paso.
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La regla de la cadena es una herramienta poderosa para derivar funciones compuestas. Se aplica cuando tienes una función dentro de otra, como en y = ⁸.
Para aplicarla, identifica la función externa e interna. Luego, multiplica la derivada de la función externa (evaluada en la función interna) por la derivada de la función interna. En nuestro ejemplo: y' = 8⁷· = ⁷.
Esta regla también funciona con exponentes negativos y fraccionarios. Por ejemplo, para y = ⁻²¹, obtenemos y' = 42x/²². Para raíces cuadradas como y = ¹/² derivamos como y' = /√.
🔍 Atención: Al trabajar con potencias fraccionarias o raíces, primero escribe la expresión como potencia para aplicar la regla de la cadena correctamente.
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Las funciones exponenciales aparecen frecuentemente en problemas de crecimiento y decaimiento. Su derivación requiere una técnica especial.
La derivada de una función exponencial e^f(x) es e^f(x)·f'(x). Es decir, mantenemos la función exponencial original y la multiplicamos por la derivada del exponente. Por ejemplo, para y = e^, la derivada es y' = e^·.
Con funciones exponenciales más complejas, combinamos la regla de la cadena. Para y = e^, primero derivamos el exponente ³ usando la regla de la cadena, obteniendo 3²·, y luego multiplicamos todo por la exponencial original.
🌟 Recuerda: La derivada de e^x es e^x misma, lo que hace que las funciones exponenciales sean únicas y especiales en cálculo. ¡Esto te será muy útil en aplicaciones de física y economía!
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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