Matemáticas
4 de dic de 2025
41
7 páginas
Cristal @maria_rmz
Los cuerpos de revolución son figuras tridimensionales que se forman al hacer girar una figura plana alrededor de... Mostrar más
¿Sabías que muchos objetos cotidianos como latas de refresco, conos de helado y pelotas son cuerpos de revolución? Estos se forman cuando una figura plana gira alrededor de un eje en un plano cartesiano.
Los tres tipos principales son el cilindro, el cono y la esfera. Cada uno tiene fórmulas específicas que te permiten calcular su área y volumen de manera precisa.
El cilindro es como un tubo con dos bases circulares. Sus fórmulas principales son perímetro de la base , área de la base , volumen , área lateral y área total .
Tip clave Memoriza que en el cilindro siempre multiplicas el área de la base por la altura para obtener el volumen.
El cono es como un sombrero puntiagudo con una base circular. Para calcularlo necesitas la generatriz (g), que es la línea desde el vértice hasta el borde de la base.
Las fórmulas del cono son área de la base , área lateral , área total y volumen . Nota que el volumen es un tercio del cilindro equivalente.
La esfera es la más simple en fórmulas pero requiere precisión. Solo necesitas área total y volumen .
El ejemplo práctico muestra un cilindro con radio 8.3 cm y altura 27.5 cm, donde se calcula AT = 1865.89 cm², AL = 1433.41 cm² y V = 5948.165 cm³.
Recuerda La esfera no tiene área lateral porque toda su superficie es curva.
Cuando tienes un cono inscrito en un cilindro, puedes resolver problemas más complejos usando las relaciones entre ambas figuras. En el ejemplo, la altura del cilindro es igual a su radio.
Para encontrar el radio, usas el perímetro dado si Po = 16π cm, entonces r = 8 cm. Con este dato calculas el volumen del cilindro V = πr²h = 1607.68 cm³.
El volumen del cono inscrito es V = ⅓πr²h = 535.89 cm³. La parte sombreada (espacio entre cilindro y cono) se obtiene restando 1607.68 - 535.89 = 1071.79 cm³.
Este tipo de problemas son comunes en exámenes porque combinan múltiples conceptos y requieren varios pasos de cálculo.
Estrategia Siempre dibuja el problema para visualizar qué estás calculando.
Cuando una esfera ocupa totalmente un cubo, el diámetro de la esfera es igual al lado del cubo. Este concepto te permite resolver problemas aparentemente complejos de forma sencilla.
En el ejemplo, el cubo tiene volumen 1745.32 cm³. Primero calculas el lado ∛1745.32 = 12.03 cm. Como la esfera llena el cubo, su diámetro es 12.03 cm y su radio es 6.01 cm.
Con el radio ya puedes calcular todo sobre la esfera área = 4πr² = 453.66 cm² y volumen = ⅔πr³ = 908.84 cm³.
La clave está en identificar la relación geométrica entre las figuras antes de aplicar las fórmulas.
Dato importante Una esfera inscrita en un cubo siempre tiene diámetro igual al lado del cubo.
La práctica es fundamental para dominar los cuerpos de revolución. Los ejercicios incluyen desde cálculos básicos hasta aplicaciones industriales reales.
Los problemas típicos incluyen cilindros con medidas específicas (como 9 cm de diámetro y 11.4 cm de altura), esferas con radio dado (8.35 dm), y situaciones aplicadas como el transporte de perfumes.
El problema de la empresa de perfumes combina conos y cilindros debes calcular el volumen del cono (perfume) y restarlo del cilindro (empaque) para encontrar cuánta espuma se necesita.
Para 1250 perfumes, multiplicas el volumen de espuma por unidad por la cantidad total. Estos problemas te preparan para situaciones reales en ingeniería y diseño.
Consejo práctico Siempre verifica que tus unidades sean consistentes antes de calcular.
Las soluciones detalladas te muestran el proceso completo para cada tipo de cálculo. Para el cilindro de 4.5 cm de radio y 11.4 cm de altura
Área lateral AL = 2πrh = 323.16 cm². Área total AT = 2πr = 449.33 cm². Volumen V = πr²h = 724.86 cm³.
Para la esfera de radio 8.35 dm Volumen = ⅔πr³ = 2437.39 dm³. Área = 4πr² = 875.68 dm².
Observa cómo cada fórmula se aplica sistemáticamente primero identificas los datos, luego seleccionas la fórmula correcta y finalmente sustituyes valores.
Método efectivo Siempre escribe la fórmula antes de sustituir los números.
El problema de perfumes muestra cómo trabajar con volúmenes combinados. El cilindro tiene volumen 5211.77 cm³ y el cono 1737.25 cm³, dejando 3474.52 cm³ para espuma.
Para 1250 perfumes necesitas 3474.52 × 1250 = 4,343,150 cm³ de espuma total.
En el problema de las latas de atún (7 cm diámetro, 5.5 cm altura), calculas el área total de una lata AT = 197.82 cm². Para 54 latas necesitas 197.82 × 54 = 10,682.28 cm² de hojalata.
Estos ejercicios demuestran aplicaciones reales de los cuerpos de revolución en la industria manufacturera.
Reflexión final Dominar estas fórmulas te ayuda tanto en matemáticas como en aplicaciones prácticas del mundo real.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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¿Sabías que muchos objetos cotidianos como latas de refresco, conos de helado y pelotas son cuerpos de revolución? Estos se forman cuando una figura plana gira alrededor de un eje en un plano cartesiano.
Los tres tipos principales son el cilindro, el cono y la esfera. Cada uno tiene fórmulas específicas que te permiten calcular su área y volumen de manera precisa.
El cilindro es como un tubo con dos bases circulares. Sus fórmulas principales son: perímetro de la base , área de la base , volumen , área lateral y área total .
Tip clave: Memoriza que en el cilindro siempre multiplicas el área de la base por la altura para obtener el volumen.
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El cono es como un sombrero puntiagudo con una base circular. Para calcularlo necesitas la generatriz (g), que es la línea desde el vértice hasta el borde de la base.
Las fórmulas del cono son: área de la base , área lateral , área total y volumen . Nota que el volumen es un tercio del cilindro equivalente.
La esfera es la más simple en fórmulas pero requiere precisión. Solo necesitas: área total y volumen .
El ejemplo práctico muestra un cilindro con radio 8.3 cm y altura 27.5 cm, donde se calcula AT = 1865.89 cm², AL = 1433.41 cm² y V = 5948.165 cm³.
Recuerda: La esfera no tiene área lateral porque toda su superficie es curva.
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Cuando tienes un cono inscrito en un cilindro, puedes resolver problemas más complejos usando las relaciones entre ambas figuras. En el ejemplo, la altura del cilindro es igual a su radio.
Para encontrar el radio, usas el perímetro dado: si Po = 16π cm, entonces r = 8 cm. Con este dato calculas el volumen del cilindro: V = πr²h = 1607.68 cm³.
El volumen del cono inscrito es V = ⅓πr²h = 535.89 cm³. La parte sombreada (espacio entre cilindro y cono) se obtiene restando: 1607.68 - 535.89 = 1071.79 cm³.
Este tipo de problemas son comunes en exámenes porque combinan múltiples conceptos y requieren varios pasos de cálculo.
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En el ejemplo, el cubo tiene volumen 1745.32 cm³. Primero calculas el lado: ∛1745.32 = 12.03 cm. Como la esfera llena el cubo, su diámetro es 12.03 cm y su radio es 6.01 cm.
Con el radio ya puedes calcular todo sobre la esfera: área = 4πr² = 453.66 cm² y volumen = ⅔πr³ = 908.84 cm³.
La clave está en identificar la relación geométrica entre las figuras antes de aplicar las fórmulas.
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El problema de la empresa de perfumes combina conos y cilindros: debes calcular el volumen del cono (perfume) y restarlo del cilindro (empaque) para encontrar cuánta espuma se necesita.
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Área lateral: AL = 2πrh = 323.16 cm². Área total: AT = 2πr = 449.33 cm². Volumen: V = πr²h = 724.86 cm³.
Para la esfera de radio 8.35 dm: Volumen = ⅔πr³ = 2437.39 dm³. Área = 4πr² = 875.68 dm².
Observa cómo cada fórmula se aplica sistemáticamente: primero identificas los datos, luego seleccionas la fórmula correcta y finalmente sustituyes valores.
Método efectivo: Siempre escribe la fórmula antes de sustituir los números.
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El problema de perfumes muestra cómo trabajar con volúmenes combinados. El cilindro tiene volumen 5211.77 cm³ y el cono 1737.25 cm³, dejando 3474.52 cm³ para espuma.
Para 1250 perfumes necesitas: 3474.52 × 1250 = 4,343,150 cm³ de espuma total.
En el problema de las latas de atún (7 cm diámetro, 5.5 cm altura), calculas el área total de una lata: AT = 197.82 cm². Para 54 latas necesitas: 197.82 × 54 = 10,682.28 cm² de hojalata.
Estos ejercicios demuestran aplicaciones reales de los cuerpos de revolución en la industria manufacturera.
Reflexión final: Dominar estas fórmulas te ayuda tanto en matemáticas como en aplicaciones prácticas del mundo real.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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