Condiciones de Continuidad

Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben cumplirse tres condiciones:

1. La función debe estar definida en ese punto (debe existir $f(a)$)
2. El límite de la función cuando $x$ se acerca a $a$ debe existir
3. El valor de la función en el punto debe ser igual al límite

Analicemos esto con ejemplos. En el Ejemplo 2, la función no es continua porque $f(a)$ ni siquiera existe. En el Ejemplo 3, cuando $x$ tiende a 0, los límites laterales son diferentes ($\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$), por lo que el límite no existe y la función no es continua en $x = 0$.

💡 Siempre revisa los límites laterales. Si son distintos, el límite no existe y la función no puede ser continua en ese punto.

Análisis de Casos

En el Ejemplo 4, la función no es continua en $x = 5$ porque aunque $f(5) = 5$, el límite no existe ya que los límites laterales son distintos ($\lim_{x \to 5^-} = 5$ y $\lim_{x \to 5^+} = -5$).

Para funciones definidas por partes, debemos ser especialmente cuidadosos. En el Ejemplo 5 tenemos: $f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Al evaluar la continuidad en $x = 0$:

• $f(0) = 0^2 + 1 = 1$
• Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$
• Límite por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$

Como los límites laterales son diferentes, el límite no existe y la función no es continua en $x = 0$.

🔍 En las funciones definidas por partes, presta mucha atención a los puntos de cambio de definición, pues allí suelen presentarse discontinuidades.

Más Ejemplos de Continuidad

En el Ejemplo 6 analizamos: $f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & \text{si } x \leq -1 \\ \sqrt{x+1} & \text{si } x > -1 \end{cases}$

Para $x = -1$:

• $f(-1) = (-1)^2 + 3 = 4$
• Límite por la izquierda: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = 4$
• Límite por la derecha: $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \sqrt{0} = 0$

Como los límites laterales son distintos, la función no es continua en $x = -1$.

En el Ejemplo 7 tenemos una función definida en tres partes. Al analizar $x = 2$ y $x = 3$, encontramos que:

• Para $x = 2$: $f(2) = 1$, pero $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4$
• Para $x = 3$: los límites laterales también son distintos

Por lo tanto, la función no es continua en ninguno de estos puntos.

💪 Puedes dominar el análisis de continuidad siguiendo siempre los tres pasos: verifica si $f(a)$ existe, calcula los límites laterales y compara.