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Entendiendo la Continuidad en Matemáticas

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V

Val ;)

20/12/2025

Matemáticas

CONTINUIDAD

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Matemáticas

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20 de dic de 2025

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Entendiendo la Continuidad en Matemáticas

V

Val ;)

@studywith.val

La continuidad de una función es un concepto clave en... Mostrar más

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OD MM AA 19 10 23 # CONTINULDOD •Un punto x = a es continuo si: 1.S. f(a) existe 2. Si lim f(x) x→a existe 3-51 f(a)=lim f(x) x→a Ejempio 1

Condiciones de Continuidad

Para que una función sea continua en un punto x=ax = a, deben cumplirse tres condiciones:

  1. La función debe estar definida en ese punto (debe existir $f(a)$)
  2. El límite de la función cuando xx se acerca a aa debe existir
  3. El valor de la función en el punto debe ser igual al límite

Analicemos esto con ejemplos. En el Ejemplo 2, la función no es continua porque f(a)f(a) ni siquiera existe. En el Ejemplo 3, cuando xx tiende a 0, los límites laterales son diferentes $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$, por lo que el límite no existe y la función no es continua en x=0x = 0.

💡 Siempre revisa los límites laterales. Si son distintos, el límite no existe y la función no puede ser continua en ese punto.

OD MM AA 19 10 23 # CONTINULDOD •Un punto x = a es continuo si: 1.S. f(a) existe 2. Si lim f(x) x→a existe 3-51 f(a)=lim f(x) x→a Ejempio 1

Análisis de Casos

En el Ejemplo 4, la función no es continua en x=5x = 5 porque aunque f(5)=5f(5) = 5, el límite no existe ya que los límites laterales son distintos $\lim_{x \to 5^-} = 5$ y $\lim_{x \to 5^+} = -5$.

Para funciones definidas por partes, debemos ser especialmente cuidadosos. En el Ejemplo 5 tenemos: f(x)={xsi x<0 x2+1si x≥0f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x < 0 \ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}

Al evaluar la continuidad en x=0x = 0:

  • f(0)=02+1=1f(0) = 0^2 + 1 = 1
  • Límite por la izquierda: lim⁡x→0−f(x)=0\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0
  • Límite por la derecha: lim⁡x→0+f(x)=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1

Como los límites laterales son diferentes, el límite no existe y la función no es continua en x=0x = 0.

🔍 En las funciones definidas por partes, presta mucha atención a los puntos de cambio de definición, pues allí suelen presentarse discontinuidades.

OD MM AA 19 10 23 # CONTINULDOD •Un punto x = a es continuo si: 1.S. f(a) existe 2. Si lim f(x) x→a existe 3-51 f(a)=lim f(x) x→a Ejempio 1

Más Ejemplos de Continuidad

En el Ejemplo 6 analizamos: f(x)={x2+3si x≤−1 x+1si x>−1f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & \text{si } x \leq -1 \ \sqrt{x+1} & \text{si } x > -1 \end{cases}

Para x=−1x = -1:

  • f(−1)=(−1)2+3=4f(-1) = (-1)^2 + 3 = 4
  • Límite por la izquierda: lim⁡x→−1−f(x)=4\lim_{x \to -1^-} f(x) = 4
  • Límite por la derecha: lim⁡x→−1+f(x)=0=0\lim_{x \to -1^+} f(x) = \sqrt{0} = 0

Como los límites laterales son distintos, la función no es continua en x=−1x = -1.

En el Ejemplo 7 tenemos una función definida en tres partes. Al analizar x=2x = 2 y x=3x = 3, encontramos que:

  • Para x=2x = 2: f(2)=1f(2) = 1, pero lim⁡x→2+f(x)=4\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4
  • Para x=3x = 3: los límites laterales también son distintos

Por lo tanto, la función no es continua en ninguno de estos puntos.

💪 Puedes dominar el análisis de continuidad siguiendo siempre los tres pasos: verifica si f(a)f(a) existe, calcula los límites laterales y compara.



Pensamos que nunca lo preguntarías...

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

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usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

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Matemáticas

 

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•

17

•

20 de dic de 2025

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Entendiendo la Continuidad en Matemáticas

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La continuidad de una función es un concepto clave en matemáticas que nos permite entender el comportamiento de las funciones. Para que una función sea continua en un punto, debe cumplir tres condiciones específicas que analizaremos a través de varios... Mostrar más

OD MM AA 19 10 23 # CONTINULDOD •Un punto x = a es continuo si: 1.S. f(a) existe 2. Si lim f(x) x→a existe 3-51 f(a)=lim f(x) x→a Ejempio 1

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Condiciones de Continuidad

Para que una función sea continua en un punto x=ax = a, deben cumplirse tres condiciones:

  1. La función debe estar definida en ese punto (debe existir $f(a)$)
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💡 Siempre revisa los límites laterales. Si son distintos, el límite no existe y la función no puede ser continua en ese punto.

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Análisis de Casos

En el Ejemplo 4, la función no es continua en x=5x = 5 porque aunque f(5)=5f(5) = 5, el límite no existe ya que los límites laterales son distintos $\lim_{x \to 5^-} = 5$ y $\lim_{x \to 5^+} = -5$.

Para funciones definidas por partes, debemos ser especialmente cuidadosos. En el Ejemplo 5 tenemos: f(x)={xsi x<0 x2+1si x≥0f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x < 0 \ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}

Al evaluar la continuidad en x=0x = 0:

  • f(0)=02+1=1f(0) = 0^2 + 1 = 1
  • Límite por la izquierda: lim⁡x→0−f(x)=0\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0
  • Límite por la derecha: lim⁡x→0+f(x)=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1

Como los límites laterales son diferentes, el límite no existe y la función no es continua en x=0x = 0.

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Más Ejemplos de Continuidad

En el Ejemplo 6 analizamos: f(x)={x2+3si x≤−1 x+1si x>−1f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & \text{si } x \leq -1 \ \sqrt{x+1} & \text{si } x > -1 \end{cases}

Para x=−1x = -1:

  • f(−1)=(−1)2+3=4f(-1) = (-1)^2 + 3 = 4
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Como los límites laterales son distintos, la función no es continua en x=−1x = -1.

En el Ejemplo 7 tenemos una función definida en tres partes. Al analizar x=2x = 2 y x=3x = 3, encontramos que:

  • Para x=2x = 2: f(2)=1f(2) = 1, pero lim⁡x→2+f(x)=4\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4
  • Para x=3x = 3: los límites laterales también son distintos

Por lo tanto, la función no es continua en ninguno de estos puntos.

💪 Puedes dominar el análisis de continuidad siguiendo siempre los tres pasos: verifica si f(a)f(a) existe, calcula los límites laterales y compara.

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