Principios de Combinatoria

¿Alguna vez te has preguntado cuántas formas diferentes hay de organizar objetos? La combinatoria nos ayuda a responder esta pregunta. El principio multiplicativo y el principio aditivo son las bases para resolver estos problemas.

Las variaciones son arreglos ordenados de elementos sin repetición. Por ejemplo, con los elementos {m, p, q} podemos formar diferentes variaciones como {m, p}, {p, m}, {m, q}, etc. La fórmula para calcular variaciones ordinarias es:

V^n_m = m$m-1$$m-2$...$m-n+1$ = m!/$m-n$!

Donde m representa el número total de elementos y n es cuántos tomamos para formar cada variación.

💡 Recuerda: En las variaciones importa el orden y no se repiten los elementos. Es como formar números de teléfono con dígitos diferentes - cada posición importa.

Variaciones y Permutaciones

Las variaciones con repetición son arreglos donde sí se pueden repetir elementos. Su fórmula es mucho más sencilla: VR_m = m^n. Por ejemplo, para formar números de 3 cifras usando los dígitos del 1 al 5, tendríamos 5^3 = 125 posibilidades.

Las permutaciones son un caso especial de variaciones donde usamos todos los elementos disponibles. En otras palabras, son todas las posibles ordenaciones de un conjunto. Su fórmula es:

P_m = m!

Por ejemplo, con los números 1, 2 y 3, tenemos P_3 = 3! = 6 ordenaciones posibles:

• 123
• 132
• 213
• 231
• 312
• 321

💡 Consejo práctico: Para calcular permutaciones, simplemente multiplica todos los números desde m hasta 1. Por ejemplo, P_5 = 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Propiedades de Logaritmos

Los logaritmos son operaciones matemáticas que responden a la pregunta: "¿A qué potencia debo elevar esta base para obtener este número?" Si a^x = y, entonces x = log_a y.

Las propiedades fundamentales de los logaritmos son:

1. log_a 1 = 0 (porque cualquier número elevado a 0 es 1)
2. log_a a = 1 (porque a elevado a 1 es a)
3. log_a (A·B) = log_a A + log_a B (logaritmo de un producto)
4. log_a $A/B$ = log_a A - log_a B (logaritmo de un cociente)
5. log_a A^n = n·log_a A (logaritmo de una potencia)

Estas propiedades nos permiten resolver ecuaciones logarítmicas complejas. Por ejemplo: log_2 (4·8) = log_2 32 = 5 También podemos calcularlo como: log_2 4 + log_2 8 = 2 + 3 = 5

💡 Truco útil: Para resolver ecuaciones con logaritmos, intenta expresar todos los términos con la misma base y luego iguala los exponentes.

Aplicaciones de Logaritmos

Los logaritmos nos ayudan a simplificar expresiones complicadas. Por ejemplo, podemos transformar log_a $x/y^z$ en log_a x - log_a y^z, y luego en log_a x - log_a y - log_a z.

Para resolver ecuaciones como log_x 36 = 2, debemos recordar la definición: si log_a b = n, entonces a^n = b. En este caso:

• Si log_x 36 = 2, entonces x^2 = 36
• Por lo tanto, x = √36 = 6

Veamos otro ejemplo: log_4 x = 3/2

• Esto significa que 4^(3/2) = x
• 4^(3/2) = $2^2$^(3/2) = 2^3 = 8
• Por tanto, x = 8

💡 Recuerda: Siempre puedes verificar tus respuestas sustituyendo en la ecuación original. Por ejemplo, log_4 8 = log_4 2^3 = 3 log_4 2 = 3(1/2) = 3/2.

Ecuaciones Logarítmicas y Exponenciales

Las ecuaciones logarítmicas y exponenciales están relacionadas. Para resolverlas, necesitamos aplicar correctamente las propiedades de los logaritmos.

Por ejemplo, para resolver 3^(2x)/2 = 7:

1. Multiplicamos ambos lados por 2: 3^(2x) = 14
2. Aplicamos logaritmos: log$3^(2x)$ = log(14)
3. Usamos la propiedad de potencia: 2x·log(3) = log(14)
4. Despejamos: x = log(14)/(2·log(3))

En ecuaciones como 3^x + 9^$x+1$ = 38, podemos usar sustitución:

• Notemos que 9 = 3^2, así que 9^$x+1$ = $3^2$^$x+1$ = 3^$2x+2$
• La ecuación se convierte en: 3^x + 3^$2x+2$ = 38
• Podemos hacer una sustitución U = 3^x para convertirla en una ecuación cuadrática: U + U^2·3^2 = 38
• Esto es equivalente a: U + 9U^2 = 38, o 9U^2 + U - 38 = 0

💡 Estrategia clave: Cuando tengas diferentes expresiones exponenciales con la misma base, intenta expresar todas en términos de una variable sustituta para simplificar.

Resolución de Ecuaciones con Logaritmos

Las ecuaciones logarítmicas pueden resolverse aplicando las propiedades correctas. Cuando los logaritmos tienen la misma base e iguales argumentos, los argumentos son iguales.

Por ejemplo, en log_2 x = log_2 3:

• Como las bases son iguales, x = 3

Para ecuaciones como log$x+7$ - log$y-1$ = log 40:

• Aplicamos la propiedad del cociente: log$(x+7)/(y-1)$ = log 40
• Como los logaritmos son iguales, $x+7$/$y-1$ = 40
• Si además sabemos que x+y=8, podemos sustituir x=8-y
• Esto nos da: $(8-y)+7$/$y-1$ = 40
• Simplificamos: $15-y$/$y-1$ = 40
• Multiplicando: 15-y = 40$y-1$ = 40y-40
• Despejando: -y-40y = -40-15
• Por tanto: -41y = -55
• Finalmente: y = 55/41

💡 Atención: Al resolver ecuaciones logarítmicas, siempre verifica que las soluciones sean válidas en la ecuación original, pues los logaritmos tienen restricciones en su dominio.

Ejercicios de Ecuaciones Logarítmicas

Veamos cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones logarítmicas:

a) log_5$3x+1$ = log_5$5x-7$

• Como las bases son iguales, igualamos los argumentos: 3x+1 = 5x-7
• Despejando: 3x-5x = -7-1
• Por tanto: -2x = -8, y x = 4

b) log_2 x^2 = log_2$3x+4$

• Igualamos argumentos: x^2 = 3x+4
• Reordenamos: x^2-3x-4 = 0
• Factorizamos: $x-4$$x+1$ = 0
• Las soluciones son: x = 4 o x = -1

c) 2log_25 x - log_25$25-4x$ = 1/2

• Usando propiedades de logaritmos: log_25$x^2/(25-4x)$ = 1/2
• Como log_a b = c significa a^c = b: 25^(1/2) = x^2/$25-4x$
• Entonces: 5 = x^2/$25-4x$
• Multiplicando: 5$25-4x$ = x^2
• Desarrollando: 125-20x = x^2
• Reordenando: x^2+20x-125 = 0

💡 Método alternativo: En ecuaciones como log_a f(x) = k, puedes directamente elevar a a ambos lados, obteniendo a^$log_a f(x)$ = a^k, lo que simplifica a f(x) = a^k.

Ecuaciones Logarítmicas Complejas

Continuemos con ecuaciones logarítmicas más desafiantes:

d) log_8$x-2$ + log_8$x+6$ = 2

• Aplicando propiedad del producto: log_8$(x-2)(x+6)$ = 2
• Desarrollando: log_8$x^2+4x-12$ = 2
• Como log_8 b = 2 significa 8^2 = b: x^2+4x-12 = 64
• Reordenando: x^2+4x-76 = 0
• Resolviendo: x = (-4±√(16+304))/2 = (-4±√320)/2 = (-4±8√5)/2 = -2±4√5

e) log_10$x^3-1$ - log_10$x^2+x+1$ = 1

• Aplicando propiedad del cociente: log_10$(x^3-1)/(x^2+x+1)$ = 1
• Como log_10 b = 1 significa 10^1 = b: $x^3-1$/$x^2+x+1$ = 10
• Multiplicando: x^3-1 = 10$x^2+x+1$
• Desarrollando: x^3-1 = 10x^2+10x+10
• Reordenando: x^3-10x^2-10x-11 = 0

f) log_(1/7)x + log_(1/7)$5x-28$ = -2

• Aplicando propiedad del producto: log_(1/7)$x(5x-28)$ = -2
• Desarrollando: log_(1/7)$5x^2-28x$ = -2
• Como log_(1/7) b = -2 significa (1/7)^(-2) = b: 5x^2-28x = 49
• Reordenando: 5x^2-28x-49 = 0
• Factorizando: $5x+7$$x-7$ = 0
• Las soluciones son: x = -7/5 o x = 7

💡 Consejo: Cuando trabajes con bases de logaritmos como 1/7, recuerda que log_(1/7) x = -log_7 x, lo que puede facilitar algunos cálculos.

Ecuaciones Exponenciales y Sucesiones

Las ecuaciones exponenciales pueden resolverse mediante sustitución. Por ejemplo: 4·5^(2x) - 4·5^x + 1 = 0

Sustituyendo U = 5^x, obtenemos: 4U^2 - 4U + 1 = 0

Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver con la fórmula general.

Las sucesiones son secuencias de números que siguen un patrón. Para definirlas, buscamos una fórmula general a_n que nos dé el término n-ésimo:

• Sucesión 3,6,9,12,15,...: a_n = 3n (cada término es 3 multiplicado por su posición)
• Sucesión 1,3,5,7,...: a_n = 2n-1 (cada término es el doble de su posición menos 1)
• Sucesión 1,4,27,256,...: a_n = n^n (cada término es su posición elevada a su posición)

💡 Estrategia: Para encontrar el patrón de una sucesión, observa cómo cambia cada término respecto al anterior o cómo se relaciona con su posición. Luego verifica tu fórmula probando con los primeros términos.