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Cónicas: Guía para Graficar y Hallar Ecuaciones

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¿Sabés que las circunferencias y parábolas están por todas partes?...

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cónicas Ewauón general: $Ax² + BXY + Cy² + Dx+EY + F +O$ ↳ B= 0 votación $Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0$ circunferencia (A=C≠0) $Ax² + Cy

Ecuación de la Circunferencia - Método con Tres Puntos

¿Te parece complicado encontrar la ecuación de una circunferencia cuando solo tenés tres puntos? ¡No te preocupes! Es más fácil de lo que pensás.

La ecuación general de una circunferencia es: x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Cuando uno de los puntos es el origen (0,0), como en el primer ejemplo, automáticamente F=0F = 0. ¡Una variable menos!

Después solo tenés que sustituir cada punto en la ecuación y crear un sistema de ecuaciones. Con los puntos B(3,1) y C(5,7), obtenés dos ecuaciones que te permiten encontrar D y E. Una vez que los hallás, ya tenés la ecuación completa.

¡Ojo! Recordá multiplicar toda la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones y obtener la forma más simple.

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Parábolas - De la Forma General a la Canónica

Las parábolas aparecen en muchos lugares: desde el arco de una pelota hasta los faros de los autos. Saber trabajar con sus ecuaciones te va a servir un montón.

El truco está en completar el cuadrado. Tomás la parte con x², le sumás y restás el término que falta para formar un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo: x2+10xx^2 + 10x se convierte en (x+5)2−25(x + 5)^2 - 25.

Una vez que tenés la forma canónica (x−h)2=4p(y−k)(x-h)^2 = 4p(y-k), podés identificar fácilmente el vértice V(h,k) y el parámetro p. Recordá que 4p4p es el coeficiente que acompaña al término lineal.

Dato clave: Si la variable al cuadrado es x, la parábola es vertical. Si es y, es horizontal.

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Intersecciones y Aplicaciones de Parábolas

¿Querés saber dónde una parábola corta los ejes? Es súper útil para graficar y resolver problemas reales.

Para encontrar las intersecciones con el eje x, hacés y = 0 y resolvés la ecuación cuadrática que te queda. Usás la fórmula: x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Si el discriminante es positivo, tenés dos intersecciones.

Para la intersección con el eje y, hacés x = 0 y despejás y. Es mucho más directo. En el ejemplo, cuando x = 0, obtenés y = 2.

Consejo: Siempre verificá tus respuestas sustituyendo los valores en la ecuación original.

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Elipses - La Figura de los Planetas

¿Sabías que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse? Esta figura es el lugar geométrico donde la suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.

La forma canónica horizontal es (x−h)2a2+(y−k)2b2=1\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, donde a es el semieje mayor y b el menor. La relación fundamental es: a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2, donde c es la distancia del centro a cada foco.

Para pasar de la forma general a la canónica, dividís toda la ecuación por el término independiente. En el ejemplo: 25x2+16y2=40025x^2 + 16y^2 = 400 se convierte en x216+y225=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1.

Importante: La excentricidad e=cae = \frac{c}{a} te dice qué tan "aplastada" está la elipse. Si e = 0, es un círculo perfecto.

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Cónicas: Guía para Graficar y Hallar Ecuaciones

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¿Sabés que las circunferencias y parábolas están por todas partes? Desde las ruedas de tu bici hasta las antenas parabólicas que captan señales de TV. Vamos a dominar las ecuaciones de estas figuras geométricas de una vez por todas.

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Ecuación de la Circunferencia - Método con Tres Puntos

¿Te parece complicado encontrar la ecuación de una circunferencia cuando solo tenés tres puntos? ¡No te preocupes! Es más fácil de lo que pensás.

La ecuación general de una circunferencia es: x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Cuando uno de los puntos es el origen (0,0), como en el primer ejemplo, automáticamente F=0F = 0. ¡Una variable menos!

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¡Ojo! Recordá multiplicar toda la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones y obtener la forma más simple.

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Parábolas - De la Forma General a la Canónica

Las parábolas aparecen en muchos lugares: desde el arco de una pelota hasta los faros de los autos. Saber trabajar con sus ecuaciones te va a servir un montón.

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Intersecciones y Aplicaciones de Parábolas

¿Querés saber dónde una parábola corta los ejes? Es súper útil para graficar y resolver problemas reales.

Para encontrar las intersecciones con el eje x, hacés y = 0 y resolvés la ecuación cuadrática que te queda. Usás la fórmula: x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Si el discriminante es positivo, tenés dos intersecciones.

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Elipses - La Figura de los Planetas

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