Bosquejo de Gráficas: Encontrando Mínimos y Máximos

Para hacer un bosquejo completo de una gráfica, primero debemos encontrar sus puntos críticos. Estos nos indicarán dónde la función alcanza valores mínimos o máximos.

Utilizamos el criterio de la primera derivada para encontrar estos puntos. Los pasos son sencillos:

1. Derivamos la función (en nuestro ejemplo: y' = 2x - 3)
2. Igualamos la derivada a cero para encontrar puntos críticos $2x - 3 = 0$
3. Resolvemos para x y obtenemos x = 3/2

Después, analizamos el comportamiento de la derivada antes y después del punto crítico. Creamos intervalos y evaluamos con valores de prueba:

• Para x < 3/2: y' es negativa, la función es decreciente
• Para x > 3/2: y' es positiva, la función es creciente

💡 Truco fácil: Cuando la derivada cambia de negativo a positivo, tenemos un mínimo; cuando cambia de positivo a negativo, tenemos un máximo.

Finalmente, evaluamos la función original en el punto crítico x = 3/2 para encontrar su valor y: -25/4 $o -6.25$. Por lo tanto, el punto mínimo es $3/2, -25/4$.

Completando el Bosquejo de la Gráfica

Para terminar nuestro bosquejo, necesitamos encontrar dónde la gráfica cruza los ejes coordenados. Estos puntos son referencias clave para dibujar correctamente.

Para hallar los interceptos con los ejes, seguimos dos pasos simples:

• Intercepto con eje y: sustituimos x = 0 en la función original En nuestro ejemplo: y = 0² - 3(0) - 4 = -4, por tanto $0, -4$
• Interceptos con eje x: igualamos y = 0 y resolvemos 0 = x² - 3x - 4, factorizando: x - 4$$x + 1 = 0 Obtenemos x = 4 y x = -1, por tanto (4, 0) y $-1, 0$

Con estos puntos clave ya podemos trazar nuestra gráfica:

• El punto mínimo: $3/2, -25/4$
• Intercepto con eje y: $0, -4$
• Interceptos con eje x: (4, 0) y $-1, 0$

🔍 Recuerda: Para identificar cualquier intercepto, siempre sustituyes con 0 en la coordenada opuesta. ¡Es una técnica que funciona para cualquier función!

Conectando estos puntos y teniendo en cuenta el comportamiento creciente o decreciente de la función, tendrás un bosquejo preciso de la parábola.