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Camilo Murillo
23/12/2025
Matemáticas
Artículo
199
•
23 de dic de 2025
•
Camilo Murillo
@amilourillo_48cndsrs
Los teoremas de Rolle y del valor medio son herramientas... Mostrar más
Michel Rolle demostró este teorema en 1961, aunque inicialmente era crítico del cálculo. El teorema de Rolle establece que si una función f es continua en , derivable en (a,b) y f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = 0.
Las condiciones son clave: necesitás continuidad en el intervalo cerrado (sin cortes ni saltos) y derivabilidad en el intervalo abierto. Cuando los valores extremos coinciden, la derivada se anula en algún punto intermedio.
Para resolver f(x) = x² - 9x + 8, igualás a cero y factorizás: = 0, dando x = 8 y x = 1. Derivando obtienes f'(x) = 2x - 9 = 0, entonces x = 9/2. El punto donde la derivada es cero está en (9/2, -49/4).
Recordá: El teorema de Rolle garantiza que entre dos puntos de igual altura en una función, siempre hay un punto donde la tangente es horizontal.
Para f(x) = x⁴ - 2x² en el intervalo (-2,2), verificás las condiciones del teorema. La función es continua en todo el intervalo y cumple que f(-2) = f(2) = 8.
Al derivar obtienes f'(x) = 4x³ - 4x = 0. Factorizando resulta 4x = 0, dando x = 0, x = 1 y x = -1. Todos estos valores están en el intervalo abierto (-2,2).
Esto significa que hay tres puntos críticos donde la derivada es cero: en x = -1, x = 0 y x = 1. Cada uno representa un lugar donde la tangente a la curva es completamente horizontal.
Dato importante: Una función puede tener múltiples puntos donde f'(c) = 0 en el mismo intervalo, como muestra este ejemplo.
El teorema del valor medio fue demostrado por Joseph-Louis Lagrange y apareció por primera vez en 1806. Este teorema es más general que el de Rolle y no requiere que f(a) = f(b).
Si f es continua en y derivable en (a,b), entonces existe un número c donde f'(c) = /. Esta ecuación relaciona la pendiente de la recta secante con la pendiente de la recta tangente.
La diferencia clave con Rolle es que aquí los extremos pueden ser diferentes. La derivada en algún punto intermedio iguala la razón de cambio promedio de toda la función en el intervalo.
Concepto visual: Imaginá una recta que conecta los extremos de la función; el teorema garantiza que hay un punto donde la tangente es paralela a esa recta.
Para f(x) = 5 - 4/x en el intervalo (1,4), calculás la pendiente de la recta secante: /(4-1) = 1. La función cumple las condiciones del teorema, entonces existe c donde f'(c) = 1.
Derivando obtienes f'(x) = 4/x². Al igualar a 1: 4/x² = 1, resulta x = ±2. Como trabajás en (1,4), tomas c = 2. El punto de valor medio está en (2,3).
Con f(x) = x³ en (0,1), la pendiente secante es 1. Derivando: f'(x) = 3x² = 1, entonces x = ±1/√3. En el intervalo (0,1), c = 1/√3 ≈ 0.577, ubicado en (1/3, 0.1925).
Aplicación real: En un problema de velocidad, si un camión recorre 5 millas en 4 minutos, su velocidad promedio es 75 mph, garantizando que en algún momento viajó exactamente a esa velocidad.
Un ejemplo práctico ilustra el poder del teorema del valor medio. Un camión pasa entre dos patrullas separadas por 5 millas en 4 minutos .
La velocidad promedio se calcula como: distancia/tiempo = 5/(1/15) = 75 millas por hora. Según el teorema del valor medio, si la función posición s(t) es derivable, entonces en algún momento durante esos 4 minutos el camión viajó exactamente a 75 mph.
Esto demuestra cómo el cálculo conecta conceptos abstractos con situaciones reales. Los teoremas no son solo herramientas matemáticas, sino que explican fenómenos del mundo real.
Reflexión final: Los teoremas de Rolle y del valor medio son fundamentales para entender cómo se comportan las funciones y sus tasas de cambio en intervalos específicos.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Los teoremas de Rolle y del valor medio son herramientas fundamentales del cálculo que te ayudan a entender el comportamiento de las funciones. Estos teoremas establecen conexiones importantes entre la continuidad, derivabilidad y los valores que puede tomar la derivada... Mostrar más
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Michel Rolle demostró este teorema en 1961, aunque inicialmente era crítico del cálculo. El teorema de Rolle establece que si una función f es continua en , derivable en (a,b) y f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = 0.
Las condiciones son clave: necesitás continuidad en el intervalo cerrado (sin cortes ni saltos) y derivabilidad en el intervalo abierto. Cuando los valores extremos coinciden, la derivada se anula en algún punto intermedio.
Para resolver f(x) = x² - 9x + 8, igualás a cero y factorizás: = 0, dando x = 8 y x = 1. Derivando obtienes f'(x) = 2x - 9 = 0, entonces x = 9/2. El punto donde la derivada es cero está en (9/2, -49/4).
Recordá: El teorema de Rolle garantiza que entre dos puntos de igual altura en una función, siempre hay un punto donde la tangente es horizontal.
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Para f(x) = x⁴ - 2x² en el intervalo (-2,2), verificás las condiciones del teorema. La función es continua en todo el intervalo y cumple que f(-2) = f(2) = 8.
Al derivar obtienes f'(x) = 4x³ - 4x = 0. Factorizando resulta 4x = 0, dando x = 0, x = 1 y x = -1. Todos estos valores están en el intervalo abierto (-2,2).
Esto significa que hay tres puntos críticos donde la derivada es cero: en x = -1, x = 0 y x = 1. Cada uno representa un lugar donde la tangente a la curva es completamente horizontal.
Dato importante: Una función puede tener múltiples puntos donde f'(c) = 0 en el mismo intervalo, como muestra este ejemplo.
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Si f es continua en y derivable en (a,b), entonces existe un número c donde f'(c) = /. Esta ecuación relaciona la pendiente de la recta secante con la pendiente de la recta tangente.
La diferencia clave con Rolle es que aquí los extremos pueden ser diferentes. La derivada en algún punto intermedio iguala la razón de cambio promedio de toda la función en el intervalo.
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Para f(x) = 5 - 4/x en el intervalo (1,4), calculás la pendiente de la recta secante: /(4-1) = 1. La función cumple las condiciones del teorema, entonces existe c donde f'(c) = 1.
Derivando obtienes f'(x) = 4/x². Al igualar a 1: 4/x² = 1, resulta x = ±2. Como trabajás en (1,4), tomas c = 2. El punto de valor medio está en (2,3).
Con f(x) = x³ en (0,1), la pendiente secante es 1. Derivando: f'(x) = 3x² = 1, entonces x = ±1/√3. En el intervalo (0,1), c = 1/√3 ≈ 0.577, ubicado en (1/3, 0.1925).
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Un ejemplo práctico ilustra el poder del teorema del valor medio. Un camión pasa entre dos patrullas separadas por 5 millas en 4 minutos .
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Esto demuestra cómo el cálculo conecta conceptos abstractos con situaciones reales. Los teoremas no son solo herramientas matemáticas, sino que explican fenómenos del mundo real.
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Pablo
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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