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juanes infante
13/12/2025
Matemáticas
Apuntes Para Examen Admisión Unal Colombia
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13 de dic de 2025
•
juanes infante
@juanesinfante
¿Te dan dolor de cabeza las matemáticas de último año?... Mostrar más
Los conjuntos numéricos son como cajones donde organizamos diferentes tipos de números. Los naturales (ℕ) son los números que usas para contar, los enteros (ℤ) incluyen negativos, los racionales (ℚ) son fracciones, los irracionales (𝕀) como π no se pueden escribir como fracción, y los reales (ℝ) incluyen todos los anteriores.
Para los sistemas de ecuaciones 2x2, solo necesitas recordar tres casos clave. Si las fracciones a/a = b/b = c/c son iguales, tienes infinitas soluciones. Si a/a = b/b ≠ c/c, no hay solución. Si a/a ≠ b/b, encuentras una única solución.
Las ecuaciones cuadráticas siguen la forma ax² + bx + c = 0. La fórmula general es /2a, y el discriminante te dice cuántas soluciones tienes: negativo = sin solución, positivo = dos soluciones, cero = una solución.
Tip clave: El discriminante es tu mejor amigo para saber rápidamente qué esperar de una ecuación cuadrática.
En geometría, domina estas fórmulas esenciales: el perímetro del círculo es 2πr, su área πr², y su volumen 4/3πr³. Para cuadrados y rectángulos, área = base × altura, y para triángulos, área = (base × altura)/2.
La trigonometría se basa en tres funciones principales: seno = cateto opuesto/hipotenusa, coseno = cateto adyacente/hipotenusa, y tangente = cateto opuesto/cateto adyacente. Memoriza los valores para 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.
La identidad pitagórica sen² + cos² = 1 es fundamental y de ella salen otras identidades importantes. Recuerda que en un triángulo, la suma de todos los ángulos siempre es 180°.
Consejo: Practica los valores de las funciones trigonométricas hasta que los sepas de memoria; te ahorrará mucho tiempo en los exámenes.
Las identidades trigonométricas se derivan de la identidad pitagórica básica. Si divides sen² + cos² = 1 entre sen², obtienes 1 + cot² = csc². Si la divides entre cos², obtienes tan² + 1 = sec².
Los cuadrantes del plano cartesiano determinan los signos de las funciones. En el primer cuadrante todas son positivas, en el segundo solo seno es positivo, en el tercero solo tangente, y en el cuarto solo coseno.
Clasifica los ángulos según su medida: agudos (menos de 90°), obtusos (entre 90° y 180°), y llanos (exactamente 180°). Los ángulos de elevación y depresión se miden desde la horizontal.
Recuerda: Los signos en cada cuadrante siguen el patrón "Todos Son Tontos Comiendo" (Todas positivas, Solo seno, Solo tangente, Solo coseno).
La ecuación de la recta y = mx + b tiene dos componentes clave: m es la pendiente (qué tan inclinada está) y b es el punto donde corta el eje y. Para encontrar la pendiente usa m = /.
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente pero diferente punto de corte con y. Las rectas perpendiculares forman 90° entre sí y sus pendientes son negativas recíprocas .
En las funciones cuadráticas, el coeficiente de x² determina la forma de la parábola. Si a > 1 la parábola se comprime (más angosta), si 0 < a < 1 se alarga (más ancha). Si a es negativo, la parábola se refleja hacia abajo.
Dato útil: Para recordar rectas perpendiculares, piensa que sus pendientes se "cancelan" multiplicándose para dar -1.
Las transformaciones de funciones siguen reglas específicas. El valor b (que acompaña a x) mueve la función horizontalmente: positivo hacia la izquierda, negativo hacia la derecha. El valor c (que va solo) mueve verticalmente: positivo hacia arriba, negativo hacia abajo.
Para las funciones trigonométricas sen y cos, ambas tienen período 2π y amplitud 1 en su forma básica. Cuando multiplicas la función por un número (como 3cos x), cambias su amplitud a ese valor.
La fórmula del vértice para parábolas te ayuda a encontrar el punto más alto o más bajo de la función cuadrática.
Truco: Para recordar las transformaciones horizontales, piensa al revés: +b va hacia la izquierda, -b hacia la derecha.
Cuando cambias el período de funciones trigonométricas, como en cos(2x), el nuevo período se calcula dividiendo el período original entre el coeficiente. Si tienes cos(2x), el nuevo período es 2π/2 = π, lo que hace que la función se complete más rápido.
Las funciones pares cumplen f(x) = f, son simétricas respecto al eje y. Las funciones impares cumplen f = -f(x), son simétricas respecto al origen.
Un coeficiente mayor que 1 dentro de la función (como el 2 en cos(2x)) acelera la onda, haciendo que complete su ciclo en menos tiempo.
Recordatorio: Las funciones pares son como espejos verticales, las impares como rotaciones de 180°.
Las inecuaciones se resuelven como ecuaciones normales, pero con intervalos en lugar de valores exactos. Los símbolos < y > indican "menor que" y "mayor que", mientras ≤ y ≥ incluyen el valor igual.
Regla crucial: cuando multiplicas o divides por un número negativo, debes voltear el símbolo de la inecuación. Por ejemplo, si -x < 2, al multiplicar por -1 obtienes x > -2.
Para inecuaciones cuadráticas, factoriza la expresión y encuentra los valores críticos. Luego determina en qué intervalos la desigualdad se cumple usando una tabla de signos.
¡Cuidado!: El error más común es olvidar voltear el símbolo cuando trabajas con números negativos.
Las inecuaciones con valor absoluto tienen dos casos. Si |a| = b, entonces a = b o a = -b. Para desigualdades como a > |b|, necesitas a > b Y a > -b.
El círculo tiene ecuación ² + ² = R², donde (a,b) es el centro y R es el radio.
La elipse usa la forma ²/a² + ²/b² = 1, con centro en (h,k). Si a² > b², la elipse es horizontal; si b² > a², es vertical.
Tip: Para círculos, siempre verifica que el lado derecho sea positivo, o no será un círculo real.
Los logaritmos tienen reglas específicas que debes memorizar. No pueden tener base negativa o cero. Además, log_a(1) = 0 y log_a(a) = 1 siempre.
Propiedades clave: log(a·b) = log(a) + log(b), log = log(a) - log(b), y log(aⁿ) = n·log(a). Estas te permiten simplificar expresiones complejas.
Para cambio de base, usa la fórmula: log_a(b) = log_c(b)/log_c(a), donde c es la nueva base que quieres usar.
Consejo práctico: Los logaritmos convierten multiplicación en suma y división en resta, ¡muy útil para cálculos!
Las técnicas de conteo dependen de dos preguntas clave: ¿importa el orden? y ¿se puede repetir? Esto determina si usas combinación o permutación.
En combinaciones , el orden NO importa. Úsalas cuando solo te interese qué elementos están en el grupo, no su orden.
En permutaciones , el orden SÍ importa. Úsalas cuando diferentes ordenamientos del mismo grupo crean resultados distintos.
Regla simple: Si cambiar el orden cambia el resultado, usa permutación; si no, usa combinación.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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juanes infante
@juanesinfante
¿Te dan dolor de cabeza las matemáticas de último año? Tranquilo, que todas las fórmulas y conceptos esenciales están aquí organizados de manera simple y clara. Desde conjuntos numéricos hasta trigonometría y cónicas, este resumen te ayudará a repasar todo... Mostrar más
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Los conjuntos numéricos son como cajones donde organizamos diferentes tipos de números. Los naturales (ℕ) son los números que usas para contar, los enteros (ℤ) incluyen negativos, los racionales (ℚ) son fracciones, los irracionales (𝕀) como π no se pueden escribir como fracción, y los reales (ℝ) incluyen todos los anteriores.
Para los sistemas de ecuaciones 2x2, solo necesitas recordar tres casos clave. Si las fracciones a/a = b/b = c/c son iguales, tienes infinitas soluciones. Si a/a = b/b ≠ c/c, no hay solución. Si a/a ≠ b/b, encuentras una única solución.
Las ecuaciones cuadráticas siguen la forma ax² + bx + c = 0. La fórmula general es /2a, y el discriminante te dice cuántas soluciones tienes: negativo = sin solución, positivo = dos soluciones, cero = una solución.
Tip clave: El discriminante es tu mejor amigo para saber rápidamente qué esperar de una ecuación cuadrática.
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La trigonometría se basa en tres funciones principales: seno = cateto opuesto/hipotenusa, coseno = cateto adyacente/hipotenusa, y tangente = cateto opuesto/cateto adyacente. Memoriza los valores para 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.
La identidad pitagórica sen² + cos² = 1 es fundamental y de ella salen otras identidades importantes. Recuerda que en un triángulo, la suma de todos los ángulos siempre es 180°.
Consejo: Practica los valores de las funciones trigonométricas hasta que los sepas de memoria; te ahorrará mucho tiempo en los exámenes.
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Las identidades trigonométricas se derivan de la identidad pitagórica básica. Si divides sen² + cos² = 1 entre sen², obtienes 1 + cot² = csc². Si la divides entre cos², obtienes tan² + 1 = sec².
Los cuadrantes del plano cartesiano determinan los signos de las funciones. En el primer cuadrante todas son positivas, en el segundo solo seno es positivo, en el tercero solo tangente, y en el cuarto solo coseno.
Clasifica los ángulos según su medida: agudos (menos de 90°), obtusos (entre 90° y 180°), y llanos (exactamente 180°). Los ángulos de elevación y depresión se miden desde la horizontal.
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Las rectas paralelas tienen la misma pendiente pero diferente punto de corte con y. Las rectas perpendiculares forman 90° entre sí y sus pendientes son negativas recíprocas .
En las funciones cuadráticas, el coeficiente de x² determina la forma de la parábola. Si a > 1 la parábola se comprime (más angosta), si 0 < a < 1 se alarga (más ancha). Si a es negativo, la parábola se refleja hacia abajo.
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Las transformaciones de funciones siguen reglas específicas. El valor b (que acompaña a x) mueve la función horizontalmente: positivo hacia la izquierda, negativo hacia la derecha. El valor c (que va solo) mueve verticalmente: positivo hacia arriba, negativo hacia abajo.
Para las funciones trigonométricas sen y cos, ambas tienen período 2π y amplitud 1 en su forma básica. Cuando multiplicas la función por un número (como 3cos x), cambias su amplitud a ese valor.
La fórmula del vértice para parábolas te ayuda a encontrar el punto más alto o más bajo de la función cuadrática.
Truco: Para recordar las transformaciones horizontales, piensa al revés: +b va hacia la izquierda, -b hacia la derecha.
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Cuando cambias el período de funciones trigonométricas, como en cos(2x), el nuevo período se calcula dividiendo el período original entre el coeficiente. Si tienes cos(2x), el nuevo período es 2π/2 = π, lo que hace que la función se complete más rápido.
Las funciones pares cumplen f(x) = f, son simétricas respecto al eje y. Las funciones impares cumplen f = -f(x), son simétricas respecto al origen.
Un coeficiente mayor que 1 dentro de la función (como el 2 en cos(2x)) acelera la onda, haciendo que complete su ciclo en menos tiempo.
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Las inecuaciones se resuelven como ecuaciones normales, pero con intervalos en lugar de valores exactos. Los símbolos < y > indican "menor que" y "mayor que", mientras ≤ y ≥ incluyen el valor igual.
Regla crucial: cuando multiplicas o divides por un número negativo, debes voltear el símbolo de la inecuación. Por ejemplo, si -x < 2, al multiplicar por -1 obtienes x > -2.
Para inecuaciones cuadráticas, factoriza la expresión y encuentra los valores críticos. Luego determina en qué intervalos la desigualdad se cumple usando una tabla de signos.
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Las inecuaciones con valor absoluto tienen dos casos. Si |a| = b, entonces a = b o a = -b. Para desigualdades como a > |b|, necesitas a > b Y a > -b.
El círculo tiene ecuación ² + ² = R², donde (a,b) es el centro y R es el radio.
La elipse usa la forma ²/a² + ²/b² = 1, con centro en (h,k). Si a² > b², la elipse es horizontal; si b² > a², es vertical.
Tip: Para círculos, siempre verifica que el lado derecho sea positivo, o no será un círculo real.
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Los logaritmos tienen reglas específicas que debes memorizar. No pueden tener base negativa o cero. Además, log_a(1) = 0 y log_a(a) = 1 siempre.
Propiedades clave: log(a·b) = log(a) + log(b), log = log(a) - log(b), y log(aⁿ) = n·log(a). Estas te permiten simplificar expresiones complejas.
Para cambio de base, usa la fórmula: log_a(b) = log_c(b)/log_c(a), donde c es la nueva base que quieres usar.
Consejo práctico: Los logaritmos convierten multiplicación en suma y división en resta, ¡muy útil para cálculos!
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Las técnicas de conteo dependen de dos preguntas clave: ¿importa el orden? y ¿se puede repetir? Esto determina si usas combinación o permutación.
En combinaciones , el orden NO importa. Úsalas cuando solo te interese qué elementos están en el grupo, no su orden.
En permutaciones , el orden SÍ importa. Úsalas cuando diferentes ordenamientos del mismo grupo crean resultados distintos.
Regla simple: Si cambiar el orden cambia el resultado, usa permutación; si no, usa combinación.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Sarah L
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Paul T
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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