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Entendiendo Límites de Sucesiones en Matemáticas

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Karoll Z

24/12/2025

Matemáticas

Apuntes Matemáticas- Límites de sucesiones

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Matemáticas

214

•

24 de dic de 2025

•

4 páginas

Entendiendo Límites de Sucesiones en Matemáticas

K

Karoll Z

@aroll_49jszcdoc4erzw

¿Cómo funcionan los límites de sucesiones? Este tema nos permite... Mostrar más

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15 05 24 Propiedades de los límites de sucesiones Saberes previos ¿Si se suman dos sucesiones divergentes, se obtendrá otva sucesión dive

Propiedades de los límites de sucesiones

Cuando analizamos una sucesión como an=n2−12n2a_n = \frac{n^2-1}{2n^2}, podemos observar que sus términos se aproximan cada vez más a 12\frac{1}{2} conforme n crece. Si calculamos los primeros términos (0.38, 0.44, 0.47, 0.48, 0.49...), confirmamos esta tendencia.

El álgebra de límites nos proporciona herramientas para calcular límites de manera más eficiente. Si conocemos que lim⁡n→∞an=a\lim_{n \to \infty} a_n = a y lim⁡n→∞bn=b\lim_{n \to \infty} b_n = b, entonces:

  • El límite de una suma es la suma de los límites: lim⁡n→∞(an+bn)=a+b\lim_{n \to \infty} (a_n+b_n) = a+b
  • El límite de un producto por constante: lim⁡n→∞(K⋅an)=K⋅a\lim_{n \to \infty} (K \cdot a_n) = K \cdot a
  • El límite de una raíz: lim⁡n→∞ann=an\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{a}
  • El límite de una diferencia: lim⁡n→∞(an−bn)=a−b\lim_{n \to \infty} (a_n-b_n)=a-b

💡 Consejo práctico: Para calcular límites complicados, intenta factorizar y simplificar la expresión antes de aplicar las propiedades. Esto facilita enormemente el proceso.

15 05 24 Propiedades de los límites de sucesiones Saberes previos ¿Si se suman dos sucesiones divergentes, se obtendrá otva sucesión dive

Más propiedades y ejemplos prácticos

Continuando con las propiedades de límites, tenemos:

  • El límite de un cociente: lim⁡n→∞anbn=ab\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} (siempre que b≠0)
  • El límite de una potencia: lim⁡n→∞(an)bn=ab\lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n} = a^b
  • El límite de un producto: lim⁡n→∞(an⋅bn)=a⋅b\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b
  • El límite de una constante: lim⁡n→∞k=k\lim_{n \to \infty} k = k

¿Cómo aplicamos esto en la práctica? Observa este ejemplo: lim⁡n→∞3n2+5n+24n2−3n+5\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+5n+2}{4n^2-3n+5}. Aquí no podemos aplicar directamente el límite del cociente porque las sucesiones del numerador y denominador divergen.

La estrategia es factorizar el mayor grado de n (en este caso n²) tanto en el numerador como en el denominador:

3n2+5n+24n2−3n+5=n2(3+5n+2n2)n2(4−3n+5n2)=3+5n+2n24−3n+5n2\frac{3n^2+5n+2}{4n^2-3n+5} = \frac{n^2(3+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2})}{n^2(4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2})} = \frac{3+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}{4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}

Aplicando las propiedades, obtenemos 3+0+04−0+0=34\frac{3+0+0}{4-0+0} = \frac{3}{4}

🔍 Recuerda: Cuando n tiende a infinito, lim⁡n→∞1nk=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 para cualquier k > 0. Este resultado es fundamental para simplificar muchas expresiones.

15 05 24 Propiedades de los límites de sucesiones Saberes previos ¿Si se suman dos sucesiones divergentes, se obtendrá otva sucesión dive

Ejercicios y tipos de sucesiones

Veamos algunos ejemplos importantes de sucesiones y sus límites:

  • La sucesión constante: an=1⇒lim⁡n→∞1=1a_n = 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} 1 = 1
  • La sucesión recíproca: an=1n⇒lim⁡n→∞1n=0a_n = \frac{1}{n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
  • La sucesión exponencial: an=2n⇒lim⁡n→∞2n=∞a_n = 2^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} 2^n = \infty

Para resolver límites más complejos como lim⁡n→∞10n3+1n3−2\lim_{n \to \infty} \frac{10n^3 + 1}{n^3 - 2}, debemos factorizar y simplificar. Dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia (n³):

lim⁡n→∞10n3+1n3−2=lim⁡n→∞10+1n31−2n3=10+01−0=10\lim_{n \to \infty} \frac{10n^3 + 1}{n^3 - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{n^3}}{1 - \frac{2}{n^3}} = \frac{10 + 0}{1 - 0} = 10

Al enfrentar una expresión como an=6n4+5n3−2na_n = 6n^4 + 5n^3 - 2n, el término dominante es el de mayor exponente $6n^4$, por lo que su límite es infinito.

🌟 Truco para recordar: Para fracciones con polinomios, el comportamiento del límite depende de la relación entre los grados del numerador y denominador. Si el grado del numerador es mayor, el límite es infinito. Si son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales.

15 05 24 Propiedades de los límites de sucesiones Saberes previos ¿Si se suman dos sucesiones divergentes, se obtendrá otva sucesión dive

Resultados importantes y correcciones

Estos resultados son fundamentales para resolver límites:

  • lim⁡n→∞1nk=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 (para k ≥ 1)
  • lim⁡n→∞nk=∞\lim_{n \to \infty} n^k = \infty (para k > 0)

Veamos cómo aplicar estas propiedades en algunos ejemplos corregidos:

Ejemplo 1: Cn=3n3+n2+nn3+nC_n = \frac{3n^3 + n^2 + n}{n^3 + n}

Factorizando n³ en el numerador y denominador: lim⁡n→∞3n3+n2+nn3+n=lim⁡n→∞3+1n+1n21+1n2=3+0+01+0=3\lim_{n \to \infty} \frac{3n^3 + n^2 + n}{n^3 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{3 + 0 + 0}{1 + 0} = 3

Ejemplo 2: An=5n3−1n3+n2+n−1A_n = \frac{5n^3 - 1}{n^3 + n^2 + n - 1}

Dividiendo por n³: lim⁡n→∞5n3−1n3+n2+n−1=lim⁡n→∞5−1n31+1n+1n2−1n3=5−01+0+0−0=5\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3 - 1}{n^3 + n^2 + n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}} = \frac{5 - 0}{1 + 0 + 0 - 0} = 5

📝 Para los exámenes: Identifica primero el tipo de indeterminación (si existe) y aplica la técnica adecuada. Para fracciones algebraicas, dividir por la mayor potencia de n casi siempre es el camino correcto.



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Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

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Entendiendo Límites de Sucesiones en Matemáticas

K

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¿Cómo funcionan los límites de sucesiones? Este tema nos permite entender hacia dónde "viaja" una sucesión cuando sus términos crecen indefinidamente. Dominar las propiedades de los límites es clave para resolver problemas más complejos de cálculo y análisis matemático.

15 05 24 Propiedades de los límites de sucesiones Saberes previos ¿Si se suman dos sucesiones divergentes, se obtendrá otva sucesión dive

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Propiedades de los límites de sucesiones

Cuando analizamos una sucesión como an=n2−12n2a_n = \frac{n^2-1}{2n^2}, podemos observar que sus términos se aproximan cada vez más a 12\frac{1}{2} conforme n crece. Si calculamos los primeros términos (0.38, 0.44, 0.47, 0.48, 0.49...), confirmamos esta tendencia.

El álgebra de límites nos proporciona herramientas para calcular límites de manera más eficiente. Si conocemos que lim⁡n→∞an=a\lim_{n \to \infty} a_n = a y lim⁡n→∞bn=b\lim_{n \to \infty} b_n = b, entonces:

  • El límite de una suma es la suma de los límites: lim⁡n→∞(an+bn)=a+b\lim_{n \to \infty} (a_n+b_n) = a+b
  • El límite de un producto por constante: lim⁡n→∞(K⋅an)=K⋅a\lim_{n \to \infty} (K \cdot a_n) = K \cdot a
  • El límite de una raíz: lim⁡n→∞ann=an\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{a}
  • El límite de una diferencia: lim⁡n→∞(an−bn)=a−b\lim_{n \to \infty} (a_n-b_n)=a-b

💡 Consejo práctico: Para calcular límites complicados, intenta factorizar y simplificar la expresión antes de aplicar las propiedades. Esto facilita enormemente el proceso.

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Más propiedades y ejemplos prácticos

Continuando con las propiedades de límites, tenemos:

  • El límite de un cociente: lim⁡n→∞anbn=ab\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} (siempre que b≠0)
  • El límite de una potencia: lim⁡n→∞(an)bn=ab\lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n} = a^b
  • El límite de un producto: lim⁡n→∞(an⋅bn)=a⋅b\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b
  • El límite de una constante: lim⁡n→∞k=k\lim_{n \to \infty} k = k

¿Cómo aplicamos esto en la práctica? Observa este ejemplo: lim⁡n→∞3n2+5n+24n2−3n+5\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+5n+2}{4n^2-3n+5}. Aquí no podemos aplicar directamente el límite del cociente porque las sucesiones del numerador y denominador divergen.

La estrategia es factorizar el mayor grado de n (en este caso n²) tanto en el numerador como en el denominador:

3n2+5n+24n2−3n+5=n2(3+5n+2n2)n2(4−3n+5n2)=3+5n+2n24−3n+5n2\frac{3n^2+5n+2}{4n^2-3n+5} = \frac{n^2(3+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2})}{n^2(4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2})} = \frac{3+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}{4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}

Aplicando las propiedades, obtenemos 3+0+04−0+0=34\frac{3+0+0}{4-0+0} = \frac{3}{4}

🔍 Recuerda: Cuando n tiende a infinito, lim⁡n→∞1nk=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 para cualquier k > 0. Este resultado es fundamental para simplificar muchas expresiones.

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Ejercicios y tipos de sucesiones

Veamos algunos ejemplos importantes de sucesiones y sus límites:

  • La sucesión constante: an=1⇒lim⁡n→∞1=1a_n = 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} 1 = 1
  • La sucesión recíproca: an=1n⇒lim⁡n→∞1n=0a_n = \frac{1}{n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
  • La sucesión exponencial: an=2n⇒lim⁡n→∞2n=∞a_n = 2^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} 2^n = \infty

Para resolver límites más complejos como lim⁡n→∞10n3+1n3−2\lim_{n \to \infty} \frac{10n^3 + 1}{n^3 - 2}, debemos factorizar y simplificar. Dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia (n³):

lim⁡n→∞10n3+1n3−2=lim⁡n→∞10+1n31−2n3=10+01−0=10\lim_{n \to \infty} \frac{10n^3 + 1}{n^3 - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{n^3}}{1 - \frac{2}{n^3}} = \frac{10 + 0}{1 - 0} = 10

Al enfrentar una expresión como an=6n4+5n3−2na_n = 6n^4 + 5n^3 - 2n, el término dominante es el de mayor exponente $6n^4$, por lo que su límite es infinito.

🌟 Truco para recordar: Para fracciones con polinomios, el comportamiento del límite depende de la relación entre los grados del numerador y denominador. Si el grado del numerador es mayor, el límite es infinito. Si son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales.

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Estos resultados son fundamentales para resolver límites:

  • lim⁡n→∞1nk=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 (para k ≥ 1)
  • lim⁡n→∞nk=∞\lim_{n \to \infty} n^k = \infty (para k > 0)

Veamos cómo aplicar estas propiedades en algunos ejemplos corregidos:

Ejemplo 1: Cn=3n3+n2+nn3+nC_n = \frac{3n^3 + n^2 + n}{n^3 + n}

Factorizando n³ en el numerador y denominador: lim⁡n→∞3n3+n2+nn3+n=lim⁡n→∞3+1n+1n21+1n2=3+0+01+0=3\lim_{n \to \infty} \frac{3n^3 + n^2 + n}{n^3 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{3 + 0 + 0}{1 + 0} = 3

Ejemplo 2: An=5n3−1n3+n2+n−1A_n = \frac{5n^3 - 1}{n^3 + n^2 + n - 1}

Dividiendo por n³: lim⁡n→∞5n3−1n3+n2+n−1=lim⁡n→∞5−1n31+1n+1n2−1n3=5−01+0+0−0=5\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3 - 1}{n^3 + n^2 + n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}} = \frac{5 - 0}{1 + 0 + 0 - 0} = 5

📝 Para los exámenes: Identifica primero el tipo de indeterminación (si existe) y aplica la técnica adecuada. Para fracciones algebraicas, dividir por la mayor potencia de n casi siempre es el camino correcto.

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Material de estudio ICFES

Material de estudio, preguntas icfes de matemáticas resueltas

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS