Propiedades de los límites de sucesiones

Cuando analizamos una sucesión como $a_n = \frac{n^2-1}{2n^2}$, podemos observar que sus términos se aproximan cada vez más a $\frac{1}{2}$ conforme n crece. Si calculamos los primeros términos (0.38, 0.44, 0.47, 0.48, 0.49...), confirmamos esta tendencia.

El álgebra de límites nos proporciona herramientas para calcular límites de manera más eficiente. Si conocemos que $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ y $\lim_{n \to \infty} b_n = b$, entonces:

• El límite de una suma es la suma de los límites: $\lim_{n \to \infty} (a_n+b_n) = a+b$
• El límite de un producto por constante: $\lim_{n \to \infty} (K \cdot a_n) = K \cdot a$
• El límite de una raíz: $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{a}$
• El límite de una diferencia: $\lim_{n \to \infty} (a_n-b_n)=a-b$

💡 Consejo práctico: Para calcular límites complicados, intenta factorizar y simplificar la expresión antes de aplicar las propiedades. Esto facilita enormemente el proceso.

Más propiedades y ejemplos prácticos

Continuando con las propiedades de límites, tenemos:

• El límite de un cociente: $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$ (siempre que b≠0)
• El límite de una potencia: $\lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n} = a^b$
• El límite de un producto: $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b$
• El límite de una constante: $\lim_{n \to \infty} k = k$

¿Cómo aplicamos esto en la práctica? Observa este ejemplo: $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+5n+2}{4n^2-3n+5}$. Aquí no podemos aplicar directamente el límite del cociente porque las sucesiones del numerador y denominador divergen.

La estrategia es factorizar el mayor grado de n (en este caso n²) tanto en el numerador como en el denominador:

$\frac{3n^2+5n+2}{4n^2-3n+5} = \frac{n^2(3+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2})}{n^2(4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2})} = \frac{3+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}{4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}$

Aplicando las propiedades, obtenemos $\frac{3+0+0}{4-0+0} = \frac{3}{4}$

🔍 Recuerda: Cuando n tiende a infinito, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$ para cualquier k > 0. Este resultado es fundamental para simplificar muchas expresiones.

Ejercicios y tipos de sucesiones

Veamos algunos ejemplos importantes de sucesiones y sus límites:

• La sucesión constante: $a_n = 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} 1 = 1$
• La sucesión recíproca: $a_n = \frac{1}{n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
• La sucesión exponencial: $a_n = 2^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} 2^n = \infty$

Para resolver límites más complejos como $\lim_{n \to \infty} \frac{10n^3 + 1}{n^3 - 2}$, debemos factorizar y simplificar. Dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia (n³):

$\lim_{n \to \infty} \frac{10n^3 + 1}{n^3 - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{n^3}}{1 - \frac{2}{n^3}} = \frac{10 + 0}{1 - 0} = 10$

Al enfrentar una expresión como $a_n = 6n^4 + 5n^3 - 2n$, el término dominante es el de mayor exponente $6n^4$, por lo que su límite es infinito.

🌟 Truco para recordar: Para fracciones con polinomios, el comportamiento del límite depende de la relación entre los grados del numerador y denominador. Si el grado del numerador es mayor, el límite es infinito. Si son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales.

Resultados importantes y correcciones

Estos resultados son fundamentales para resolver límites:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$ (para k ≥ 1)
• $\lim_{n \to \infty} n^k = \infty$ (para k > 0)

Veamos cómo aplicar estas propiedades en algunos ejemplos corregidos:

Ejemplo 1: $C_n = \frac{3n^3 + n^2 + n}{n^3 + n}$

Factorizando n³ en el numerador y denominador: $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^3 + n^2 + n}{n^3 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{3 + 0 + 0}{1 + 0} = 3$

Ejemplo 2: $A_n = \frac{5n^3 - 1}{n^3 + n^2 + n - 1}$

Dividiendo por n³: $\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3 - 1}{n^3 + n^2 + n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}} = \frac{5 - 0}{1 + 0 + 0 - 0} = 5$

📝 Para los exámenes: Identifica primero el tipo de indeterminación (si existe) y aplica la técnica adecuada. Para fracciones algebraicas, dividir por la mayor potencia de n casi siempre es el camino correcto.