Rectas y Pendientes

La pendiente de una recta nos dice qué tan inclinada está. Se calcula dividiendo el cambio vertical (en y) entre el cambio horizontal (en x): m = Δy/Δx = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$.

Existen cuatro tipos de pendientes: positiva (la recta sube de izquierda a derecha), negativa (baja de izquierda a derecha), cero (línea horizontal) e indefinida (línea vertical).

Por ejemplo, para calcular la pendiente de una recta que pasa por los puntos (-4,5) y (2,17), sustituimos en la fórmula: m = (17-5)/(2-(-4)) = 12/6 = 2

💡 ¡Consejo útil! Para recordar los tipos de pendientes, piensa en cómo se vería si subieras por ellas: la positiva es como subir una colina, la negativa como bajar, la cero es caminar en terreno plano, y la indefinida es como una pared vertical.

Números Reales y Potenciación

Los números reales incluyen tanto los racionales como los irracionales $R = Q ∪ I$. Los números racionales pueden expresarse como fracciones, mientras que los irracionales no $como √2 = 1.4142...$.

La potenciación es una forma abreviada de escribir multiplicaciones de factores iguales. En a^n, a es la base (el factor que se repite) y n es el exponente (indica cuántas veces se multiplica la base).

Por ejemplo: 3⁴ = 3×3×3×3 = 81 También: (-3/2)³ = (-3/2)×(-3/2)×(-3/2) = -27/8

🔢 ¡Recuerda! Cuando elevas un número negativo a una potencia par, el resultado es positivo. Cuando lo elevas a una potencia impar, el resultado es negativo.

Potenciación con Diferentes Exponentes

En la potenciación con números reales, el exponente puede ser entero positivo, entero negativo o racional. Veamos dos casos importantes:

Caso 1: Con exponente entero positivo. Si n ∈ Z+ y a ∈ R, entonces a^n = a·a·a·... (n veces). Es simplemente multiplicar la base por sí misma n veces.

Caso 2: Con exponente entero negativo. Si n ∈ Z- y a ∈ R (con a ≠ 0), entonces a^$-n$ = 1/$a^n$. El exponente negativo indica que debemos tomar el recíproco.

Para determinar el signo de una potencia, recuerda estas reglas:

• Si la base es positiva (sea cual sea el exponente), la potencia es positiva
• Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva
• Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa

🧠 Dato importante: Las potencias con exponentes racionales (como fracciones) representan raíces. Por ejemplo, a^(1/2) es la raíz cuadrada de a.

Conjuntos Numéricos

Los números naturales (N) incluyen: 1, 2, 3, 4, 5...

Los números enteros (Z) incluyen: ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...

Los números racionales (Q) son todas las fracciones a/b donde a y b son enteros y b≠0. Incluyen decimales exactos (0,5) y periódicos (0,333...).

Los números irracionales (I) son decimales no periódicos como π=3,1415... o e=2,7182... No pueden escribirse como fracción.

Los números reales (R) son la unión de racionales e irracionales: R = Q ∪ I.

🌟 Consejo: Para identificar a qué conjunto pertenece un número, pregúntate: ¿Puede escribirse como fracción? Si sí, es racional; si no, es irracional. Todo número es real excepto los imaginarios y complejos.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras nos permite encontrar la longitud de un lado en un triángulo rectángulo cuando conocemos los otros dos. La fórmula es: a² + b² = c², donde c es la hipotenusa (lado más largo opuesto al ángulo recto) y a y b son los catetos.

Ejemplo: Si Laura y Juan José están separados por una distancia desconocida, y sabemos que forman un triángulo rectángulo con distancias de 60 y 75 unidades, podemos calcular:

a² + b² = c² 60² + x² = 75² x² = 75² - 60² x² = 5625 - 3600 x² = 2025 x = 45 unidades

📐 ¡Recuerda! La hipotenusa siempre es el lado más largo del triángulo rectángulo y está opuesta al ángulo de 90 grados. Este teorema es esencial para calcular distancias en situaciones de la vida real.

Proporciones y Teorema de Tales

Una razón es la relación entre dos magnitudes que se expresan mediante un cociente. Por ejemplo, si en un salón hay 18 niñas y 15 niños, podemos expresar razones como 18/15 $niñas/niños$ o 18/33 $niñas/estudiantes$.

Una proporción es la igualdad entre dos razones. Por ejemplo, 3/4 = 9/12 o 5/4 = 15/12. Si los lados de una figura son proporcionales, decimos que son figuras semejantes.

Para aplicar el Teorema de Tales en problemas prácticos, como calcular la longitud de un cable desde una torre de 75m de altura hasta un punto situado a 150m de la base, usamos la fórmula de la hipotenusa:

h² = 75² + 150² h² = 5625 + 22500 h = √28125

📏 Aplicación práctica: Las proporciones son útiles para resolver problemas de escala, como interpretar mapas o hacer maquetas. ¡Las usarás constantemente en geometría y física!

Teorema de Pitágoras en Aplicaciones

El teorema de Pitágoras establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo: c² = a² + b², donde c es la hipotenusa y a, b son los catetos.

Veamos una aplicación práctica: Si un avión vuela a 4.000 pies de altura sobre Sebastián, y después de un minuto ha volado horizontalmente 3.000 pies, ¿a qué distancia está el avión de Sebastián?

Aplicamos el teorema: h² = (3.000)² + (4.000)² h² = 9.000.000 + 16.000.000 h² = 25.000.000 h = 5.000 pies

La distancia entre el avión y Sebastián es de 5.000 pies.

🛩️ ¡Dato interesante! El teorema de Pitágoras no solo sirve para calcular distancias en el espacio o en un plano. También se utiliza en física, ingeniería, arquitectura e incluso para calcular la intensidad de una señal en telecomunicaciones.

Problemas Prácticos con Triángulos Rectángulos

Problema 1: Se quiere colocar un cable desde la cima de una torre de 75m de altura a un punto situado a 150m de la base. ¿Cuánto debe medir el cable?

Solución: h² = 75² + 150² h² = 5.625 + 22.500 h² = 28.125 h = 167,7m

Problema 2: Hallar las medidas de los lados de una vela triangular rectangular si su área es de 150m² y su altura es de 15m.

Solución:

1. Del área: 150 = (b·15)/2 b = 2·150/15 = 20m
2. Usando Pitágoras para hallar la hipotenusa: h² = 15² + 20² h² = 225 + 400 h² = 625 h = 25m

🔍 Visualiza el problema: Cuando trabajes con problemas de triángulos rectángulos, dibuja siempre el triángulo e identifica claramente cuáles son los catetos y la hipotenusa. Te ayudará a aplicar correctamente las fórmulas.

Determinantes y Regla de Cramer

El determinante de una matriz 2×2 se calcula con la fórmula: det(A) = ad - bc, donde A = $[a,b],[c,d]$.

Ejemplos:

1. det([[3,2],[4,-1]]) = 3·(-1) - 2·4 = -3 - 8 = -11
2. det([[1,-4],[1,2]]) = 1·2 - (-4)·1 = 2 + 4 = 6

La Regla de Cramer nos permite resolver sistemas de ecuaciones 2×2 mediante determinantes:

Para el sistema {ax + by = r {cx + dy = s

Las soluciones son: x = det(Dx)/det(D) y = det(Dy)/det(D)

Donde:

• D es la matriz de coeficientes $[a,b],[c,d]$
• Dx es la matriz reemplazando los coeficientes de x por términos independientes $[r,b],[s,d]$
• Dy es la matriz reemplazando los coeficientes de y por términos independientes $[a,r],[c,s]$

🧮 Truco para calcular determinantes: Piensa en multiplicar diagonalmente - primero la diagonal principal (de izquierda a derecha) y luego resta la diagonal secundaria (de derecha a izquierda).

Números Imaginarios y Complejos

Los números imaginarios son las raíces cuadradas de números negativos. No tienen solución en el conjunto de los números reales, por lo que se introducen en el conjunto de los números complejos.

La unidad imaginaria se denota como i y se define como i = √(-1), por lo que i² = -1.

Con esta unidad imaginaria, podemos expresar cualquier raíz cuadrada de número negativo:

• √(-12) = √(12·(-1)) = √12·√(-1) = √12·i = 2√3·i
• √(-27) = √27·i = 3√3·i
• √(-3) = √3·i

Los números imaginarios son una extensión de nuestro sistema numérico, formando parte de los números complejos junto con los reales.

🌀 Nota curiosa: Aunque se llaman "imaginarios", estos números tienen aplicaciones muy reales en física cuántica, ingeniería eléctrica, procesamiento de señales y muchas otras áreas científicas.