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Zafiro Soler
1/12/2025
Matemáticas
Apuntes
122
•
1 de dic de 2025
•
Zafiro Soler
@afirooler_gxeohqjju2
¿Alguna vez te has preguntado qué pasa cuando divides una... Mostrar más
Imagínate que tienes dos funciones y decides dividir una entre la otra. ¡Eso es exactamente lo que es una función racional! Se escribe como donde .
Lo más importante que debes recordar es que el denominador nunca puede ser cero. ¿Por qué? Porque dividir entre cero es matemáticamente imposible.
Para encontrar el dominio de una función racional, simplemente encuentra todos los valores de x que hacen que el denominador sea cero, y luego excluye esos valores de los números reales. Es como hacer una lista de invitados y tachar a los que no pueden venir.
💡 Tip clave: El dominio son todos los números reales EXCEPTO donde el denominador se hace cero.
Vamos a practicar con algunos ejemplos que seguramente verás en tus exámenes. La clave es igualar el denominador a cero y resolver.
Para : El denominador , entonces . El dominio es .
Para : Resolvemos , obtenemos . Dominio: .
Cuando el denominador tiene una expresión cuadrática como , factorizamos: . Esto nos da dos valores excluidos: y .
💡 Recuerda: Si el denominador no tiene raíces reales como $x^2 + 9$, el dominio es todo .
Algunos denominadores requieren factorización para encontrar las restricciones del dominio. Por ejemplo, con , factorizamos el denominador como .
Esto nos da dos valores prohibidos: y . El dominio queda como .
Hay casos especiales donde el denominador nunca es cero. Para , como siempre es positivo, el dominio es todos los reales.
La factorización de expresiones cuadráticas es tu mejor herramienta aquí. Practica identificar patrones como .
💡 Estrategia ganadora: Siempre factoriza completamente el denominador antes de encontrar las restricciones.
Las funciones a trozos son como tener diferentes reglas para diferentes situaciones. Imagínate que cambias de velocidad dependiendo de si vas en ciudad o autopista.
Estas funciones usan diferentes fórmulas para distintas partes de su dominio. Por ejemplo:
Para graficarlas, haces una tabla de valores para cada "trozo" por separado. Luego conectas las partes respetando las condiciones (≤, <, ≥, >).
El dominio generalmente es a menos que alguna de las funciones individuales tenga restricciones. Es como tener un mapa completo del territorio.
💡 Tip visual: Usa círculos llenos (•) para ≤ y ≥, y círculos vacíos (○) para < y >.
El secreto para graficar funciones a trozos está en ser super organizado. Haces una tabla para cada trozo y después unes todo en el mismo plano cartesiano.
Para , la primera parte es una línea horizontal en para todos los menores que 2.
La segunda parte es una línea con pendiente 2 que empieza en el punto . Fíjate que en usamos la segunda fórmula porque dice .
Los puntos de conexión son cruciales. Ahí es donde cambias de una fórmula a otra, y debes ser preciso con los símbolos de desigualdad.
💡 Cuidado: Siempre verifica qué pasa exactamente en los puntos de transición.
Cuando tienes tres o más trozos, la estrategia es la misma pero requiere más cuidado. Para , trabajas cada intervalo por separado.
El primer trozo $x+2$ solo existe para . El segundo trozo $-x$ cubre el intervalo abierto entre -3 y 0. El tercer trozo es una función constante para .
Algunos casos pueden tener huecos en el dominio. Si una función a trozos no define qué pasa en cierto punto, ese valor se excluye del dominio.
La práctica hace al maestro con estas funciones. Empieza siempre identificando los intervalos y luego grafica trozo por trozo.
💡 Estrategia final: Colorea cada trozo con un color diferente mientras practicas para evitar confusiones.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Paul T
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Zafiro Soler
@afirooler_gxeohqjju2
¿Alguna vez te has preguntado qué pasa cuando divides una función entre otra? Las funciones racionales y las funciones a trozos son herramientas súper útiles en matemáticas que te van a ayudar a resolver problemas más complejos de una manera... Mostrar más
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Imagínate que tienes dos funciones y decides dividir una entre la otra. ¡Eso es exactamente lo que es una función racional! Se escribe como donde .
Lo más importante que debes recordar es que el denominador nunca puede ser cero. ¿Por qué? Porque dividir entre cero es matemáticamente imposible.
Para encontrar el dominio de una función racional, simplemente encuentra todos los valores de x que hacen que el denominador sea cero, y luego excluye esos valores de los números reales. Es como hacer una lista de invitados y tachar a los que no pueden venir.
💡 Tip clave: El dominio son todos los números reales EXCEPTO donde el denominador se hace cero.
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Vamos a practicar con algunos ejemplos que seguramente verás en tus exámenes. La clave es igualar el denominador a cero y resolver.
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Para : Resolvemos , obtenemos . Dominio: .
Cuando el denominador tiene una expresión cuadrática como , factorizamos: . Esto nos da dos valores excluidos: y .
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Para graficarlas, haces una tabla de valores para cada "trozo" por separado. Luego conectas las partes respetando las condiciones (≤, <, ≥, >).
El dominio generalmente es a menos que alguna de las funciones individuales tenga restricciones. Es como tener un mapa completo del territorio.
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La segunda parte es una línea con pendiente 2 que empieza en el punto . Fíjate que en usamos la segunda fórmula porque dice .
Los puntos de conexión son cruciales. Ahí es donde cambias de una fórmula a otra, y debes ser preciso con los símbolos de desigualdad.
💡 Cuidado: Siempre verifica qué pasa exactamente en los puntos de transición.
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Cuando tienes tres o más trozos, la estrategia es la misma pero requiere más cuidado. Para , trabajas cada intervalo por separado.
El primer trozo $x+2$ solo existe para . El segundo trozo $-x$ cubre el intervalo abierto entre -3 y 0. El tercer trozo es una función constante para .
Algunos casos pueden tener huecos en el dominio. Si una función a trozos no define qué pasa en cierto punto, ese valor se excluye del dominio.
La práctica hace al maestro con estas funciones. Empieza siempre identificando los intervalos y luego grafica trozo por trozo.
💡 Estrategia final: Colorea cada trozo con un color diferente mientras practicas para evitar confusiones.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Pablo
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Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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Roberto
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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