Propiedades fundamentales del valor absoluto

Imaginate que el valor absoluto es como una "distancia" en la recta numérica. Por eso, cuando tenés una inecuación con valor absoluto, vas a usar dos reglas clave que te van a salvar la vida.

La primera regla: si |x| < k, entonces -k < x < k. Esto significa que x está "atrapado" entre dos valores. La segunda regla: si |x| > k, entonces x > k o x < -k. Acá x puede estar en cualquiera de los dos extremos.

Mirá este ejemplo práctico: para resolver |2x - 4| ≤ 6, aplicás la primera regla y obtenés -6 ≤ 2x - 4 ≤ 6. Después solo despejás: sumás 4 a todos los lados, dividís por 2, y llegás a -1 ≤ x ≤ 5.

¡Recordá! Si el valor absoluto es menor que un número, usás la forma "sandwich" (entre dos valores). Si es mayor, usás "o" para separar dos intervalos.

Ejemplos paso a paso

Practicar con ejemplos concretos es la mejor forma de dominar las inecuaciones con valor absoluto. Vamos a ver dos casos típicos que te van a aparecer en los exámenes.

Para |3x + 2| < 11, usás la regla del "sandwich": -11 < 3x + 2 < 11. Restás 2 de todos lados, dividís por 3, y obtenés -4⅓ < x < 3. El resultado es el intervalo $-4⅓, 3$.

Con |4x - 1| > 19, la cosa cambia porque usás "o". Separás en dos casos: 4x - 1 > 19 o 4x - 1 < -19. Resolvés cada uno por separado y obtenés x > 5 o x < -9/2. La solución final es $-∞, -9/2$ ∪ (5, ∞).

Tip de oro: Cuando tenés "mayor que", siempre vas a tener dos intervalos separados. Cuando tenés "menor que", siempre vas a tener un solo intervalo continuo.

Casos especiales que debes conocer

No todas las inecuaciones tienen solución, y algunas tienen solución para todos los números reales. Estos casos especiales aparecen más seguido de lo que pensás en los exámenes.

Si te sale algo como |3x + 4| < -6, no tiene solución. ¿Por qué? Porque el valor absoluto siempre es positivo o cero, nunca negativo. Es imposible que algo positivo sea menor que un número negativo.

Por el contrario, |5x - 8| > -10 siempre es verdadero para cualquier valor de x. Como el valor absoluto siempre es positivo, va a ser mayor que cualquier número negativo. La solución es todos los números reales.

Para |6x - 5| ≥ 10, aplicás la regla del "o": 6x - 5 ≥ 10 o 6x - 5 ≤ -10. Resolvés y obtenés x ≥ 5/2 o x ≤ -5/6, que se escribe como $-∞, -5/6] ∪ [5/2, ∞$.

Atención: Fijate bien en los signos. Si el valor absoluto es menor que un número negativo, no hay solución. Si es mayor que un número negativo, la solución son todos los reales.

Completando la resolución

El último paso siempre es verificar que tu solución esté bien expresada en forma de intervalo. Esta parte es clave para no perder puntos en los exámenes por presentación.

Continuando con el ejemplo anterior |3x + 6| < 18, aplicás la regla del sandwich: -18 < 3x + 6 < 18. Restás 6 de todos lados y dividís por 3 para obtener -8 < x < 4.

La respuesta final se escribe como el intervalo abierto $-8, 4$. Recordá que usás paréntesis porque los extremos no están incluidos en la solución.

Para el examen: Siempre verificá tu respuesta sustituyendo un valor del intervalo en la inecuación original. Si funciona, vas por buen camino.