Ejercicios de Probabilidad con Distribuciones Discretas

Los primeros ejercicios tratan sobre situaciones donde contamos sucesos específicos. Por ejemplo, el ejercicio 1 pregunta la probabilidad de que el décimo niño expuesto a una enfermedad sea exactamente el tercero en contagiarse, usando la distribución binomial negativa.

En el segundo problema calculamos la probabilidad de aprobar un examen de conducir exactamente en el cuarto intento, lo que corresponde a una distribución geométrica con probabilidad de éxito de 0,75. Esta distribución es útil cuando esperamos hasta que ocurra el primer éxito.

El ejercicio 3 aborda un caso médico donde debemos operar 5 lóbulos pulmonares y queremos que 4 queden sanos, calculando la probabilidad de necesitar exactamente 10 intervenciones. El ejercicio 7 utiliza la distribución uniforme discreta para calcular la probabilidad de aprobar un examen cuando no se han estudiado todos los temas.

💡 Reconocer qué distribución aplica a cada situación es el primer paso para resolver correctamente estos problemas de probabilidad.

Distribuciones Continuas: Exponencial y Uniforme

La distribución exponencial aparece cuando estudiamos el tiempo hasta que algo falla. El ejercicio 4 analiza la duración de una batería con vida media de 360 días, calculando la probabilidad de que funcione más de 400 días (aproximadamente 0,33).

En el ejercicio 5 analizamos la vida útil de una plancha con distribución exponencial y vida media de 18 meses. Podemos calcular diferentes probabilidades: que falle antes de 12 meses (0,49), después de 20 meses (0,33) o en un intervalo específico como entre 16 y 19 meses (0,06).

Las soluciones de los primeros ejercicios se desarrollan paso a paso aplicando las fórmulas correspondientes. Por ejemplo, para la binomial negativa usamos la combinación de n-1 elementos tomados k-1, multiplicada por la probabilidad de éxito elevada a k y la de fracaso elevada a $n-k$.

🔍 La distribución exponencial tiene la propiedad de "falta de memoria", lo que significa que la probabilidad de fallar en los próximos t unidades de tiempo no depende de cuánto tiempo ha funcionado ya.

Más Ejercicios de Distribuciones Continuas

El ejercicio 6 explora la distribución uniforme continua aplicada al tiempo de acceso a archivos en un disco duro, que varía uniformemente entre 0,1 y 0,5 segundos. Con este modelo podemos calcular:

• La probabilidad de que el acceso sea exactamente 0,125 segundos es 0 (en variables continuas).
• La probabilidad de que sea inferior a 0,125 segundos es 0,0625.
• El tiempo medio de acceso es 0,3 segundos con desviación típica de 0,115 segundos.
• El 75% de las búsquedas superan los 0,2 segundos.
• El valor que no es superado por el 50% de búsquedas es 0,3 segundos.

Para resolver problemas con distribución uniforme continua usamos la fórmula de la función de distribución $F(x) = \frac{x-a}{b-a}$ donde a y b son los límites del intervalo. La media se calcula como $\frac{a+b}{2}$ y la varianza como $\frac{(b-a)^2}{12}$.

🧮 En la distribución uniforme, cualquier intervalo del mismo tamaño tiene la misma probabilidad, lo que la hace ideal para modelar situaciones donde todos los valores posibles son igualmente probables.

Ejercicios de Distribución Binomial

El último ejercicio utiliza la distribución binomial para modelar la cantidad de personas en un grupo de 4 amigos que han leído cierta novela, sabiendo que el 80% de los lectores ya la han leído.

La probabilidad de que exactamente 2 personas hayan leído la novela es 0,1536, calculada como $\binom{4}{2} (0,8)^2(0,2)^2$. Para hallar la probabilidad de que como máximo 2 personas la hayan leído, sumamos las probabilidades de 0, 1 y 2 personas, obteniendo 0,1808.

La distribución binomial es perfecta para situaciones donde contamos el número de éxitos en un número fijo de pruebas independientes. La fórmula general es $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ donde n es el número total de pruebas, k el número de éxitos y p la probabilidad de éxito en cada prueba.

🎯 La distribución binomial aparece en muchas situaciones cotidianas: número de aciertos en un examen tipo test, cantidad de personas con cierta característica en un grupo, o número de productos defectuosos en un lote.