Asignaturas
Matemáticas
3 de dic de 2025
377
4 páginas
María José Zapata Muñoz @araosapatauoz_mnpxa3
Los sistemas de ecuaciones lineales son una herramienta matemática súper útil que te permitirá resolver problemas con múltiples... Mostrar más
Imaginate que tenés que encontrar los valores de varias variables al mismo tiempo. Una ecuación lineal es una expresión como 3x₁ + 4x₂ - 5x₃ - x₄ = 8, donde las letras son las incógnitas que querés encontrar y los números son constantes.
Cuando tenés varias ecuaciones lineales que se deben cumplir al mismo tiempo, formás un sistema de ecuaciones lineales (SEL). Por ejemplo, si tenés 5x₁ + 3x₂ = -12 y x₁ + 3x₂ = 6, estás trabajando con un SEL de 2×2 (2 ecuaciones con 2 incógnitas).
La clave está en encontrar los valores de las variables que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente. Podés representar cualquier SEL en forma matricial como Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de variables y b es el vector solución.
💡 Tip clave La notación matricial te ayuda a organizar mejor la información y aplicar métodos sistemáticos para resolver el sistema.
Para trabajar con sistemas de ecuaciones lineales necesitás entender algunos conceptos básicos. La matriz aumentada es tu mejor amiga tomás la matriz de coeficientes A y le agregás una columna extra con el vector b.
El pivote de una matriz es simplemente la primera entrada diferente de cero en cada fila. Una matriz escalonada tiene una forma especial donde todos los números debajo de cada pivote son ceros, las filas nulas están al final, y cada pivote está a la derecha del pivote de la fila anterior.
Las operaciones elementales son tres movimientos que podés hacer sin cambiar la solución del sistema intercambiar filas, multiplicar una fila por un número diferente de cero, o multiplicar una fila por un escalar y sumarla a otra fila.
💡 Recuerda Estas operaciones no afectan la solución del sistema, solo cambian la apariencia de la matriz para hacerla más fácil de resolver.
El método de eliminación de Gauss es tu técnica principal para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Es como seguir una receta escribís la matriz aumentada, la escalonás usando operaciones elementales, y después resolvés con sustitución regresiva.
Cuando escalonás una matriz, aplicás operaciones elementales estratégicamente para crear ceros debajo de los pivotes. Por ejemplo, si tenés una matriz 3×3, trabajás columna por columna de izquierda a derecha, eliminando los elementos debajo del pivote.
El proceso te lleva desde un sistema complicado hasta un sistema equivalente (que tiene la misma solución) pero mucho más fácil de resolver. Una vez que tenés la matriz escalonada, podés usar sustitución regresiva para encontrar los valores de las variables.
💡 Estrategia ganadora Siempre empezá por la columna de la izquierda y trabajá hacia la derecha, haciendo ceros debajo de cada pivote.
Una vez que tenés tu matriz escalonada, viene la parte más satisfactoria encontrar las soluciones. La sustitución regresiva significa que empezás desde la última ecuación (la de abajo) y vas subiendo.
En el ejemplo, primero resolvés 35z = 114, lo que te da z = 114/35. Después sustituís este valor en la ecuación de arriba para encontrar y, y finalmente usás ambos valores para encontrar x. Es como armar un rompecabezas cada pieza te ayuda a encontrar la siguiente.
El resultado final te da los valores exactos de todas las variables que satisfacen el sistema original. En este caso x = 12/5, y = -19/35, y z = 114/35.
💡 Pro tip Siempre verificá tu respuesta sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales. Si no funcionan, revisá tus cálculos.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Marco B
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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Los sistemas de ecuaciones lineales son una herramienta matemática súper útil que te permitirá resolver problemas con múltiples incógnitas de manera organizada. Vas a aprender qué son, cómo representarlos usando matrices y cómo resolverlos paso a paso usando el método... Mostrar más
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Imaginate que tenés que encontrar los valores de varias variables al mismo tiempo. Una ecuación lineal es una expresión como 3x₁ + 4x₂ - 5x₃ - x₄ = 8, donde las letras son las incógnitas que querés encontrar y los números son constantes.
Cuando tenés varias ecuaciones lineales que se deben cumplir al mismo tiempo, formás un sistema de ecuaciones lineales (SEL). Por ejemplo, si tenés 5x₁ + 3x₂ = -12 y x₁ + 3x₂ = 6, estás trabajando con un SEL de 2×2 (2 ecuaciones con 2 incógnitas).
La clave está en encontrar los valores de las variables que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente. Podés representar cualquier SEL en forma matricial como Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de variables y b es el vector solución.
💡 Tip clave: La notación matricial te ayuda a organizar mejor la información y aplicar métodos sistemáticos para resolver el sistema.
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El pivote de una matriz es simplemente la primera entrada diferente de cero en cada fila. Una matriz escalonada tiene una forma especial donde todos los números debajo de cada pivote son ceros, las filas nulas están al final, y cada pivote está a la derecha del pivote de la fila anterior.
Las operaciones elementales son tres movimientos que podés hacer sin cambiar la solución del sistema: intercambiar filas, multiplicar una fila por un número diferente de cero, o multiplicar una fila por un escalar y sumarla a otra fila.
💡 Recuerda: Estas operaciones no afectan la solución del sistema, solo cambian la apariencia de la matriz para hacerla más fácil de resolver.
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Cuando escalonás una matriz, aplicás operaciones elementales estratégicamente para crear ceros debajo de los pivotes. Por ejemplo, si tenés una matriz 3×3, trabajás columna por columna de izquierda a derecha, eliminando los elementos debajo del pivote.
El proceso te lleva desde un sistema complicado hasta un sistema equivalente (que tiene la misma solución) pero mucho más fácil de resolver. Una vez que tenés la matriz escalonada, podés usar sustitución regresiva para encontrar los valores de las variables.
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En el ejemplo, primero resolvés 35z = 114, lo que te da z = 114/35. Después sustituís este valor en la ecuación de arriba para encontrar y, y finalmente usás ambos valores para encontrar x. Es como armar un rompecabezas: cada pieza te ayuda a encontrar la siguiente.
El resultado final te da los valores exactos de todas las variables que satisfacen el sistema original. En este caso: x = 12/5, y = -19/35, y z = 114/35.
💡 Pro tip: Siempre verificá tu respuesta sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales. Si no funcionan, revisá tus cálculos.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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