Funciones Trigonométricas Circulares

Las seis funciones trigonométricas relacionan las coordenadas (x,y) de un punto en el círculo con el radio r. Estas relaciones son fundamentales para la trigonometría.

Las funciones básicas son:

• seno α = y/r (relación entre la coordenada vertical y el radio)
• coseno α = x/r (relación entre la coordenada horizontal y el radio)
• tangente α = y/x (relación entre las coordenadas vertical y horizontal)

Las funciones recíprocas completan el conjunto:

• cotangente α = x/y (recíproca de la tangente)
• secante α = r/x (recíproca del coseno)
• cosecante α = r/y (recíproca del seno)

💡 Truco de memoria: Puedes recordar estas funciones imaginando un punto en el círculo y pensando en qué valores se dividen. El seno usa la altura $y$, el coseno usa la base $x$, y la tangente relaciona ambas coordenadas.

Ejercicio con Punto $-1,-3$

Cuando tenemos un punto como $-1,-3$, primero calculamos el radio para hallar todas las funciones trigonométricas. Este punto está en el tercer cuadrante.

Para calcular el radio usamos el teorema de Pitágoras: r² = $-1$² + $-3$² = 1 + 9 = 10 r = √10 = √(5²) = 5

Con el radio calculado, podemos determinar las funciones:

• seno = -3/5 (negativo en el tercer cuadrante)
• coseno = -1/5 (negativo en el tercer cuadrante)
• tangente = 3/1 = 3 (positiva en el tercer cuadrante)

En la segunda parte vemos ángulos como 300°. Podemos relacionarlo con ángulos de referencia:

• 300° está en el cuarto cuadrante $360°-300° = 60°$
• Por lo tanto: sen 300° = -sen 60°, cos 300° = cos 60°, etc.

💡 Consejo práctico: Para calcular funciones trigonométricas de ángulos mayores a 90°, identifica en qué cuadrante está el ángulo y aplica las reglas de signos según el cuadrante.

Ángulos en Distintos Cuadrantes

Para resolver ángulos en diferentes cuadrantes, podemos usar ángulos de referencia. Esto nos permite relacionar cualquier ángulo con uno del primer cuadrante.

Para ángulos en el segundo cuadrante como 135°:

• El ángulo de referencia es 180° - 135° = 45°
• sen 135° = sen 45° (seno positivo en el segundo cuadrante)
• cos 135° = -cos 45° (coseno negativo en el segundo cuadrante)
• tan 135° = -tan 45° (tangente negativa en el segundo cuadrante)

Para ángulos en el tercer cuadrante como 210°:

• El ángulo de referencia es 210° - 180° = 30°
• sen 210° = -sen 30° (seno negativo en el tercer cuadrante)
• cos 210° = -cos 30° (coseno negativo en el tercer cuadrante)
• tan 210° = tan 30° (tangente positiva en el tercer cuadrante)

Para el ejercicio con 285°:

• El ángulo de referencia es 360° - 285° = 75°
• Por estar en el cuarto cuadrante, seno y tangente son negativos, coseno es positivo

🔑 Recordatorio importante: Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante: en el primer cuadrante todas son positivas; en el segundo, solo seno y cosecante; en el tercero, solo tangente y cotangente; en el cuarto, solo coseno y secante.

Ángulos Negativos y Ángulos Mayores a 360°

Los ángulos negativos tienen una relación específica con los positivos. Estas reglas son fundamentales para simplificar cálculos complejos:

• sen$-α$ = -sen(α) (el seno es una función impar)
• cos$-α$ = cos(α) (el coseno es una función par)
• tan$-α$ = -tan(α) (la tangente es una función impar)
• cot$-α$ = -cot(α) (la cotangente es una función impar)
• sec$-α$ = sec(α) (la secante es una función par)
• csc$-α$ = -csc(α) (la cosecante es una función impar)

Podemos verificar estas relaciones. Por ejemplo, para tan$-α$: tan$-α$ = sen$-α$/cos$-α$ = -sen(α)/cos(α) = -tan(α)

Para ángulos mayores a 360°, reducimos el ángulo a uno equivalente entre 0° y 360°:

• sen$-390°$ = sen$-30°$ = -sen(30°) = -1/2
• cos(1215°) = cos$1215° - 3×360°$ = cos(135°) = -cos(45°) = -√2/2

💡 Simplificación rápida: Para ángulos grandes, divide por 360° y trabaja solo con el residuo. Por ejemplo, 1215° ÷ 360° = 3 con residuo 135°, así que 1215° es equivalente a 135°.