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María José Zapata Muñoz
5/12/2025
Matemáticas
Matemáticas grado 10 y 11 - Funciones trigonométricas Circulares
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5 de dic de 2025
•
María José Zapata Muñoz
@araosapatauoz_mnpxa3
Las funciones trigonométricas circulares nos permiten relacionar ángulos y medidas... Mostrar más
Las seis funciones trigonométricas relacionan las coordenadas (x,y) de un punto en el círculo con el radio r. Estas relaciones son fundamentales para la trigonometría.
Las funciones básicas son:
Las funciones recíprocas completan el conjunto:
💡 Truco de memoria: Puedes recordar estas funciones imaginando un punto en el círculo y pensando en qué valores se dividen. El seno usa la altura (y), el coseno usa la base (x), y la tangente relaciona ambas coordenadas.
Cuando tenemos un punto como (-1,-3), primero calculamos el radio para hallar todas las funciones trigonométricas. Este punto está en el tercer cuadrante.
Para calcular el radio usamos el teorema de Pitágoras: r² = (-1)² + (-3)² = 1 + 9 = 10 r = √10 = √(5²) = 5
Con el radio calculado, podemos determinar las funciones:
En la segunda parte vemos ángulos como 300°. Podemos relacionarlo con ángulos de referencia:
💡 Consejo práctico: Para calcular funciones trigonométricas de ángulos mayores a 90°, identifica en qué cuadrante está el ángulo y aplica las reglas de signos según el cuadrante.
Para resolver ángulos en diferentes cuadrantes, podemos usar ángulos de referencia. Esto nos permite relacionar cualquier ángulo con uno del primer cuadrante.
Para ángulos en el segundo cuadrante como 135°:
Para ángulos en el tercer cuadrante como 210°:
Para el ejercicio con 285°:
🔑 Recordatorio importante: Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante: en el primer cuadrante todas son positivas; en el segundo, solo seno y cosecante; en el tercero, solo tangente y cotangente; en el cuarto, solo coseno y secante.
Los ángulos negativos tienen una relación específica con los positivos. Estas reglas son fundamentales para simplificar cálculos complejos:
Podemos verificar estas relaciones. Por ejemplo, para tan(-α): tan(-α) = sen(-α)/cos(-α) = -sen(α)/cos(α) = -tan(α)
Para ángulos mayores a 360°, reducimos el ángulo a uno equivalente entre 0° y 360°:
💡 Simplificación rápida: Para ángulos grandes, divide por 360° y trabaja solo con el residuo. Por ejemplo, 1215° ÷ 360° = 3 con residuo 135°, así que 1215° es equivalente a 135°.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Las seis funciones trigonométricas relacionan las coordenadas (x,y) de un punto en el círculo con el radio r. Estas relaciones son fundamentales para la trigonometría.
Las funciones básicas son:
Las funciones recíprocas completan el conjunto:
💡 Truco de memoria: Puedes recordar estas funciones imaginando un punto en el círculo y pensando en qué valores se dividen. El seno usa la altura (y), el coseno usa la base (x), y la tangente relaciona ambas coordenadas.
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Para calcular el radio usamos el teorema de Pitágoras: r² = (-1)² + (-3)² = 1 + 9 = 10 r = √10 = √(5²) = 5
Con el radio calculado, podemos determinar las funciones:
En la segunda parte vemos ángulos como 300°. Podemos relacionarlo con ángulos de referencia:
💡 Consejo práctico: Para calcular funciones trigonométricas de ángulos mayores a 90°, identifica en qué cuadrante está el ángulo y aplica las reglas de signos según el cuadrante.
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Para resolver ángulos en diferentes cuadrantes, podemos usar ángulos de referencia. Esto nos permite relacionar cualquier ángulo con uno del primer cuadrante.
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Para ángulos en el tercer cuadrante como 210°:
Para el ejercicio con 285°:
🔑 Recordatorio importante: Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante: en el primer cuadrante todas son positivas; en el segundo, solo seno y cosecante; en el tercero, solo tangente y cotangente; en el cuarto, solo coseno y secante.
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Los ángulos negativos tienen una relación específica con los positivos. Estas reglas son fundamentales para simplificar cálculos complejos:
Podemos verificar estas relaciones. Por ejemplo, para tan(-α): tan(-α) = sen(-α)/cos(-α) = -sen(α)/cos(α) = -tan(α)
Para ángulos mayores a 360°, reducimos el ángulo a uno equivalente entre 0° y 360°:
💡 Simplificación rápida: Para ángulos grandes, divide por 360° y trabaja solo con el residuo. Por ejemplo, 1215° ÷ 360° = 3 con residuo 135°, así que 1215° es equivalente a 135°.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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