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5 de ene de 2026

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8 páginas

Integrales y Sustitución Simplificada

Yeferson Gallego Mosquera

@efersonallegoosquera_5dyk

¿Sabías que las integrales pueden parecer complicadas pero en realidad... Mostrar más

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Nuevo taller:
En los Problemers del 15 y 34 Utilice el metedo
de Sustitución para determinar cada una de las
Siyeuntes Inteyed as indefinida

Integrales con Raíces - Los Básicos

El método de sustitución es tu mejor amigo cuando ves una raíz cuadrada con algo más complejo adentro. La clave está en identificar qué parte de la función va a ser tu nueva variable.

Para resolver $\int \sqrt{3x+2} dx$ , hacés u = 3x+2 y automáticamente du = 3dx. Esto significa que $dx = \frac{du}{3}$ .

Cuando sustituís, la integral se convierte en $\frac{1}{3} \int u^{1/2} du$ , que es mucho más simple de resolver. Al final, no olvides volver a la variable original: $\frac{2}{9}(3x+2)^{3/2} + c$ .

Tip clave: Siempre verificá que tu sustitución simplifique la integral, no que la complique más.

Más Raíces y Funciones Trigonométricas

Las integrales trigonométricas con sustitución funcionan igual de bien. Cuando tenés $\int \cos(3x+2)dx$ , la sustitución t = 3x+2 hace que dt = 3dx.

El truco está en recordar las derivadas básicas: la integral de coseno es seno, y la de seno es menos coseno. Después de integrar $\frac{1}{3}\int \cos(t)dt$ , obtenés $\frac{1}{3}\sin(3x+2) + C$ .

Para funciones como $\int \sin(2x-4)dx$ , seguís el mismo patrón pero recordá que la integral del seno es $-\cos$ . El signo menos es súper importante y muchos se olvidan de incluirlo.

Recordatorio: Las constantes que aparecen en la sustitución siempre van afuera de la integral como fracciones.

Integrales de Seno - Patrones que se Repiten

Con las funciones seno, el patrón es siempre el mismo pero el signo negativo puede confundirte. Para $\int \sin(2x-4)dx$ , hacés u = 2x-4 y du = 2dx.

La integral se convierte en $\frac{1}{2}\int \sin u du = -\frac{1}{2}\cos u + C$ . El resultado final es $-\frac{1}{2}\cos(2x-4) + C$ .

Lo mismo pasa con $\int \sin(6x-7)dx$ : la única diferencia es que ahora tenés $\frac{1}{6}$ en lugar de $\frac{1}{2}$ , pero el procedimiento es idéntico.

Atención: El signo menos en la integral del seno es lo que más errores causa en los exámenes.

Integrales Más Complejas - Raíces en el Exponente

Las integrales con raíces en lugares extraños como $\int \cos(\pi\sqrt{v} - \sqrt{7}) dv$ parecen intimidantes, pero seguís la misma lógica. Hacés t = $\pi\sqrt{v} - \sqrt{7}$ y calculás dt cuidadosamente.

Para funciones como $\int x\sqrt{x^2 + 4} dx$ , la clave está en notar que u = $x^2 + 4$ y du = 2x dx. Esto significa que x dx = $\frac{du}{2}$ , lo que simplifica todo perfectamente.

El resultado final es $\frac{1}{3}(x^2 + 4)^{3/2} + C$ . La fracción $\frac{1}{3}$ viene de combinar las constantes que aparecieron durante la sustitución.

Estrategia: Cuando veas x multiplicando una raíz que contiene $x^2$ , casi siempre la sustitución va a funcionar perfectamente.

Exponentes Fraccionarios - El Siguiente Nivel

Los exponentes fraccionarios como $\int x^2(x^3+5)^9 dx$ son más simples de lo que parecen. La sustitución t = $x^3+5$ hace que dt = $3x^2 dx$ , así que $x^2 dx = \frac{dt}{3}$ .

Para integrales como $\int x(x^2+3)^{-12/7} dx$ , recordá que los exponentes negativos siguen las mismas reglas. La u = $x^2+3$ y du = 2x dx te van a dar $\frac{1}{2}\int u^{-12/7} du$ .

El resultado con exponentes fraccionarios siempre va a involucrar sumar 1 al exponente y dividir por el nuevo exponente. En este caso: $-\frac{7}{10}(x^2+3)^{-5/7} + C$ .

Recordá: Con exponentes fraccionarios, siempre verificá tus cálculos con la regla de la potencia: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ .

Combinando Funciones - Productos de Seno y Coseno

Cuando tenés productos de funciones como $\int x \sin(x^2+4)dx$ , la sustitución u = $x^2+4$ hace que du = 2x dx, entonces x dx = $\frac{du}{2}$ .

La integral se convierte en $\frac{1}{2}\int \sin u du = -\frac{1}{2}\cos(x^2+4) + C$ . El patrón es súper claro una vez que lo practicás varias veces.

Para $\int x^2 \cos(x^3+5) dx$ , usás u = $x^3+5$ y du = $3x^2 dx$ , lo que te da $\frac{1}{3}\int \cos u du = \frac{1}{3}\sin(x^3+5) + C$ .

Tip de examen: Siempre buscá si la derivada de lo que está dentro del paréntesis aparece multiplicando afuera.

Integrales con Raíces Cúbicas y Composiciones

Las raíces cúbicas como en $\int \frac{z \cos(\sqrt[3]{z^2+3})}{(\sqrt[3]{z^2+3})^2} dz$ requieren más cuidado al calcular du, pero el principio es el mismo.

Cuando u = $(z^2+3)^{1/3}$ , entonces du = $\frac{2z}{3(z^2+3)^{2/3}} dz$ . Esto puede parecer complicado, pero una vez que lo sustituís correctamente, obtenés $\frac{3}{2}\int \cos u du$ .

Para composiciones de funciones como $\int x(x^2+5)^8 \cos[(x^2+5)^9] dx$ , necesitás identificar cuál es la función más interna. En este caso, u = $(x^2+5)^9$ .

Clave del éxito: En integrales complejas, trabajá de adentro hacia afuera para identificar la mejor sustitución.

Problemas Avanzados - Integrales Anidadas

Los problemas más complejos como $\int x(x^2+1)^8 \sin[(7x^2+1)^9]dx$ combinan todo lo que has aprendido. La sustitución u = $(7x^2+1)^9$ requiere calcular cuidadosamente du.

Para integrales que combinan raíces y funciones trigonométricas como $\int x \cos(x^2+4)\sqrt{\sin(x^2+4)}dx$ , podés usar sustitución doble: primero u = $\sin(x^2+4)$ y luego integrar $\sqrt{u}$ .

El resultado final es $\frac{1}{3}(\sin(x^2+4))^{3/2} + C$ . Estos problemas parecen imposibles al principio, pero siguiendo el método paso a paso se vuelven manejables.

Estrategia final: En problemas súper complejos, no tengas miedo de hacer sustituciones múltiples. A veces necesitás más de una para llegar al resultado.

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