Matemáticas
3 de dic de 2025
18
6 páginas
Angelica @ngelicaviedo_19o1jxj
¡Listos para dominar los ángulos en geometría! Vamos a explorar desde los conceptos básicos hasta las relaciones más... Mostrar más
Antes de meternos con los ángulos, tenés que entender la diferencia entre estos conceptos clave. Los axiomas son afirmaciones que aceptamos como verdaderas sin necesidad de demostrarlas - son como las reglas básicas del juego.
Los postulados también son enunciados que aceptamos sin demostrar, pero son específicos para cada área de la geometría. Los teoremas, en cambio, sí necesitan ser probados usando métodos deductivos a partir de axiomas y postulados.
¡Recordá esto! Un ángulo es la figura formada por dos rayos que tienen el mismo origen. Los rayos se llaman lados y el punto de origen es el vértice.
La medida de un ángulo siempre se expresa en grados, y cada ángulo corresponde a un número real entre 0° y 180°.
Acá viene algo súper útil para tus exámenes si un punto está en el interior de un ángulo, podés dividir ese ángulo en dos partes. La medida total es igual a la suma de las medidas de las dos partes.
Los ángulos adyacentes son dos ángulos que comparten el vértice y un lado, pero no tienen puntos interiores en común. Es como si fueran vecinos que comparten una pared pero cada uno tiene su propio espacio.
Dato clave Los ángulos complementarios suman 90°, mientras que los suplementarios suman 180°.
Esta diferencia es fundamental - no los confundas. Los complementarios te dan un ángulo recto, los suplementarios te dan una línea recta.
Los pares lineales son súper importantes son dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes están sobre la misma línea recta. Estos siempre forman ángulos suplementarios (suman 180°).
Para resolver problemas con pares lineales, usá la fórmula m∠A + m∠B = 180°. Si conocés uno, podés encontrar el otro restando de 180°.
Truco para exámenes Si ves dos ángulos que forman una línea recta, automáticamente sabés que suman 180°.
Los ángulos complementarios suman exactamente 90°. Si tenés un ángulo de 29°, su complemento será 90° - 29° = 61°. ¡Así de fácil!
El postulado del suplemento es directo si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. No hay excepciones a esta regla.
Los ángulos opuestos por el vértice son ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos. La propiedad más importante es que estos ángulos siempre tienen la misma medida - son congruentes.
¡Atención! Cuando dos rectas se cruzan, forman cuatro ángulos. Los opuestos siempre son iguales.
Para encontrar ángulos opuestos por el vértice, recordá que si uno mide 47°, el opuesto también mide 47°. Los otros dos serán iguales entre sí y suplementarios a los primeros.
Ahora viene la parte donde probamos que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Esta demostración usa los pares lineales como base.
Si ∠1 y ∠2 forman un par lineal, entonces m∠1 + m∠2 = 180°. Si ∠1 y ∠4 también forman un par lineal, entonces m∠1 + m∠4 = 180°.
Momento clave Como ambas sumas igualan 180°, podemos igualar las expresiones m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠4.
Al restar m∠1 de ambos lados, obtenemos que m∠2 = m∠4, lo que significa que ∠2 ≅ ∠4. ¡Listo, queda demostrado!
¡Hora de poner en práctica todo lo que aprendiste! Cuando tenés múltiples ángulos formados por rectas que se intersectan, podés usar todas las propiedades juntas.
Para identificar ángulos adyacentes, buscá los que comparten vértice y un lado. Los ángulos opuestos por el vértice están directamente enfrente uno del otro.
Estrategia ganadora Si conocés la medida de un ángulo, podés encontrar todos los demás usando las propiedades de pares lineales y ángulos opuestos.
En el ejemplo, si ∠4 = 120°, entonces su opuesto por el vértice también mide 120°, y los ángulos adyacentes miden 60° cada uno .
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
0
Herramientas Inteligentes NUEVO
Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
Angelica
@ngelicaviedo_19o1jxj
¡Listos para dominar los ángulos en geometría! Vamos a explorar desde los conceptos básicos hasta las relaciones más importantes entre ángulos, incluyendo axiomas, postulados y teoremas que necesitás conocer para resolver cualquier problema.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Antes de meternos con los ángulos, tenés que entender la diferencia entre estos conceptos clave. Los axiomas son afirmaciones que aceptamos como verdaderas sin necesidad de demostrarlas - son como las reglas básicas del juego.
Los postulados también son enunciados que aceptamos sin demostrar, pero son específicos para cada área de la geometría. Los teoremas, en cambio, sí necesitan ser probados usando métodos deductivos a partir de axiomas y postulados.
¡Recordá esto! Un ángulo es la figura formada por dos rayos que tienen el mismo origen. Los rayos se llaman lados y el punto de origen es el vértice.
La medida de un ángulo siempre se expresa en grados, y cada ángulo corresponde a un número real entre 0° y 180°.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Acá viene algo súper útil para tus exámenes: si un punto está en el interior de un ángulo, podés dividir ese ángulo en dos partes. La medida total es igual a la suma de las medidas de las dos partes.
Los ángulos adyacentes son dos ángulos que comparten el vértice y un lado, pero no tienen puntos interiores en común. Es como si fueran vecinos que comparten una pared pero cada uno tiene su propio espacio.
Dato clave: Los ángulos complementarios suman 90°, mientras que los suplementarios suman 180°.
Esta diferencia es fundamental - no los confundas. Los complementarios te dan un ángulo recto, los suplementarios te dan una línea recta.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Los pares lineales son súper importantes: son dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes están sobre la misma línea recta. Estos siempre forman ángulos suplementarios (suman 180°).
Para resolver problemas con pares lineales, usá la fórmula: m∠A + m∠B = 180°. Si conocés uno, podés encontrar el otro restando de 180°.
Truco para exámenes: Si ves dos ángulos que forman una línea recta, automáticamente sabés que suman 180°.
Los ángulos complementarios suman exactamente 90°. Si tenés un ángulo de 29°, su complemento será 90° - 29° = 61°. ¡Así de fácil!
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
El postulado del suplemento es directo: si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. No hay excepciones a esta regla.
Los ángulos opuestos por el vértice son ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos. La propiedad más importante es que estos ángulos siempre tienen la misma medida - son congruentes.
¡Atención! Cuando dos rectas se cruzan, forman cuatro ángulos. Los opuestos siempre son iguales.
Para encontrar ángulos opuestos por el vértice, recordá que si uno mide 47°, el opuesto también mide 47°. Los otros dos serán iguales entre sí y suplementarios a los primeros.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Ahora viene la parte donde probamos que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Esta demostración usa los pares lineales como base.
Si ∠1 y ∠2 forman un par lineal, entonces m∠1 + m∠2 = 180°. Si ∠1 y ∠4 también forman un par lineal, entonces m∠1 + m∠4 = 180°.
Momento clave: Como ambas sumas igualan 180°, podemos igualar las expresiones: m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠4.
Al restar m∠1 de ambos lados, obtenemos que m∠2 = m∠4, lo que significa que ∠2 ≅ ∠4. ¡Listo, queda demostrado!
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
¡Hora de poner en práctica todo lo que aprendiste! Cuando tenés múltiples ángulos formados por rectas que se intersectan, podés usar todas las propiedades juntas.
Para identificar ángulos adyacentes, buscá los que comparten vértice y un lado. Los ángulos opuestos por el vértice están directamente enfrente uno del otro.
Estrategia ganadora: Si conocés la medida de un ángulo, podés encontrar todos los demás usando las propiedades de pares lineales y ángulos opuestos.
En el ejemplo, si ∠4 = 120°, entonces su opuesto por el vértice también mide 120°, y los ángulos adyacentes miden 60° cada uno .
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
0
Herramientas Inteligentes NUEVO
Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
Inglés
Biologia
Química