Aprende Matemáticas Universitarias: Aritmética y Álgebra

Notación Posicional y Números Enteros

La notación posicional nos ayuda a entender el valor de cada cifra según su ubicación. Por ejemplo, en un número de dos cifras como 45:

• Notación posicional: 45
• Notación algebraica: 10×4 + 5

Los números enteros representan situaciones de tener, no tener y deber:

• Positivos: dinero que tengo o que abono a mi deuda
• Negativos: dinero que debo

💡 ¡Recuerda este truco! Si sumas las potencias de 2 consecutivas (1, 2, 4, 8...), obtendrás un número menos que la siguiente potencia.

Las potencias de 2 son muy útiles para resolver problemas. Por ejemplo, con las masas de 1, 2, 4 y 8 kg puedes pesar cualquier objeto de 1 hasta 15 kg porque cada número se puede formar sumando estas potencias.

En números de dos cifras (ab), aplicamos la fórmula 10a + b. Por ejemplo, si quieres encontrar números que al dividirlos por la suma de sus dígitos den como resultado 4, buscarías números como:

• 12 ÷ 3 = 4
• 24 ÷ 6 = 4
• 36 ÷ 9 = 4
• 48 ÷ 12 = 4

Fracciones y Sus Tipos

Las fracciones nos ayudan a representar partes de un todo. Existen varios tipos:

• Fracción propia: el numerador es menor que el denominador (ejemplo: 3/5)
• Fracción impropia: el numerador es mayor que el denominador (ejemplo: 8/3)
• Fracción mixta: tiene una parte entera y una fracción propia
• Fracción decimal: su denominador es 10 o potencia de 10 (ejemplo: 6/10)

Para resolver problemas con fracciones, podemos usar diferentes estrategias. Por ejemplo, si queremos restar un mismo valor al numerador y denominador para obtener una fracción equivalente a otra, necesitamos encontrar ese valor común.

🎯 Cuando trabajes con fracciones, intenta dibujar la situación. ¡Los dibujos hacen más fácil entender cómo dividir tortas, mezclas u otros objetos!

Cuando dividimos una torta y en cada corte sacamos 1/4 de lo que queda, después de dos cortes nos quedarían 9/16 de la torta original. Esto ocurre porque después del primer corte tenemos 3/4, y al sacar 1/4 de lo que queda $3/4 ÷ 4 = 3/16$, nos quedamos con 9/16.

Para sumar fracciones con diferentes denominadores, como 1/8 + 1/3 + 1/4, debemos encontrar un denominador común y luego sumar los numeradores: $3+8+6$/24 = 17/24.

Mezclas y Ordenamiento de Fracciones

Cuando trabajamos con mezclas de líquidos, podemos usar fracciones para calcular las proporciones finales. Por ejemplo, en una mezcla de 7 litros de agua y 3 litros de alcohol, si extraemos 1/3 y lo reemplazamos con agua, podemos calcular la cantidad final de agua.

Para ordenar fracciones de menor a mayor, una técnica útil es convertirlas a porcentajes:

• 2/11 ≈ menos del 30%
• 2/5 = 40%
• 1/2 = 50%
• 3/4 = 75%
• 1/9 ≈ más del 10%

Así, ordenadas quedan: 1/9, 2/11, 2/5, 1/2, 3/4

💡 Cuando trabajes con mezclas, usa dibujos para representar cada componente. Cada cuadrito puede representar un porcentaje específico del total.

En problemas donde necesitas llenar un contenedor con diferentes fracciones (como 1/4, 1/8, 1/10, etc.), debes buscar combinaciones que sumen exactamente 1. Por ejemplo: 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1

Para encontrar fracciones entre dos valores dados, como entre 1/7 y 1/6, con un denominador específico (84), debemos convertir las fracciones al mismo denominador: 1/7 = 12/84 y 1/6 = 14/84 Entonces buscamos un numerador entre 12 y 14, que sería 13.

Porcentajes

Los porcentajes son otra forma de expresar fracciones. Aquí están algunas equivalencias útiles:

• 1/10 = 0,10 = 10%
• 1/5 = 0,20 = 20%
• 1/4 = 0,25 = 25%
• 1/3 = 0,333... = 33,3%
• 1/2 = 0,5 = 50%
• 3/4 = 0,75 = 75%

Para resolver problemas de porcentajes, es útil visualizar la situación. Por ejemplo, si a un tanque de gasolina le falta el 45% para llenarse y contiene 250 litros más que cuando está lleno al 45%, podemos analizar:

• Cuando le falta 45%, está lleno al 55%
• Cuando está lleno al 45%, le falta 55%
• La diferencia es 55% - 45% = 10%, que equivale a 250 litros

🔍 Cuando trabajes con porcentajes, pregúntate siempre: "¿Porcentaje de qué?". Esto te ayudará a no confundirte.

Si 10% = 250 litros, entonces 100% = 2500 litros (la capacidad total del tanque).

De forma similar, podemos resolver problemas de tiempo de ejecución. Si cuando a una obra le falta el 40% de ejecución, el tiempo invertido es 26 días más que cuando llevaba el 40% de ejecución, podemos deducir que el 20% (la diferencia) equivale a 26 días, por lo que el tiempo total sería 130 días.

Porcentajes y Razones

Cuando trabajamos con porcentajes de porcentajes, debemos ser cuidadosos. Por ejemplo, si A es 1/4 de B, entonces B es 400% de A. Esto se puede visualizar: si A es un cuadrito, B serían 4 cuadritos, así que B es 4 veces A, o sea 400% de A.

Para problemas con cadenas de porcentajes, como cuando Andrés tiene el 30% del dinero de Bruno, Bruno tiene el 20% del dinero de Carlos y Darío tiene el 50% del dinero de Carlos:

1. Asignamos 100 a Carlos
2. Calculamos: Darío = 50, Bruno = 20, Andrés = 6
3. Para saber qué porcentaje del dinero de Darío tiene Andrés: 6/50 × 100 = 12%

🧩 Un truco para problemas de porcentajes en cadena: asigna 100 a la persona que más se repite en las comparaciones.

Las razones son comparaciones entre cantidades. Por ejemplo, si P divide al segmento AB en razón 2:3, significa que la parte izquierda es 2 unidades y la parte derecha es 3 unidades.

Cuando trabajamos con razones en segmentos, podemos usar la estrategia de ubicar los puntos en una línea para visualizar mejor. Por ejemplo, si P divide a AB en razón 2:3 y Q divide a AB en razón 3:4, y la distancia entre P y Q es 2 cm, podemos calcular que AB mide 70 cm.

Para trabajar con razones en línea recta, como $\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}$ y $\frac{BC}{CD} = \frac{8}{5}$, a veces necesitamos amplificar para conectar las razones.

Ecuaciones Diofánticas y Análisis de Paridad

Las ecuaciones diofánticas son ecuaciones donde buscamos soluciones enteras. Para resolver problemas como encontrar cuántos pares de números enteros positivos (m, n) satisfacen 8m + 5n = 1000:

1. Analiza la paridad: si 8m es par (porque 8 es par), entonces 5n debe ser par para que la suma sea 1000 (par)
2. Como 5n debe ser par, n debe ser par $n = 2, 4, 6...$
3. Si n = 2, entonces 8m + 10 = 1000, por lo que m = 123.75 (no es entero)
4. Prueba con n = 4: 8m + 20 = 1000, entonces m = 122.5 (no es entero)
5. Continúa hasta encontrar todas las soluciones válidas

🔢 Al resolver ecuaciones diofánticas, analiza primero la paridad (si los números deben ser pares o impares) para reducir las posibilidades.

El análisis de paridad nos ayuda a determinar si un número es par o impar según operaciones:

• Par + Par = Par
• Impar + Impar = Par
• Par + Impar = Impar
• Par × cualquier número = Par
• Impar × Impar = Impar

Para problemas como encontrar cuántos pares ordenados (x, y) con x ≥ 0 y y > 0 cumplen x + 2y = 100:

1. Como 2y es siempre par, x debe ser par para que la suma sea 100 (par)
2. El valor máximo de y sería 49 (cuando 2y = 98 y x = 2)
3. Por lo tanto, hay 49 pares posibles

Problemas con Fechas y Multiplicación

Un problema interesante: ¿cuántos estudiantes pueden tener la suma del día y mes de su nacimiento igual a 33?

Para resolverlo, analizamos cada mes y calculamos qué día necesitaríamos:

• Enero (1): día 32 (imposible)
• Febrero (2): día 31 (imposible)
• Marzo (3): día 30 (posible)
• Abril (4): día 29 (posible) ...y así sucesivamente.

Como algunos meses no tienen los días necesarios, solo podemos tener 10 estudiantes.

🔍 En problemas de multiplicación con dígitos desconocidos, analiza las unidades primero para reducir posibilidades.

Para resolver una multiplicación como 27A × B7 = 26772:

1. Busca qué número multiplicado por 7 da unidades 2: 6 × 7 = 42, así que A = 6
2. Luego busca qué número B multiplicado por 6 debe dar un resultado específico: 9 × 6 = 54, que al sumarlo con 3 da 57, así que B = 9

Para multiplicaciones como 1abcde × 3 = abcde1:

1. Analizamos que el dígito inicial (1) multiplicado por 3 debe dar un número que termine en el último dígito (1)
2. Esto solo es posible si 1abcde = 70000 + algún número, porque 3 × 70000 = 210000
3. De aquí deducimos que b = 2

Criterios de Divisibilidad y Operaciones Especiales

Los criterios de divisibilidad son trucos que nos permiten saber rápidamente si un número es divisible por otro. Nos ayudan con:

• Descomposición en factores
• Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)
• Máximo Común Divisor (M.C.D.)
• Cálculo de raíces

Algunas premisas importantes:

• Si hay al menos un par entre los factores, el resultado será par
• Si hay un 5 entre los factores, el resultado terminará en 0 o 5
• Si hay un 5 y un 2 entre los factores, el resultado terminará en 0

⚡ Los criterios de divisibilidad son como atajos matemáticos. ¡Apréndetelos y ahorrarás mucho tiempo en los exámenes!

Para saber si un número es divisible por 9, suma sus cifras. Si la suma es múltiplo de 9, el número es divisible por 9. Por ejemplo, en 25n736, la suma es 2+5+n+7+3+6 = 23+n, y necesitamos que sea múltiplo de 9. Como 27 es múltiplo de 9, n debe ser 4.

La potenciación tiene propiedades importantes:

• a⁰ = 1 (excepto si a = 0)
• a¹ = a
• a⁻ⁿ = 1/aⁿ
• aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

Estas propiedades nos ayudan a simplificar expresiones como: 3⁹ - 3⁷ + 3⁸ = a · 3⁷, donde podemos factorizar 3⁷ para encontrar que a = 11.

Radicación y Teorema Fundamental de la Aritmética

La radicación tiene propiedades similares a la potenciación:

• √(a·b) = √a · √b
• √(a/b) = √a / √b
• ⁿ√aᵐ = (ⁿ√a)ᵐ = aᵐ/ⁿ
• ⁿ√ᵐ√a = ⁿᵐ√a

El Teorema Fundamental de la Aritmética (TEFA) establece que todo número entero positivo mayor que 1 es un número primo o un producto único de números primos. Es como obtener la "radiografía" de un número.

🔑 El TEFA es la base de muchos problemas matemáticos. Si puedes descomponer un número en sus factores primos, podrás resolver problemas de divisibilidad, M.C.D. y M.C.M. mucho más fácilmente.

Por ejemplo, para descomponer 105: 105 ÷ 3 = 35 35 ÷ 5 = 7 Así, 105 = 3 × 5 × 7

Este conocimiento nos permite resolver problemas como encontrar cuántas naranjas tiene un vendedor si puede agruparlas de 15, 18 y 24 sin que le sobre ninguna. Como el número debe ser múltiplo de 15, 18 y 24 simultáneamente, buscamos el mínimo común múltiplo. Al descomponer:

• 15 = 3 × 5
• 18 = 2 × 3²
• 24 = 2³ × 3

El M.C.M. sería 2³ × 3² × 5 = 360, pero como está entre 600 y 800, necesitamos un múltiplo: 360 × 2 = 720 naranjas.

M.C.D. y M.C.M.

El Máximo Común Divisor (M.C.D.) es el número más grande que divide exactamente todas las cantidades dadas. Siempre es igual o menor que las cantidades originales.

El Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) es el número más pequeño que es divisible exactamente por todas las cantidades dadas. Siempre es igual o mayor que las cantidades originales.

🧮 Para recordar cuándo usar M.C.D. o M.C.M.: si necesitas repartir o dividir, usa M.C.D.; si necesitas encontrar ciclos que se repiten, usa M.C.M.

Ejemplos de situaciones:

• M.C.M.: Si 5 luces se encienden con diferentes ciclos (cada 4, 5, 6, 7 y 8 minutos), ¿cuándo coincidirán todas de nuevo? Calculamos el M.C.M. de 4, 5, 6, 7 y 8, que es 840 minutos (14 horas).

• M.C.D.: Si Santiago tiene 360 monedas de $100, 648 monedas de$200 y 432 monedas de $500, y quiere guardarlas en bolsas con el mismo número de monedas del mismo tipo, ¿cuántas bolsas necesita como mínimo? Calculamos el M.C.D. de 360, 648 y 432, que es 72. Entonces necesitará 5 + 9 + 6 = 20 bolsas.

Reglas importantes:

• Si una cantidad es múltiplo de otra, el M.C.D. es la menor.
• Si una cantidad es múltiplo de otra, el M.C.M. es la mayor.

Para encontrar un número divisible por varios números simultáneamente (como 15, 14 y 6), hallamos el M.C.M. de estos números.