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7 de dic de 2025
•
Paula Suarez
@aulauarez_56qfuz8djk
Los espacios vectoriales son estructuras matemáticas fundamentales que nos rodean... Mostrar más
Un espacio vectorial es un conjunto de objetos llamados vectores con dos operaciones: suma y multiplicación por escalares. Estas operaciones deben cumplir ciertas propiedades o axiomas específicos para que el conjunto sea considerado un espacio vectorial.
Cuando trabajamos con espacios vectoriales, usamos la notación 𝕍(⊕, ·, ℝ) donde 𝕍 representa el conjunto, ⊕ la suma, · la multiplicación y ℝ el campo (normalmente números reales).
Las propiedades básicas incluyen la propiedad clausurativa (la suma de vectores da otro vector), la propiedad modulativa (existe un elemento neutro), y las propiedades conmutativa y asociativa en la suma.
💡 Recuerda: Si cualquiera de las propiedades falla, ¡ya no tenemos un espacio vectorial! Es como un equipo donde todos los jugadores son necesarios.
Un espacio vectorial debe cumplir diez propiedades esenciales. Las cinco primeras se relacionan con la suma y las cinco restantes con la multiplicación por escalares.
Entre las propiedades de suma, encontramos que debe ser asociativa (el orden de agrupación no importa), debe existir un elemento neutro (vector cero), cada vector debe tener un inverso aditivo y la suma debe ser conmutativa.
Para la multiplicación por escalares, debe cumplirse que el resultado siga siendo un vector, que se distribuya sobre la suma de vectores, que sea asociativa y que el producto de un vector por el escalar 1 sea el mismo vector.
Estas propiedades garantizan que podamos trabajar con vectores de manera consistente y predecible. ¡Piensa en ellas como las reglas del juego que todos debemos seguir!
Existen muchos ejemplos de espacios vectoriales que usamos constantemente. El más común es ℝ² (el plano cartesiano), donde los vectores son pares ordenados (x,y) y las operaciones son:
De manera similar funciona ℝ³ (espacio tridimensional) y podemos extenderlo a ℝⁿ para cualquier dimensión n.
Otro ejemplo importante son las matrices. El conjunto de matrices mxn con operaciones de suma y multiplicación por escalar también forma un espacio vectorial.
🔍 ¡Ojo! No todos los conjuntos con vectores son espacios vectoriales. Por ejemplo, el conjunto de matrices 2x2 no singulares no es un espacio vectorial porque la suma de dos matrices no singulares puede dar una matriz singular.
A veces encontramos conjuntos que parecen espacios vectoriales pero no lo son. Por ejemplo, el conjunto W = {(x,y) ∈ R² | 2x+y=1} no es un espacio vectorial.
¿Por qué? Tomemos dos puntos del conjunto, como (0,1) y (1,-1). Ambos cumplen 2x+y=1. Pero si intentamos sumarlos, obtenemos (1,0), y al verificar: 2(1)+0=2≠1. ¡La suma no cumple la condición!
Otro caso es cuando el conjunto no está cerrado para alguna operación. Si al sumar dos elementos o multiplicar por un escalar obtenemos algo fuera del conjunto, entonces no es un espacio vectorial.
Cuando estudies estos temas, siempre verifica las propiedades clausurativas: si la suma o multiplicación por escalar te saca del conjunto, entonces no tienes un espacio vectorial.
Un subespacio vectorial es un subconjunto H de un espacio vectorial V que también es un espacio vectorial por sí mismo. Para comprobar si un subconjunto es un subespacio, solo necesitamos verificar dos condiciones:
Por ejemplo, podemos demostrar que el conjunto H = {(x,y,z) ∈ ℝ³ | 5x-6y+8z=0} es un subespacio de ℝ³. Para esto, tomamos dos vectores del conjunto y verificamos que su suma también cumple la ecuación.
🌟 Los subespacios son como "mini espacios vectoriales" dentro de otros más grandes. Un ejemplo clásico es una línea o un plano dentro del espacio tridimensional.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Los espacios vectoriales son estructuras matemáticas fundamentales que nos rodean en muchas aplicaciones. Estas estructuras definen conjuntos con operaciones de suma y multiplicación que siguen reglas específicas. Vamos a explorar qué son y cómo reconocerlos fácilmente.
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Un espacio vectorial es un conjunto de objetos llamados vectores con dos operaciones: suma y multiplicación por escalares. Estas operaciones deben cumplir ciertas propiedades o axiomas específicos para que el conjunto sea considerado un espacio vectorial.
Cuando trabajamos con espacios vectoriales, usamos la notación 𝕍(⊕, ·, ℝ) donde 𝕍 representa el conjunto, ⊕ la suma, · la multiplicación y ℝ el campo (normalmente números reales).
Las propiedades básicas incluyen la propiedad clausurativa (la suma de vectores da otro vector), la propiedad modulativa (existe un elemento neutro), y las propiedades conmutativa y asociativa en la suma.
💡 Recuerda: Si cualquiera de las propiedades falla, ¡ya no tenemos un espacio vectorial! Es como un equipo donde todos los jugadores son necesarios.
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Un espacio vectorial debe cumplir diez propiedades esenciales. Las cinco primeras se relacionan con la suma y las cinco restantes con la multiplicación por escalares.
Entre las propiedades de suma, encontramos que debe ser asociativa (el orden de agrupación no importa), debe existir un elemento neutro (vector cero), cada vector debe tener un inverso aditivo y la suma debe ser conmutativa.
Para la multiplicación por escalares, debe cumplirse que el resultado siga siendo un vector, que se distribuya sobre la suma de vectores, que sea asociativa y que el producto de un vector por el escalar 1 sea el mismo vector.
Estas propiedades garantizan que podamos trabajar con vectores de manera consistente y predecible. ¡Piensa en ellas como las reglas del juego que todos debemos seguir!
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Existen muchos ejemplos de espacios vectoriales que usamos constantemente. El más común es ℝ² (el plano cartesiano), donde los vectores son pares ordenados (x,y) y las operaciones son:
De manera similar funciona ℝ³ (espacio tridimensional) y podemos extenderlo a ℝⁿ para cualquier dimensión n.
Otro ejemplo importante son las matrices. El conjunto de matrices mxn con operaciones de suma y multiplicación por escalar también forma un espacio vectorial.
🔍 ¡Ojo! No todos los conjuntos con vectores son espacios vectoriales. Por ejemplo, el conjunto de matrices 2x2 no singulares no es un espacio vectorial porque la suma de dos matrices no singulares puede dar una matriz singular.
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A veces encontramos conjuntos que parecen espacios vectoriales pero no lo son. Por ejemplo, el conjunto W = {(x,y) ∈ R² | 2x+y=1} no es un espacio vectorial.
¿Por qué? Tomemos dos puntos del conjunto, como (0,1) y (1,-1). Ambos cumplen 2x+y=1. Pero si intentamos sumarlos, obtenemos (1,0), y al verificar: 2(1)+0=2≠1. ¡La suma no cumple la condición!
Otro caso es cuando el conjunto no está cerrado para alguna operación. Si al sumar dos elementos o multiplicar por un escalar obtenemos algo fuera del conjunto, entonces no es un espacio vectorial.
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Un subespacio vectorial es un subconjunto H de un espacio vectorial V que también es un espacio vectorial por sí mismo. Para comprobar si un subconjunto es un subespacio, solo necesitamos verificar dos condiciones:
Por ejemplo, podemos demostrar que el conjunto H = {(x,y,z) ∈ ℝ³ | 5x-6y+8z=0} es un subespacio de ℝ³. Para esto, tomamos dos vectores del conjunto y verificamos que su suma también cumple la ecuación.
🌟 Los subespacios son como "mini espacios vectoriales" dentro de otros más grandes. Un ejemplo clásico es una línea o un plano dentro del espacio tridimensional.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Pablo
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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