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MatemáticasMatemáticas67 visualizaciones·Actualizado 26 de jun de 2026·3 páginas

Cómo Resolver Ejercicios de Integrales por Sustitución

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Lizeth De Antonio@izethentonio_b5bfk2s

¡Vamos a explorar el método de integración por sustitución! Esta...

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# Ejercicios de integración por Sustitucion - a) $\int (1+3x)^4 dx = \int u^4 \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^4 du$ U=1+3x $\frac{1}{3}

Ejercicios de Integración por Sustitución

La integración por sustitución consiste en reemplazar una expresión compleja por una variable más simple. Por ejemplo, cuando ves (1+3x)4(1+3x)^4, puedes sustituirla por u=1+3xu=1+3x para facilitar el cálculo.

Para resolver ∫(1+3x)4dx\int (1+3x)^4 dx, hacemos u=1+3xu=1+3x, lo que implica que du=3dxdu=3dx o dx=du3dx=\frac{du}{3}. Al sustituir obtenemos 13∫u4du\frac{1}{3} \int u^4 du, que se resuelve fácilmente como 115(1+3x)5+C\frac{1}{15}(1+3x)^5 + C.

Un segundo ejemplo es ∫2dx3−9x5\int \frac{2dx}{\sqrt[5]{3-9x}}. Aquí, si establecemos u=3−9xu=3-9x, entonces du=−9dxdu=-9dx y podemos transformar la integral en −1036(3−9x)4/5+C-\frac{10}{36}(3-9x)^{4/5} + C después de realizar los cálculos correspondientes.

💡 Consejo clave: Cuando veas una expresión elevada a una potencia dentro de una integral, casi siempre es buena idea intentar sustituirla por una variable más simple.

Para ∫12(2+53x)35dx\int \frac{1}{2}(2+\frac{5}{3}x)^{35}dx, usamos u=2+53xu=2+\frac{5}{3}x, lo que nos lleva a 1100(2+53x)36+C\frac{1}{100}(2+\frac{5}{3}x)^{36} + C como resultado final.

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Más Ejemplos de Sustitución

Cuando te enfrentas a integrales con raíces, el método de sustitución puede ser tu mejor aliado. Por ejemplo, en ∫(5t+2)2/3dt\int (5t+2)^{2/3} dt, hacemos u=5t+2u=5t+2 y du=5dtdu=5dt, lo que nos permite escribir dt=du5dt=\frac{du}{5}.

Sustituyendo en la integral original, obtenemos 15∫u2/3du\frac{1}{5}\int u^{2/3}du, que se resuelve como 635(5t+2)7/6+C\frac{6}{35}(5t+2)^{7/6}+C. ¿Ves cómo la sustitución convierte la integral en algo más manejable?

Para integrales más complicadas como ∫7xdx11−4x2\int \frac{7xdx}{\sqrt{11-4x^2}}, establecemos u=11−4x2u=11-4x^2. Esto nos da du=−8xdxdu=-8xdx, por lo que dx=du−8xdx=\frac{du}{-8x}. Al sustituir y resolver paso a paso, llegamos a −2116(11−4x2)2/3+C-\frac{21}{16}(11-4x^2)^{2/3}+C.

⚠️ Atención: Siempre recuerda expresar tu respuesta final en términos de la variable original, no de la variable de sustitución.

La clave del éxito en este método está en identificar correctamente qué parte de la expresión sustituir y en manejar cuidadosamente la relación entre dxdx y dudu.

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Aplicaciones Avanzadas de Sustitución

Las integrales que combinan potencias y funciones exponenciales también se pueden abordar con sustitución. Por ejemplo, para ∫x5(9x2+16)3dx\int x^5\sqrt{(9x^2+16)^3}dx, podemos usar u=9x2+16u=9x^2+16 para transformarla en una forma más sencilla.

Con la sustitución adecuada y siguiendo los pasos (determinar dudu, expresar dxdx y reescribir la integral), llegamos a 5144(9x2+16)8/5+C\frac{5}{144}(9x^2+16)^{8/5}+C. ¡Un resultado mucho más elegante!

Para integrales con funciones exponenciales como ∫xe5x2+7dx\int xe^{5x^2+7}dx, hacemos u=5x2+7u=5x^2+7, lo que nos da du=10xdxdu=10xdx. Esto nos permite reescribir la integral como 110e5x2+7+C\frac{1}{10}e^{5x^2+7}+C, simplificando enormemente el proceso de resolución.

💡 Truco útil: Cuando veas un producto como xe5x2+7xe^{5x^2+7}, busca una sustitución donde la derivada de la expresión dentro de la exponencial esté relacionada con el factor externo (en este caso, xx).

Con práctica, aprenderás a identificar rápidamente qué sustitución funcionará mejor para cada tipo de integral. ¡Pronto estarás resolviendo estos problemas casi automáticamente!

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Cómo Resolver Ejercicios de Integrales por Sustitución

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Lizeth De Antonio@izethentonio_b5bfk2s

¡Vamos a explorar el método de integración por sustitución! Esta técnica es súper útil cuando necesitas transformar una integral complicada en una más sencilla mediante un simple cambio de variable. Dominar este método te abrirá muchas puertas para resolver problemas...

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# Ejercicios de integración por Sustitucion - a) $\int (1+3x)^4 dx = \int u^4 \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^4 du$ U=1+3x $\frac{1}{3}

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Ejercicios de Integración por Sustitución

La integración por sustitución consiste en reemplazar una expresión compleja por una variable más simple. Por ejemplo, cuando ves (1+3x)4(1+3x)^4, puedes sustituirla por u=1+3xu=1+3x para facilitar el cálculo.

Para resolver ∫(1+3x)4dx\int (1+3x)^4 dx, hacemos u=1+3xu=1+3x, lo que implica que du=3dxdu=3dx o dx=du3dx=\frac{du}{3}. Al sustituir obtenemos 13∫u4du\frac{1}{3} \int u^4 du, que se resuelve fácilmente como 115(1+3x)5+C\frac{1}{15}(1+3x)^5 + C.

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Para ∫12(2+53x)35dx\int \frac{1}{2}(2+\frac{5}{3}x)^{35}dx, usamos u=2+53xu=2+\frac{5}{3}x, lo que nos lleva a 1100(2+53x)36+C\frac{1}{100}(2+\frac{5}{3}x)^{36} + C como resultado final.

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