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MatemáticasMatemáticas45 visualizaciones·Actualizado Jun 9, 2026·5 páginas

Ejercicios de Práctica de Sumas de Riemann

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Yeferson Gallego Mosquera@efersonallegoosquera_5dyk

Las sumas de Riemannson una herramienta fundamental para calcular...

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# Hallay el Avega Bajo la Regionemann Limitada usando Sumicas 53) y=x+z; a=0 4-9 Tamaño de lapartkon = AXK = = Paso = "Xx = 0 + k☆) = M

Ejemplo básico: Función lineal

Cuando tenés que calcular el área bajo y=x+2y = x + 2 entre x=0x = 0 y x=1x = 1, empezás definiendo el tamaño de la partición: Δx=1−0n=1n\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}.

El siguiente paso es encontrar cada punto xk=0+k(1n)=knx_k = 0 + k(\frac{1}{n}) = \frac{k}{n}. Esto te da los puntos donde vas a evaluar la función en cada rectángulo.

La suma de Riemann se convierte en: lim⁡n→∞∑k=1n(kn+2)(1n)\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n} + 2)(\frac{1}{n}). Al separar las sumas y usar las fórmulas conocidas $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$, llegás al resultado final.

Consejo clave: Siempre separá las sumas en partes más simples para poder usar las fórmulas de sumatorias que ya conocés.

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# Hallay el Avega Bajo la Regionemann Limitada usando Sumicas 53) y=x+z; a=0 4-9 Tamaño de lapartkon = AXK = = Paso = "Xx = 0 + k☆) = M

Función cuadrática con intervalo más amplio

Para y=12x2+1y = \frac{1}{2}x^2 + 1 en el intervalo [0,7][0,7], el proceso es similar pero más complejo. El tamaño de partición ahora es Δx=7n\Delta x = \frac{7}{n} y cada paso es xk=7knx_k = \frac{7k}{n}.

Al sustituir en la suma de Riemann, obtenés términos con k2k^2 que requieren la fórmula ∑k2=n(n+1)(2n+1)6\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. Es crucial mantener el orden y no perderte en los cálculos.

El resultado final es 436\frac{43}{6}, que podés verificar usando métodos de integración directa. La clave está en ser sistemático con cada paso.

Importante: Las funciones cuadráticas siempre van a involucrar la fórmula de suma de cuadrados, así que memorizala bien.

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# Hallay el Avega Bajo la Regionemann Limitada usando Sumicas 53) y=x+z; a=0 4-9 Tamaño de lapartkon = AXK = = Paso = "Xx = 0 + k☆) = M

Trabajando con intervalos negativos

El problema y=2x+2y = 2x + 2 en [−1,1][-1,1] te muestra cómo manejar intervalos que incluyen números negativos. El tamaño de partición es Δx=2n\Delta x = \frac{2}{n} y cada punto es xk=−1+2knx_k = -1 + \frac{2k}{n}.

Al expandir (2(−1+2kn)+2)(2(-1 + \frac{2k}{n}) + 2), los términos constantes se cancelan parcialmente, simplificando mucho el cálculo. Esto es típico en problemas simétricos alrededor del origen.

La suma se reduce considerablemente: lim⁡n→∞8n2∑k\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} \sum k, lo que hace el cálculo final mucho más directo.

Truco útil: En intervalos simétricos, muchos términos se cancelan automáticamente, simplificando tu trabajo.

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# Hallay el Avega Bajo la Regionemann Limitada usando Sumicas 53) y=x+z; a=0 4-9 Tamaño de lapartkon = AXK = = Paso = "Xx = 0 + k☆) = M

Función cuadrática en intervalo simétrico

Para y=x2y = x^2 en [−2,2][-2,2], tenés un intervalo simétrico con una función par. El tamaño de partición es Δx=4n\Delta x = \frac{4}{n} y cada punto es xk=−2+4knx_k = -2 + \frac{4k}{n}.

Al desarrollar (xk)2(x_k)^2, obtenés tres términos separados: uno con k2k^2, otro con kk, y uno constante. Cada uno se maneja con su respectiva fórmula de sumatoria.

La expresión final involucra tanto ∑k2\sum k^2 como ∑k\sum k, por lo que necesitás aplicar ambas fórmulas cuidadosamente para llegar al resultado correcto.

Recordá: En funciones pares sobre intervalos simétricos, esperá que ciertos términos se compensen de manera elegante.

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Simplificación final y resultado

En el paso final del ejemplo anterior, tenés que simplificar fracciones complejas con múltiples términos en el numerador. La clave está en factorizar correctamente y cancelar términos similares.

Al tomar el límite cuando n→∞n \to \infty, los términos con potencias menores de nn en el denominador se vuelven cero. Solo quedan los términos dominantes.

El resultado final es 323\frac{32}{3}, que representa el área exacta bajo la parábola y=x2y = x^2 entre x=−2x = -2 y x=2x = 2.

Estrategia final: Cuando tengas fracciones complicadas, identificá primero los términos dominantes antes de calcular el límite.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablousuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elenausuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Ejercicios de Práctica de Sumas de Riemann

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Yeferson Gallego Mosquera@efersonallegoosquera_5dyk

Las sumas de Riemannson una herramienta fundamental para calcular el área bajo una curva cuando aún no manejas las fórmulas básicas de integración. Aunque el proceso puede parecer complicado al principio, seguir los pasos correctos te permitirá dominar esta...

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Ejemplo básico: Función lineal

Cuando tenés que calcular el área bajo y=x+2y = x + 2 entre x=0x = 0 y x=1x = 1, empezás definiendo el tamaño de la partición: Δx=1−0n=1n\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}.

El siguiente paso es encontrar cada punto xk=0+k(1n)=knx_k = 0 + k(\frac{1}{n}) = \frac{k}{n}. Esto te da los puntos donde vas a evaluar la función en cada rectángulo.

La suma de Riemann se convierte en: lim⁡n→∞∑k=1n(kn+2)(1n)\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n} + 2)(\frac{1}{n}). Al separar las sumas y usar las fórmulas conocidas $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$, llegás al resultado final.

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Función cuadrática con intervalo más amplio

Para y=12x2+1y = \frac{1}{2}x^2 + 1 en el intervalo [0,7][0,7], el proceso es similar pero más complejo. El tamaño de partición ahora es Δx=7n\Delta x = \frac{7}{n} y cada paso es xk=7knx_k = \frac{7k}{n}.

Al sustituir en la suma de Riemann, obtenés términos con k2k^2 que requieren la fórmula ∑k2=n(n+1)(2n+1)6\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. Es crucial mantener el orden y no perderte en los cálculos.

El resultado final es 436\frac{43}{6}, que podés verificar usando métodos de integración directa. La clave está en ser sistemático con cada paso.

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Para y=x2y = x^2 en [−2,2][-2,2], tenés un intervalo simétrico con una función par. El tamaño de partición es Δx=4n\Delta x = \frac{4}{n} y cada punto es xk=−2+4knx_k = -2 + \frac{4k}{n}.

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El resultado final es 323\frac{32}{3}, que representa el área exacta bajo la parábola y=x2y = x^2 entre x=−2x = -2 y x=2x = 2.

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