Imaginate que querés saber qué tan inclinada está una montaña en un punto específico. Eso es exactamente lo que hace una derivada: te dice la pendiente de una curva en cualquier punto que elijas.

Una derivada es básicamente un límite, pero geométricamente representa la pendiente de la recta tangente en un punto específico de una función. Es como poner una regla que apenas toca la curva en ese punto.

Para encontrar la ecuación de una recta necesitás dos cosas: un punto y la pendiente. La fórmula es y - y₀ = m$x - x₀$, donde m es la pendiente que calculás como m = $y₁ - y₀$/$x₁ - x₀$.

💡 Tip clave: La pendiente te dice si la función está subiendo (positiva), bajando (negativa) o es plana (cero) en ese punto.

Vamos a resolver un problema real: hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (2, -2). Este tipo de ejercicios aparece mucho en los exámenes.

Primero calculás la pendiente: m = (-2 - 1)/(2 - (-3)) = -3/5. Después usás la fórmula punto-pendiente con cualquiera de los dos puntos.

Si usás el punto (-3, 1): y - 1 = -3/5$x + 3$. Desarrollando esta ecuación obtenés y = -3x/5 + 2/5.

💡 Consejo: Siempre verificá tu respuesta sustituyendo ambos puntos en la ecuación final. Si obtenés valores correctos, ¡está bien hecho!

Acá es donde la cosa se pone interesante. La derivada de una función f en el punto x = a se define como: f'(a) = lim(x→a) $f(x) - f(a)$/$x - a$.

Este límite te da exactamente la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f(a)). Hay dos notaciones famosas: la de Newton (f'(a)) y la de Leibniz $df/dx(a)$.

No te asustés por la fórmula. Lo importante es que entendás que estás calculando qué tan rápido cambia la función en ese punto específico.

💡 Dato curioso: Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo al mismo tiempo pero de forma independiente. ¡Por eso tenemos dos notaciones diferentes!

Las desigualdades son fundamentales para entender dónde una función tiene ciertos comportamientos. Miremos el ejemplo: x² - 25 ≤ 0.

Factorizamos: $x + 5$$x - 5$ ≤ 0. Esto significa que necesitamos que uno de los factores sea positivo y el otro negativo.

Los puntos críticos son x = -5 y x = 5. Probando intervalos: la desigualdad se cumple cuando -5 ≤ x ≤ 5, o sea en el intervalo [-5, 5].

💡 Truco: Siempre dibujá una recta numérica y marcá los puntos críticos. Te ayuda a visualizar dónde se cumple la desigualdad.

Los valores absolutos pueden parecer complicados, pero tienen patrones claros. Para |7x| = 4 - x, tenés que considerar dos casos: cuando 7x es positivo y cuando es negativo.

Caso 1: 7x = 4 - x, entonces 8x = 4, así que x = 1/2. Caso 2: 7x = -$4 - x$, entonces 6x = -4, así que x = -2/3.

Para desigualdades como |x| ≤ 5, recordá que esto significa -5 ≤ x ≤ 5. El valor absoluto crea un "sandwich" alrededor del cero.

💡 Regla de oro: |x| < a significa -a < x < a, mientras que |x| > a significa x < -a o x > a.

Cuando analizás una función, necesitás determinar su dominio, rango, asíntotas y simetría. Miremos y = 1/$x + 2$.

El dominio excluye x = -2 (porque haría cero el denominador): (-∞, -2) ∪ (-2, ∞). El rango excluye y = 0: (-∞, 0) ∪ (0, ∞).

Las asíntotas son: vertical en x = -2 y horizontal en y = 0. Para determinar si es par o impar, probás f$-x$: como 1/$-x + 2$ ≠ 1/$x + 2$ y también ≠ -1/$x + 2$, la función no es par ni impar.

💡 Recordá: Una función es par si f$-x$ = f(x), impar si f$-x$ = -f(x), y ni par ni impar si no cumple ninguna.

La composición de funciones es como hacer una cadena: el resultado de una función se convierte en la entrada de otra. Si tenés f(x) = 1/x y g(x) = x², entonces f∘g = f(g(x)).

Para f∘g: primero aplicás g(x) = x², después f: f(x²) = 1/x². El dominio es ℝ{0} porque x² no puede ser cero.

Para g∘f: primero f(x) = 1/x, después g: g$1/x$ = $1/x$² = 1/x². ¡Fijate que f∘g = g∘f en este caso, pero eso no siempre pasa!

💡 Importante: El orden importa en la composición. Generalmente f∘g ≠ g∘f, así que prestá atención a cuál va primero.

Los logaritmos son el inverso de las exponenciales, y podés cambiar de base usando la fórmula: log_b(x) = log_a(x)/log_a(b). Es súper útil cuando tu calculadora solo tiene log base 10.

Para resolver log$2x + 8$ = 1 + log$x - 4$, usás propiedades: log$2x + 8$ - log$x - 4$ = 1, que se convierte en log$(2x + 8)/(x - 4)$ = 1.

Esto significa $2x + 8$/$x - 4$ = 10¹ = 10. Resolviendo: 2x + 8 = 10$x - 4$, obtenés x = 6.

💡 Truco: Siempre verificá que tu solución no haga negativos los argumentos de los logaritmos. ¡Los logaritmos de números negativos no existen en los reales!

Para ecuaciones más complejas como log₅$3x + 7$ - 5 = log₅$x - 5$, primero reagrupás: log₅$(3x + 7)/(x - 5)$ = 5.

Esto significa $3x + 7$/$x - 5$ = 5⁵ = 3125. Resolviendo: 3x + 7 = 3125$x - 5$, obtenés una ecuación lineal que te da x = 15632/3122.

Siempre verificá que tu solución sea válida sustituyendo en la ecuación original y asegurándote de que todos los argumentos de los logaritmos sean positivos.

💡 Cuidado: Los números grandes pueden aparecer en las soluciones. No te asustés, simplemente seguí el proceso paso a paso.

Las ecuaciones exponenciales requieren técnicas especiales. Para (3ˣ - 3⁻ˣ)/5 = 2, primero simplificás: 3ˣ - 1/3ˣ = 10.

Hacés una sustitución: z = 3ˣ, entonces z² - 10z - 1 = 0. Usando la fórmula cuadrática: z = 5 ± √26.

Como z = 3ˣ > 0, solo tomás z = 5 + √26. Entonces x = ln(5 + √26)/ln(3). La otra solución se descarta porque 5 - √26 < 0.

💡 Recordá: Siempre verificá que las soluciones tengan sentido. Las exponenciales nunca pueden ser negativas, así que descartá esas soluciones.