Tasa de Variación Media

Imaginate que querés saber qué tan rápido creció tu estatura entre los 13 y 15 años. La tasa de variación media te da exactamente esa información promedio.

Para cualquier función f en el intervalo $a, b$, la fórmula es: TVM = $f(b) - f(a)$ / $b - a$. Esto te dice si la función está creciendo (resultado positivo), decreciendo (negativo) o se mantiene igual (cero).

Gráficamente, esta tasa representa la pendiente de la recta que conecta los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es como trazar una línea recta entre dos puntos de tu función.

💡 Tip clave: La tasa de variación media es el promedio de cambio, no te dice qué pasó exactamente en cada momento del intervalo.

Derivada en un Punto

La derivada es mucho más precisa que la tasa de variación media. Te dice exactamente qué tan rápido está cambiando una función en un punto específico, no en un intervalo completo.

La definición matemática usa límites: f'(x₀) = lim(h→0) $f(x₀ + h) - f(x₀)$ / h. Básicamente, tomás intervalos cada vez más pequeños hasta que sean prácticamente un punto.

También se llama tasa de variación instantánea. Es como la diferencia entre tu velocidad promedio en un viaje y la velocidad que marca tu velocímetro en un momento exacto.

Derivadas Laterales y Recta Tangente

No todas las funciones se "comportan bien" en todos los puntos. A veces necesitás revisar qué pasa cuando te acercás por la izquierda (f'(x₀⁻)) y por la derecha (f'(x₀⁺)) de un punto.

Para que una función sea derivable en x₀, estas dos derivadas laterales tienen que ser iguales y finitas. Si son diferentes, la función no es derivable ahí (piensá en un pico o esquina).

La interpretación geométrica de la derivada es súper visual: f'(x₀) es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Es como si fuera la única recta que "toca suavemente" la curva en x₀.

💡 Recorda: La ecuación de la recta tangente es y = f(x₀) + f'(x₀) · $x - x₀$. ¡Vas a usar esta fórmula muchísimo!

Fórmulas de Derivación

Memorizar estas reglas de derivación te va a ahorrar horas de cálculos con límites. Son como atajos matemáticos que siempre funcionan.

Las reglas básicas incluyen: constantes se vuelven cero, y = xⁿ → y' = n·xⁿ⁻¹, y las funciones exponenciales y logarítmicas tienen sus propias fórmulas específicas.

Para funciones más complejas, tenés las reglas de la suma (u ± v)' = u' ± v', del producto (u·v)' = u'·v + u·v', y del cociente que es un poco más enredada pero súper útil.

💡 Estrategia: Empezá practicando con polinomios simples antes de meterte con exponenciales y logaritmos. ¡Dominá lo básico primero!

Derivabilidad y Continuidad

Acá viene una regla súper importante: si una función es derivable en un punto, entonces es continua ahí. Pero ojo, ¡el reverso no es cierto!

Podés tener funciones continuas que no son derivables. Esto pasa cuando hay "picos" o esquinas en la gráfica. Pensá en el valor absoluto |x| en x = 0: es continuo pero no derivable.

Los polinomios son tus mejores amigos porque son continuos y derivables en todos lados. Las funciones racionales P(x)/Q(x) también, excepto donde el denominador se hace cero.

💡 Tip visual: Si podés trazar la función sin levantar el lápiz Y no tiene esquinas puntiagudas, entonces es derivable en todos lados.

Funciones Definidas a Trozos

Las funciones a trozos son como funciones que cambian de "personalidad" en ciertos puntos. Necesitás estudiar especialmente qué pasa en esos puntos de cambio.

Para verificar continuidad, chequeá que los límites laterales y el valor de la función coincidan. Para derivabilidad, las derivadas laterales tienen que ser iguales.

En el ejemplo que vimos, la función era continua en todos lados, pero no derivable en x = 1 porque las derivadas laterales eran diferentes (2 ≠ 1).

💡 Método: Siempre estudiá primero la continuidad. Si no es continua en un punto, automáticamente no es derivable ahí tampoco.

Recta Tangente - Ejemplos Prácticos

Calcular la recta tangente es una de las aplicaciones más útiles de las derivadas. Necesitás el punto de tangencia y la pendiente (que es la derivada).

El primer ejemplo es directo: tenés el punto x = -1, calculás f(-1) = 3 y f'(-1) = 2, entonces la recta es y = 2x + 5.

El segundo ejemplo es más interesante: cuando te piden una tangente paralela a otra recta, usás que rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si la recta es y = 10x - 1, entonces necesitás f'(x) = 10.

💡 Truco: Para rectas paralelas, igualá la derivada con la pendiente dada. Para rectas perpendiculares, usá pendientes que se multiplican para dar -1.

Regla de L'Hôpital

Cuando tenés límites que te dan indeterminaciones como 0/0 o ∞/∞, la regla de L'Hôpital es tu salvavidas. Básicamente, derivás numerador y denominador por separado.

La regla dice: si lim f(x)/g(x) te da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x). A veces necesitás aplicarla varias veces seguidas.

En el segundo ejemplo, tuvimos que aplicar L'Hôpital dos veces porque la primera derivación también dio ∞/∞. Al final obtuvimos 3/5.

💡 Importante: Solo podés usar L'Hôpital con estas dos indeterminaciones específicas. Para otras como 0·∞, necesitás transformar primero la expresión.

Monotonía y Puntos Críticos

El signo de la derivada te cuenta la historia completa de cómo se comporta una función. Si f'(x) > 0, la función crece; si f'(x) < 0, decrece.

Los puntos donde f'(x) = 0 son súper importantes: ahí puede haber máximos, mínimos o puntos de inflexión. Para distinguirlos, mirás cómo cambia el signo de f' alrededor del punto.

Hay dos métodos: usar la segunda derivada (f''(x₀) > 0 → mínimo, f''(x₀) < 0 → máximo) o estudiar el signo de f' en un entorno. El segundo método es más útil para graficar.

💡 Tip de examen: El análisis del signo de f' te da toda la información sobre crecimiento y decrecimiento. ¡Hacé siempre una tabla de signos!

Ejemplo Completo de Monotonía

Veamos cómo aplicar todo paso a paso con f(x) = x³ + x² - 5x + 1. Primero derivás: f'(x) = 3x² + 2x - 5.

Igualás la derivada a cero y resolvés la ecuación cuadrática. Acá obtuvimos x = 1 y x = -5/3 como puntos críticos.

Después hacés la tabla de signos: f' es positiva en (-∞, -5/3), negativa en (-5/3, 1), y positiva otra vez en (1, +∞). Esto te dice que hay un máximo en x = -5/3 y un mínimo en x = 1.

💡 Organización: Siempre calculá los valores exactos de f en los puntos críticos. En exámenes, te van a pedir las coordenadas completas de máximos y mínimos.

Curvatura y Puntos de Inflexión

La segunda derivada f''(x) te cuenta sobre la curvatura de la función. Si f''(x) > 0, la función es convexa (como una U); si f''(x) < 0, es cóncava (como una Π invertida).

Los puntos de inflexión aparecen donde f''(x) = 0 y la curvatura cambia. Son puntos donde la función "cambia de forma", pasando de cóncava a convexa o viceversa.

En nuestro ejemplo, f''(x) = 6x + 2 se anula en x = -1/3. Antes de ese punto la función es cóncava, y después es convexa. El punto de inflexión está en (-1/3, 254/27).

💡 Visual: Los puntos de inflexión son como "cambios de dirección" en la curvatura. Si trazás la tangente en un punto de inflexión, la curva "cruza" esa tangente.