Matemáticas60 visualizaciones·Actualizado 5 de ago de 2026·4 páginas

Resolviendo Cálculos de Inecuaciones

gisell castellanos@gisellcastellanos_rxe6

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Las desigualdades cuadráticas son expresiones matemáticas que involucran una variable...

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Resolviendo Desigualdades Cuadráticas

Para resolver una desigualdad cuadrática como $x^2+2x-3>0$ , primero factorizamos la expresión. En este caso, obtenemos $(x+3)(x-1)>0$ . Cuando multiplicamos dos términos, el resultado es positivo solo cuando ambos factores tienen el mismo signo.

Para $(x+3)(x-1)>0$ , necesitamos que ambos factores sean positivos o ambos negativos. Esto ocurre cuando $x>1$ (para que $x-1>0$ ) y también $x>-3$ (para que $x+3>0$ ), o cuando $x<-3$ y $x<1$ . Al combinar estas condiciones, la solución es $x \in ]-∞, -3[ \cup [1,+∞[$ .

En el ejemplo $x^2-2x-8<0$ , factorizamos para obtener $(x+2)(x-4)<0$ . Aquí necesitamos que un factor sea positivo y el otro negativo. Analizando las condiciones, encontramos que la solución es $x \in ]-2,4[$ .

💡 Consejo útil: Cuando resuelvas desigualdades cuadráticas, siempre verifica tus respuestas sustituyendo un valor dentro del intervalo solución para confirmar que satisface la desigualdad original.

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Desigualdades Racionales y Sistemas

Las desigualdades racionales contienen fracciones con variables. Para resolverlas, primero multiplicamos ambos lados por el mínimo común denominador, pero ¡cuidado! Si el denominador puede ser negativo, debemos considerar el cambio de signo.

Por ejemplo, en $\frac{x+6}{2} < \frac{3x+11}{5} > \frac{2x-14}{3}$ , multiplicamos por los denominadores y transformamos en $5x+12 < 15x+44 > 10x-14$ . Esto es un sistema de desigualdades que debemos resolver simultáneamente.

Al resolver paso a paso, encontramos que $x > -4$ y $x < 4$ , lo que da como solución el intervalo $(-4, 4)$ . En otro ejemplo, $\frac{x-3}{6} \leq x-1 \lor \frac{x-6}{3} \geq x+4$ tiene como solución $x \geq \frac{3}{5} \lor x \leq -9$ .

⚠️ Atención: Al multiplicar o dividir por una expresión que podría ser negativa, siempre debes considerar los casos separadamente o cambiar el símbolo de desigualdad cuando corresponda.

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Casos Especiales de Desigualdades

En desigualdades como $8(x-1)^2 > 8-(x-4)^2$ , aparecen expresiones cuadráticas más complejas. Debemos expandir los términos y simplificar hasta obtener una forma estándar como $9x^2 - 24x + 16 > 0$ .

Al factorizar esta expresión como $(3x - 4)^2 > 0$ , notamos que es un cuadrado perfecto. Un cuadrado siempre es positivo excepto cuando vale exactamente cero, por lo que la solución es $x \neq \frac{4}{3}$ o $S = (-∞, \frac{4}{3}) ∪ (\frac{4}{3}, ∞)$ .

Para desigualdades con coeficiente negativo en $x^2$ como $-x^2 + x + 1 ≥ 0$ , la parábola se abre hacia abajo y tiene un valor máximo. La solución será un intervalo cerrado entre las raíces, que en este caso son $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

💡 Truco matemático: Si tu desigualdad tiene forma $(ax - b)^2 > 0$ o $(ax - b)^2 < 0$ , recuerda que un cuadrado siempre es positivo o cero, nunca negativo. Esto te ayudará a identificar rápidamente las soluciones.

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Aplicando Métodos de Factorización

La factorización es una herramienta poderosa para resolver desigualdades cuadráticas. Cuando tenemos expresiones como $x^2+7x+8$ , podemos factorizarla como $x(x+8)-(x+8)$ y luego como $(x-1)(x+8)$ .

Al resolver una desigualdad con esta expresión factorizada, identificamos dónde los factores cambian de signo (en $x=-8$ y $x=1$ ). Estos puntos dividen la recta numérica en intervalos, y podemos determinar el signo de la expresión en cada intervalo.

Para factorizar expresiones más complicadas, utiliza técnicas como completar el cuadrado o la fórmula cuadrática para encontrar las raíces. Recuerda que las raíces son los valores donde la expresión cuadrática es igual a cero.

🔑 Recuerda: Al factorizar una expresión cuadrática $ax^2 + bx + c$ , puedes probar con $ax^2 + px + qx + c$ donde $p×q = a×c$ y $p+q = b$ . Esta técnica facilita encontrar los factores correctos.

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