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Yeferson Gallego Mosquera
11/12/2025
Matemáticas
Clase 9 - Algebra lineal
102
•
11 de dic de 2025
•
Yeferson Gallego Mosquera
@efersonallegoosquera_5dyk
Los espacios vectoriales son estructuras fundamentales en álgebra lineal que... Mostrar más
Un espacio vectorial es básicamente un conjunto con reglas muy específicas para sumar y multiplicar sus elementos. Imaginate que tenés un club exclusivo donde solo pueden entrar los conjuntos que cumplan exactamente 10 reglas súper estrictas.
Para que un conjunto sea un espacio vectorial, debe cumplir 5 propiedades para la suma y 5 para la multiplicación por escalares. Las más importantes son: cuando sumás dos elementos del conjunto, el resultado también debe estar en el conjunto (cerradura), la suma debe ser conmutativa, y debe existir un elemento neutro (como el cero).
💡 Tip clave: Los números reales con suma y multiplicación normal son el ejemplo perfecto de espacio vectorial - ¡usá este como referencia!
La multiplicación por escalares también tiene sus reglas: debe ser distributiva, asociativa, y multiplicar por 1 no cambia el vector.
Vamos a probar que los números reales con suma y multiplicación usual forman un espacio vectorial. Este ejemplo te va a mostrar cómo verificar cada propiedad paso a paso.
Para la suma: si tomás u = 4 y v = -2, entonces u + v = 2 ∈ ℝ ✓. La suma es conmutativa (4 + (-2) = (-2) + 4), asociativa, tiene elemento neutro (0), y cada número tiene su inverso aditivo.
Para la multiplicación por escalares: si λ = √2 y u = √3, entonces λu = (√3)/2 ∈ ℝ ✓. Las leyes distributivas también se cumplen perfectamente.
⚠️ Contraste: Los números naturales NO forman un espacio vectorial porque no tienen inversos aditivos .
El conjunto ℝ⁺ (números reales positivos) puede formar un espacio vectorial con operaciones especiales: u ⊕ v = uv y λ ⊙ u = u^λ. Esto parece raro, pero funciona perfectamente.
Con estas operaciones "raras", todas las propiedades se cumplen. Por ejemplo: la "suma" u ⊕ v = uv da resultados en ℝ⁺, es conmutativa y asociativa. El elemento neutro es 1 (no 0), porque u × 1 = u.
La multiplicación por escalares λ ⊙ u = u^λ también cumple todas las propiedades: u^(λβ) = ^β y u^(λ+β) = u^λ × u^β.
🔥 Dato curioso: ¡El elemento neutro no siempre es cero! En este espacio vectorial especial, es el número 1.
Un subespacio es como un "mini espacio vectorial" dentro de uno más grande. Solo necesita cumplir dos condiciones súper importantes: debe ser cerrado bajo la suma y bajo la multiplicación por escalares.
Por ejemplo, las rectas que pasan por el origen son subespacios de ℝ². Si tenés la recta y = 5x, y tomás dos puntos u = (a, 5a) y v = (b, 5b), su suma u + v = sigue estando en la recta.
Pero ojo: las rectas que NO pasan por el origen no son subespacios. Esto es porque cuando sumás dos puntos de esa recta, el resultado se sale de la recta original.
💡 Regla de oro: Para verificar si algo es subespacio, siempre preguntate: "¿El vector cero está aquí?" Si no, definitivamente no es subespacio.
Los números pares forman un subespacio de ℝ. Si H = {x | x = 2k, k ∈ ℤ}, entonces la suma de dos números pares es par, y cualquier múltiplo real de un número par... ¡espera! Si multiplicás por π, ya no es entero par.
En ℝ², el conjunto W = {(x, y) | y = 5x} SÍ es un subespacio. Si u = (a, 5a) y v = (b, 5b), entonces u + v = sigue la misma regla y = 5x.
Pero el conjunto {(x, y) | y = sen x} NO es subespacio. Aunque contenga el origen, la suma de dos puntos no se comporta bien: sen(a) + sen(b) ≠ sen.
⚡ Tip rápido: Las funciones trigonométricas generalmente NO forman subespacios porque no son lineales.
El conjunto de matrices 2×2 con la forma SÍ forma un subespacio. La suma de dos matrices de esta forma mantiene la estructura, y multiplicar por un escalar también.
Pero las matrices con determinante cero NO forman subespacio. Aunque cada matriz individual tenga determinante cero, cuando las sumás, el resultado puede tener determinante diferente de cero.
Los subespacios triviales son los más básicos: el conjunto {0} y el espacio completo. En ℝ³, también tenés las rectas y planos que pasan por el origen como subespacios.
🎯 Estrategia: Para verificar subespacios, probá con ejemplos específicos primero. Si encontrás un contraejemplo, ya sabés que no es subespacio.
Una combinación lineal es cuando mezclás vectores usando escalares: λ₁v₁ + λ₂v₂ = resultado deseado. Es como hacer una receta donde mezclás ingredientes en proporciones específicas.
Para verificar si (9, 2, 7) es combinación lineal de v₁ = (1, 2, -1) y v₂ = (6, 4, 2), armás un sistema de ecuaciones. Cada coordenada te da una ecuación: λ₁ + 6λ₂ = 9, 2λ₁ + 4λ₂ = 2, -λ₁ + 2λ₂ = 7.
También funciona con polinomios. Si querés expresar 3t² + 8t - 5 como combinación lineal de 2t² + 3t - 4 y t² - 2t - 3, igualás coeficientes de cada potencia de t.
🧮 Método clave: Siempre convertí el problema de combinación lineal en un sistema de ecuaciones lineales - es mucho más fácil de resolver.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Marco B
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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Yeferson Gallego Mosquera
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Los espacios vectoriales son estructuras fundamentales en álgebra lineal que combinan conjuntos con dos operaciones especiales. Estos conceptos te van a ayudar a entender desde gráficos en 3D hasta sistemas de ecuaciones complejos que usás en física y ingeniería.
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Un espacio vectorial es básicamente un conjunto con reglas muy específicas para sumar y multiplicar sus elementos. Imaginate que tenés un club exclusivo donde solo pueden entrar los conjuntos que cumplan exactamente 10 reglas súper estrictas.
Para que un conjunto sea un espacio vectorial, debe cumplir 5 propiedades para la suma y 5 para la multiplicación por escalares. Las más importantes son: cuando sumás dos elementos del conjunto, el resultado también debe estar en el conjunto (cerradura), la suma debe ser conmutativa, y debe existir un elemento neutro (como el cero).
💡 Tip clave: Los números reales con suma y multiplicación normal son el ejemplo perfecto de espacio vectorial - ¡usá este como referencia!
La multiplicación por escalares también tiene sus reglas: debe ser distributiva, asociativa, y multiplicar por 1 no cambia el vector.
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Vamos a probar que los números reales con suma y multiplicación usual forman un espacio vectorial. Este ejemplo te va a mostrar cómo verificar cada propiedad paso a paso.
Para la suma: si tomás u = 4 y v = -2, entonces u + v = 2 ∈ ℝ ✓. La suma es conmutativa (4 + (-2) = (-2) + 4), asociativa, tiene elemento neutro (0), y cada número tiene su inverso aditivo.
Para la multiplicación por escalares: si λ = √2 y u = √3, entonces λu = (√3)/2 ∈ ℝ ✓. Las leyes distributivas también se cumplen perfectamente.
⚠️ Contraste: Los números naturales NO forman un espacio vectorial porque no tienen inversos aditivos .
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El conjunto ℝ⁺ (números reales positivos) puede formar un espacio vectorial con operaciones especiales: u ⊕ v = uv y λ ⊙ u = u^λ. Esto parece raro, pero funciona perfectamente.
Con estas operaciones "raras", todas las propiedades se cumplen. Por ejemplo: la "suma" u ⊕ v = uv da resultados en ℝ⁺, es conmutativa y asociativa. El elemento neutro es 1 (no 0), porque u × 1 = u.
La multiplicación por escalares λ ⊙ u = u^λ también cumple todas las propiedades: u^(λβ) = ^β y u^(λ+β) = u^λ × u^β.
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Un subespacio es como un "mini espacio vectorial" dentro de uno más grande. Solo necesita cumplir dos condiciones súper importantes: debe ser cerrado bajo la suma y bajo la multiplicación por escalares.
Por ejemplo, las rectas que pasan por el origen son subespacios de ℝ². Si tenés la recta y = 5x, y tomás dos puntos u = (a, 5a) y v = (b, 5b), su suma u + v = sigue estando en la recta.
Pero ojo: las rectas que NO pasan por el origen no son subespacios. Esto es porque cuando sumás dos puntos de esa recta, el resultado se sale de la recta original.
💡 Regla de oro: Para verificar si algo es subespacio, siempre preguntate: "¿El vector cero está aquí?" Si no, definitivamente no es subespacio.
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Los números pares forman un subespacio de ℝ. Si H = {x | x = 2k, k ∈ ℤ}, entonces la suma de dos números pares es par, y cualquier múltiplo real de un número par... ¡espera! Si multiplicás por π, ya no es entero par.
En ℝ², el conjunto W = {(x, y) | y = 5x} SÍ es un subespacio. Si u = (a, 5a) y v = (b, 5b), entonces u + v = sigue la misma regla y = 5x.
Pero el conjunto {(x, y) | y = sen x} NO es subespacio. Aunque contenga el origen, la suma de dos puntos no se comporta bien: sen(a) + sen(b) ≠ sen.
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El conjunto de matrices 2×2 con la forma SÍ forma un subespacio. La suma de dos matrices de esta forma mantiene la estructura, y multiplicar por un escalar también.
Pero las matrices con determinante cero NO forman subespacio. Aunque cada matriz individual tenga determinante cero, cuando las sumás, el resultado puede tener determinante diferente de cero.
Los subespacios triviales son los más básicos: el conjunto {0} y el espacio completo. En ℝ³, también tenés las rectas y planos que pasan por el origen como subespacios.
🎯 Estrategia: Para verificar subespacios, probá con ejemplos específicos primero. Si encontrás un contraejemplo, ya sabés que no es subespacio.
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Una combinación lineal es cuando mezclás vectores usando escalares: λ₁v₁ + λ₂v₂ = resultado deseado. Es como hacer una receta donde mezclás ingredientes en proporciones específicas.
Para verificar si (9, 2, 7) es combinación lineal de v₁ = (1, 2, -1) y v₂ = (6, 4, 2), armás un sistema de ecuaciones. Cada coordenada te da una ecuación: λ₁ + 6λ₂ = 9, 2λ₁ + 4λ₂ = 2, -λ₁ + 2λ₂ = 7.
También funciona con polinomios. Si querés expresar 3t² + 8t - 5 como combinación lineal de 2t² + 3t - 4 y t² - 2t - 3, igualás coeficientes de cada potencia de t.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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