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Clase 6 - Introducción al Álgebra Lineal

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Yeferson Gallego Mosquera

@efersonallegoosquera_5dyk

La matriz inversa es un concepto fundamental en álgebra lineal... Mostrar más

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X=0 Y=0 7=-3 Matriz Inversa Sea A una matriz ruadiada de nxn. Si existe e ma matriz de nxn $A^{-1}$ con la siguiente propiedad $A \cdot A^{

Matriz Inversa: Definición y Verificación

Una matriz inversa existe cuando, para una matriz cuadrada A, podemos encontrar otra matriz A^-1 que al multiplicarse cumple: A·A^-1 = I y A^-1·A = I, donde I es la matriz identidad.

Para matrices 2×2, verificar si tiene inversa es sencillo. Si A = ab;cda b; c d, calculamos su determinante: det(A) = ad-bc. Si este valor es diferente de cero, ¡felicitaciones! Tu matriz tiene inversa. Si el determinante es cero, la matriz es singular y no tendrá inversa.

💡 Consejo clave: Siempre calcula el determinante primero para saber si existe la inversa. ¡Te ahorrarás trabajo innecesario si resulta que la matriz es singular!

X=0 Y=0 7=-3 Matriz Inversa Sea A una matriz ruadiada de nxn. Si existe e ma matriz de nxn $A^{-1}$ con la siguiente propiedad $A \cdot A^{

Calculando la Inversa en Matrices 2×2

Para matrices 2×2, existe una fórmula directa para calcular la inversa:

A^-1 = 1/det(A)1/det(A) · d−b;−cad -b; -c a, donde A = ab;cda b; c d

Veamos un ejemplo práctico: Si A = 21;532 1; 5 3, primero calculamos det(A) = 2·3 - 5·1 = 6 - 5 = 1. Como det(A) ≠ 0, podemos aplicar la fórmula:

A^-1 = (1/1) · 3−1;−523 -1; -5 2 = 3−1;−523 -1; -5 2

Para verificar si hemos calculado correctamente, multiplicamos A·A^-1 y debemos obtener la matriz identidad 10;011 0; 0 1.

🔍 Atención: Cuando el determinante es 1, la fórmula se simplifica mucho, pero si es diferente deberás dividir toda la matriz resultante entre ese valor.

X=0 Y=0 7=-3 Matriz Inversa Sea A una matriz ruadiada de nxn. Si existe e ma matriz de nxn $A^{-1}$ con la siguiente propiedad $A \cdot A^{

Inversa de Matrices de Mayor Tamaño

Para matrices más grandes (n×n), usamos el método de Gauss-Jordan. Consiste en:

  1. Construir una matriz aumentada A∣IA|I, colocando la matriz original A a la izquierda y la matriz identidad I a la derecha.

  2. Realizar operaciones entre filas hasta transformar la parte izquierda en la matriz identidad. La parte derecha se convertirá automáticamente en A^-1.

El proceso implica operaciones elementales como: intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar o sumar/restar filas multiplicadas por escalares. Debes aplicar la misma operación a ambos lados de la matriz aumentada.

🧠 Visualízalo así: Es como resolver la ecuación Ax = I para x, donde x sería A^-1. Las operaciones de fila te ayudan a "despejar" la x.

X=0 Y=0 7=-3 Matriz Inversa Sea A una matriz ruadiada de nxn. Si existe e ma matriz de nxn $A^{-1}$ con la siguiente propiedad $A \cdot A^{

Ejemplo Práctico: Gauss-Jordan

Calculemos la inversa de A = 12;341 2; 3 4. Primero, verificamos que det(A) = 1·4 - 3·2 = -2 ≠ 0, así que tiene inversa.

Construimos la matriz aumentada A∣IA|I: 12∣1034∣011 2 | 1 0 3 4 | 0 1

Aplicamos operaciones:

  1. F₂ - 3F₁ → F₂: 12∣100−2∣−311 2 | 1 0 0 -2 | -3 1

  2. F₂ ÷ (-2) → F₂: 12∣1001∣3/2−1/21 2 | 1 0 0 1 | 3/2 -1/2

  3. F₁ - 2F₂ → F₁: 10∣−2101∣3/2−1/21 0 | -2 1 0 1 | 3/2 -1/2

Por tanto, A^-1 = −21;3/2−1/2-2 1; 3/2 -1/2, que podemos verificar multiplicándola por A para obtener I.

📝 Truco: Organiza tu trabajo en pasos claros y ve anotando cada operación que realizas. Te ayudará a no perderte en los cálculos.

X=0 Y=0 7=-3 Matriz Inversa Sea A una matriz ruadiada de nxn. Si existe e ma matriz de nxn $A^{-1}$ con la siguiente propiedad $A \cdot A^{

Propiedades y Sistemas de Ecuaciones

Las matrices inversas tienen propiedades importantes que te facilitan muchos cálculos:

  1. A−1A^-1^-1 = A: La inversa de la inversa te devuelve la matriz original.
  2. (λA)^-1 = (1/λ)A^-1: Al multiplicar una matriz por un escalar, su inversa se divide por ese escalar.
  3. (AB)^-1 = B^-1A^-1: La inversa de un producto es el producto de las inversas en orden inverso.
  4. A−1A^-1^T = ATA^T^-1: La transpuesta de la inversa es igual a la inversa de la transpuesta.

También podemos hallar la inversa resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. Si A es 2×2, planteamos: A·X = I, donde X sería la matriz inversa buscada. Esto genera cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

⚠️ Importante: Recuerda que una matriz solo tiene inversa si su determinante es diferente de cero. De lo contrario, el sistema no tendrá solución única.

X=0 Y=0 7=-3 Matriz Inversa Sea A una matriz ruadiada de nxn. Si existe e ma matriz de nxn $A^{-1}$ con la siguiente propiedad $A \cdot A^{

Aplicaciones Geométricas

Las matrices tienen importantes aplicaciones geométricas, como determinar si dos vectores son paralelos o perpendiculares.

Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es cero. Por ejemplo, si (-5, 2, 4)·(-2, 1, -3) = 10 + 2 - 12 = 0, entonces son perpendiculares.

Dos vectores son paralelos cuando uno es múltiplo escalar del otro. Por ejemplo, si (2, -1, 3) = λ(-2, 1, -3), entonces debe existir un valor de λ que satisfaga todas las ecuaciones componente a componente. En este caso, λ = -1 satisface todas las ecuaciones, así que los vectores son paralelos.

🌟 Conexión: Las propiedades de matrices y vectores están íntimamente relacionadas. La inversa de una matriz de rotación representa la rotación en sentido contrario.



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Contenidos más populares: Matrix Inverse

Determinantes e inversa

Hallar determinantes e inversas de una matriz, ejemplos y ejercicios

MatemáticasMatemáticas
10

Matriz inversa

Matriz inversa

MatemáticasMatemáticas
4° Sec

Propiedades de las matrices

Apuntes sobre las propiedades de las matrices en álgebra lineal

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Ecuación cuadrática

Definición, procedimiento

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Teorema de pitágoras

Qué es el teorema de pitágoras, cuando se usa y su clasificación.

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Teorema de Tales

- Teorema De Tales en un Triangulo - Teorema De Tales en Rectas - Otras aplicaciones de Teorema De Tales - Formulas - Graficas - Equivalentes - Ejemplos - Procedimiento

MatemáticasMatemáticas
9

Propiedades de los exponentes

Diapositivas donde se explica el tema propiedades de los exponentes abarcado explicacion de Producto de potencias,Cociente de potencias,Potencia de una potencia,Potencia de un producto,Potencia de un cociente junto con ejemplos y actividad de la temática

MatemáticasMatemáticas
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Función Exponencial

Función Exponencial

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Potencias Raíces

- Raíces - Formulas - Significado - Propiedades - Puntos clave - Potencias y Radicales

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Razones trigonométricas

Definición ejemplo y ejercicios

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Formulario Áreas y Perímetros

Formulario Áreas y Perímetros

MatemáticasMatemáticas
6

FUNCIÓN CUADRÁTICA

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS GRAFICA EN EL PLANO CARTESIANO VERTICE DE UNA PARÁBOLA EJEMPLO Y GRÁFICA

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Material de estudio, preguntas icfes de matemáticas resueltas

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Se explico las epatas del clico células: interfase, mitosis y meiosis

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Tiempos verbales en ingles

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Tema: Icfes

ICFES: InglésICFES: Inglés
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Tema: Icfes

ICFES: InglésICFES: Inglés
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FOTOSINTESIS

¿Qué es la fotosíntesis?, fase oscura y fase luminosa

BiologiaBiologia
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

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La matriz inversa es un concepto fundamental en álgebra lineal que te permite resolver sistemas de ecuaciones y realizar transformaciones. Es como encontrar el "opuesto multiplicativo" de una matriz, de manera que al multiplicarlas obtengas la matriz identidad.

X=0 Y=0 7=-3 Matriz Inversa Sea A una matriz ruadiada de nxn. Si existe e ma matriz de nxn $A^{-1}$ con la siguiente propiedad $A \cdot A^{

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Matriz Inversa: Definición y Verificación

Una matriz inversa existe cuando, para una matriz cuadrada A, podemos encontrar otra matriz A^-1 que al multiplicarse cumple: A·A^-1 = I y A^-1·A = I, donde I es la matriz identidad.

Para matrices 2×2, verificar si tiene inversa es sencillo. Si A = ab;cda b; c d, calculamos su determinante: det(A) = ad-bc. Si este valor es diferente de cero, ¡felicitaciones! Tu matriz tiene inversa. Si el determinante es cero, la matriz es singular y no tendrá inversa.

💡 Consejo clave: Siempre calcula el determinante primero para saber si existe la inversa. ¡Te ahorrarás trabajo innecesario si resulta que la matriz es singular!

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Calculando la Inversa en Matrices 2×2

Para matrices 2×2, existe una fórmula directa para calcular la inversa:

A^-1 = 1/det(A)1/det(A) · d−b;−cad -b; -c a, donde A = ab;cda b; c d

Veamos un ejemplo práctico: Si A = 21;532 1; 5 3, primero calculamos det(A) = 2·3 - 5·1 = 6 - 5 = 1. Como det(A) ≠ 0, podemos aplicar la fórmula:

A^-1 = (1/1) · 3−1;−523 -1; -5 2 = 3−1;−523 -1; -5 2

Para verificar si hemos calculado correctamente, multiplicamos A·A^-1 y debemos obtener la matriz identidad 10;011 0; 0 1.

🔍 Atención: Cuando el determinante es 1, la fórmula se simplifica mucho, pero si es diferente deberás dividir toda la matriz resultante entre ese valor.

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Inversa de Matrices de Mayor Tamaño

Para matrices más grandes (n×n), usamos el método de Gauss-Jordan. Consiste en:

  1. Construir una matriz aumentada A∣IA|I, colocando la matriz original A a la izquierda y la matriz identidad I a la derecha.

  2. Realizar operaciones entre filas hasta transformar la parte izquierda en la matriz identidad. La parte derecha se convertirá automáticamente en A^-1.

El proceso implica operaciones elementales como: intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar o sumar/restar filas multiplicadas por escalares. Debes aplicar la misma operación a ambos lados de la matriz aumentada.

🧠 Visualízalo así: Es como resolver la ecuación Ax = I para x, donde x sería A^-1. Las operaciones de fila te ayudan a "despejar" la x.

X=0 Y=0 7=-3 Matriz Inversa Sea A una matriz ruadiada de nxn. Si existe e ma matriz de nxn $A^{-1}$ con la siguiente propiedad $A \cdot A^{

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Ejemplo Práctico: Gauss-Jordan

Calculemos la inversa de A = 12;341 2; 3 4. Primero, verificamos que det(A) = 1·4 - 3·2 = -2 ≠ 0, así que tiene inversa.

Construimos la matriz aumentada A∣IA|I: 12∣1034∣011 2 | 1 0 3 4 | 0 1

Aplicamos operaciones:

  1. F₂ - 3F₁ → F₂: 12∣100−2∣−311 2 | 1 0 0 -2 | -3 1

  2. F₂ ÷ (-2) → F₂: 12∣1001∣3/2−1/21 2 | 1 0 0 1 | 3/2 -1/2

  3. F₁ - 2F₂ → F₁: 10∣−2101∣3/2−1/21 0 | -2 1 0 1 | 3/2 -1/2

Por tanto, A^-1 = −21;3/2−1/2-2 1; 3/2 -1/2, que podemos verificar multiplicándola por A para obtener I.

📝 Truco: Organiza tu trabajo en pasos claros y ve anotando cada operación que realizas. Te ayudará a no perderte en los cálculos.

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Propiedades y Sistemas de Ecuaciones

Las matrices inversas tienen propiedades importantes que te facilitan muchos cálculos:

  1. A−1A^-1^-1 = A: La inversa de la inversa te devuelve la matriz original.
  2. (λA)^-1 = (1/λ)A^-1: Al multiplicar una matriz por un escalar, su inversa se divide por ese escalar.
  3. (AB)^-1 = B^-1A^-1: La inversa de un producto es el producto de las inversas en orden inverso.
  4. A−1A^-1^T = ATA^T^-1: La transpuesta de la inversa es igual a la inversa de la transpuesta.

También podemos hallar la inversa resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. Si A es 2×2, planteamos: A·X = I, donde X sería la matriz inversa buscada. Esto genera cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

⚠️ Importante: Recuerda que una matriz solo tiene inversa si su determinante es diferente de cero. De lo contrario, el sistema no tendrá solución única.

X=0 Y=0 7=-3 Matriz Inversa Sea A una matriz ruadiada de nxn. Si existe e ma matriz de nxn $A^{-1}$ con la siguiente propiedad $A \cdot A^{

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Aplicaciones Geométricas

Las matrices tienen importantes aplicaciones geométricas, como determinar si dos vectores son paralelos o perpendiculares.

Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es cero. Por ejemplo, si (-5, 2, 4)·(-2, 1, -3) = 10 + 2 - 12 = 0, entonces son perpendiculares.

Dos vectores son paralelos cuando uno es múltiplo escalar del otro. Por ejemplo, si (2, -1, 3) = λ(-2, 1, -3), entonces debe existir un valor de λ que satisfaga todas las ecuaciones componente a componente. En este caso, λ = -1 satisface todas las ecuaciones, así que los vectores son paralelos.

🌟 Conexión: Las propiedades de matrices y vectores están íntimamente relacionadas. La inversa de una matriz de rotación representa la rotación en sentido contrario.

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS