Asignaturas

SchoolGPT

Ofertas de empleo

Abrir la app

Asignaturas

Asignaturas

Matemáticas

Matemáticas

11 de dic de 2025

146

12 páginas

Lección 3: Introducción al Álgebra Lineal

user profile picture

Yeferson Gallego Mosquera @efersonallegoosquera_5dyk

¿Sabías que los vectores tienen propiedades súper útiles que te permiten resolver problemas de física y geometría de... Mostrar más

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Propiedades del Producto Escalar

El producto escalar es como una herramienta mágica que te dice qué tanto "se parecen" dos vectores. Tiene cinco propiedades clave que necesitas memorizar porque aparecen en todos los exámenes.

La primera propiedad te dice que u⃗⋅u⃗≥0\vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0 - básicamente, un vector consigo mismo siempre da positivo (excepto el vector cero). La segunda es que el orden no importa u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} (propiedad conmutativa).

La desigualdad de Cauchy-Schwarz suena complicada, pero es súper importante ∣u⃗⋅v⃗∣≤∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq ||\vec{u}|| ||\vec{v}||. Esta desigualdad aparece porque el coseno del ángulo entre vectores nunca puede ser mayor que 1.

Tip clave La fórmula cos⁡φ=u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣\cos\varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| ||\vec{v}||} te permite encontrar el ángulo entre cualquier par de vectores.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Desigualdad del Triángulo

¿Alguna vez te has preguntado por qué el camino más corto entre dos puntos es la línea recta? La desigualdad del triángulo lo explica matemáticamente ∣∣a⃗+b⃗∣∣≤∣∣a⃗∣∣+∣∣b⃗∣∣||\vec{a} + \vec{b}|| \leq ||\vec{a}|| + ||\vec{b}||.

Para demostrar esta propiedad, usamos el truco de elevar al cuadrado ambos lados. Cuando desarrollas ∣∣a⃗+b⃗∣∣2||\vec{a} + \vec{b}||^2, obtienes ∣∣a⃗∣∣2+2a⃗⋅b⃗+∣∣b⃗∣∣2||\vec{a}||^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + ||\vec{b}||^2.

El paso clave es usar la propiedad de que cualquier número es menor o igual que su valor absoluto. Luego aplicamos Cauchy-Schwarz para reemplazar ∣a⃗⋅b⃗∣|\vec{a} \cdot \vec{b}| por ∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣||\vec{a}|| ||\vec{b}||.

Recuerda Esta desigualdad te dice que la suma de las magnitudes de dos vectores siempre es mayor o igual que la magnitud de su suma vectorial.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Ángulos entre Vectores y Ortogonalidad

Calcular ángulos entre vectores es más fácil de lo que parece. Usas la fórmula cos⁡φ=u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣\cos\varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| ||\vec{v}||} y listo.

Hay dos casos especiales que siempre aparecen en los exámenes cuando u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, los vectores son perpendiculares (ángulo de 90°). Cuando el ángulo es 0° o 180°, los vectores son paralelos.

Para el ejercicio de encontrar valores de λ donde los vectores sean ortogonales, simplemente igualas el producto escalar a cero u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. Con los vectores dados, obtienes λ2−3λ−4=0\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0, que se resuelve factorizando (λ−4)(λ+1)=0(\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0.

Dato útil Los vectores ortogonales aparecen constantemente en física (fuerzas perpendiculares) y en geometría analítica.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Cálculos con Normas y Ángulos

Cuando tienes que calcular ∣∣2u⃗−v⃗∣∣||2\vec{u} - \vec{v}||, el truco está en usar la fórmula ∣∣2u⃗−v⃗∣∣2=(2u⃗−v⃗)⋅(2u⃗−v⃗)||2\vec{u} - \vec{v}||^2 = (2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (2\vec{u} - \vec{v}).

Al desarrollar el producto punto, obtienes 4∣∣u⃗∣∣2−4u⃗⋅v⃗+∣∣v⃗∣∣24||\vec{u}||^2 - 4\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2. Con ∣∣u⃗∣∣=3||\vec{u}|| = 3 y ∣∣v⃗∣∣=5||\vec{v}|| = 5, solo necesitas el valor de u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Para vectores perpendiculares (φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}), u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, entonces ∣∣2u⃗−v⃗∣∣=61||2\vec{u} - \vec{v}|| = \sqrt{61}. Para φ=2π3\varphi = \frac{2\pi}{3}, u⃗⋅v⃗=−152\vec{u} \cdot \vec{v} = -\frac{15}{2}, y obtienes ∣∣2u⃗−v⃗∣∣=91||2\vec{u} - \vec{v}|| = \sqrt{91}.

Estrategia Siempre eleva al cuadrado primero cuando calcules normas de sumas o diferencias de vectores.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Proyecciones y Componentes

Las proyecciones vectoriales te permiten descomponer un vector en direcciones específicas - súper útil en física para analizar fuerzas.

La fórmula de proyección es \text{Proy}_\vec{v}\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}, mientras que la componente escalar es \text{comp}_\vec{v}\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||}.

En el ejemplo con u⃗=2i^+3j^+k^\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k} y v⃗=i^+2j^−6k^\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}, primero calculas u⃗⋅v⃗=2(1)+3(2)+1(−6)=2\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(1) + 3(2) + 1(-6) = 2 y ∣∣v⃗∣∣2=1+4+36=41||\vec{v}||^2 = 1 + 4 + 36 = 41.

Visualízalo La proyección es la "sombra" de un vector sobre otro, como cuando el sol proyecta tu sombra en el suelo.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Introducción al Producto Vectorial y Determinantes

El producto vectorial (o producto cruz) solo existe en R3\mathbb{R}^3 y su resultado es un vector perpendicular a los dos vectores originales. Antes de dominarlo, necesitas entender los determinantes.

Para matrices 2×2, el determinante es ∣A∣=a11a22−a12a21|A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}. Si el determinante es diferente de cero, el sistema tiene solución única; si es cero, tiene infinitas soluciones o ninguna.

Para matrices 3×3, expandes por la primera fila ∣A∣=a11∣a22a23 a32a33∣−a12∣a21a23 a31a33∣+a13∣a21a22 a31a32∣|A| = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.

Recuerda Los signos en la expansión siguen el patrón + - + para la primera fila.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Cálculo del Producto Vectorial

El producto vectorial se calcula como un determinante especial u⃗×v⃗=∣i^j^k^ u1u2u3 v1v2v3∣\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.

Al expandir, obtienes u⃗×v⃗=i^(u2v3−u3v2)−j^(u1v3−u3v1)+k^(u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \hat{i}(u_2v_3 - u_3v_2) - \hat{j}(u_1v_3 - u_3v_1) + \hat{k}(u_1v_2 - u_2v_1). Nota que el término en j^\hat{j} lleva signo negativo.

Los productos cruz de los vectores unitarios siguen la regla de la mano derecha i^×j^=k^\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, j^×k^=i^\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}, k^×i^=j^\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}. En sentido contrario llevan signo negativo.

Truco nemotécnico Para recordar la secuencia, piensa en las letras del abecedario i→j→k→i...

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Interpretación Geométrica del Producto Vectorial

La norma del producto vectorial tiene una interpretación geométrica súper importante ∣∣u⃗×v⃗∣∣=∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣sin⁡α||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \sin\alpha. Esta es exactamente el área del paralelogramo formado por los dos vectores.

La identidad de Lagrange conecta el producto vectorial con el producto escalar ∣∣u⃗×v⃗∣∣2=∣∣u⃗∣∣2∣∣v⃗∣∣2−(u⃗⋅v⃗)2||\vec{u} \times \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 ||\vec{v}||^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2. Esta fórmula es súper útil cuando no conoces el ángulo directamente.

Para demostrar la identidad, usas la relación u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣cos⁡φ\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \cos\varphi y la identidad trigonométrica 1−cos⁡2φ=sin⁡2φ1 - \cos^2\varphi = \sin^2\varphi.

Aplicación práctica En física, el área del paralelogramo aparece en el cálculo de torque y momento angular.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Propiedades del Producto Vectorial y Ejercicios

El producto vectorial tiene propiedades que lo hacen diferente del producto escalar. La más importante u⃗×v⃗=−v⃗×u⃗\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u} (anticonmutativo).

Otras propiedades clave es distributivo (u⃗×(v⃗+w⃗)=u⃗×v⃗+u⃗×w⃗\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}), cualquier vector cruz consigo mismo da cero (u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}), y el resultado es siempre perpendicular a ambos vectores originales.

Para encontrar un vector unitario ortogonal a dos vectores dados, calculas su producto cruz y luego lo normalizas u⃗n=u⃗×v⃗∣∣u⃗×v⃗∣∣\vec{u}_n = \frac{\vec{u} \times \vec{v}}{||\vec{u} \times \vec{v}||}.

Dato importante Si dos vectores son paralelos, su producto vectorial es el vector cero.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Aplicaciones Avanzadas del Producto Vectorial

Los ejercicios combinados te ayudan a dominar todas las propiedades juntas. Cuando tienes c⃗=a⃗×b⃗−a⃗\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a}, puedes usar la propiedad de que a⃗⋅(a⃗×b⃗)=0\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 para simplificar cálculos.

Para calcular a⃗⋅c⃗\vec{a} \cdot \vec{c}, desarrollas a⃗⋅c⃗=a⃗⋅(a⃗×b⃗)−a⃗⋅a⃗=0−∣∣a⃗∣∣2=−4\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 - ||\vec{a}||^2 = -4.

Para ∣∣c⃗∣∣||\vec{c}||, usas la identidad de Lagrange cuando los vectores son ortogonales ∣∣a⃗×b⃗∣∣2=∣∣a⃗∣∣2∣∣b⃗∣∣2||\vec{a} \times \vec{b}||^2 = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2, porque a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.

Estrategia final Siempre verifica si los vectores son ortogonales o paralelos - esto simplifica muchísimo los cálculos.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.

1

Herramientas Inteligentes NUEVO

Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo

Examen de Práctica
Quiz
Fichas
Ensayo

Contenidos más populares: Cross Product

Clase 4 - Algebra Lineal

Temas: Ejercicio producto vectorial o cruz, ecuaciones vectorial y parámetros, posicion de dos rectas en el espacio , distancia de un punto a una recta, planos en R^3

MatemáticasMatemáticas
11

Vectores y rectas

Producto cruz entre dos vectores Rectas en el espacio

MatemáticasMatemáticas
11

Contenidos más populares de Matemáticas

Ecuación cuadrática

Definición, procedimiento

MatemáticasMatemáticas
2°M

Propiedades de los exponentes

Diapositivas donde se explica el tema propiedades de los exponentes abarcado explicacion de Producto de potencias,Cociente de potencias,Potencia de una potencia,Potencia de un producto,Potencia de un cociente junto con ejemplos y actividad de la temática

MatemáticasMatemáticas
9

Leyes de exponentes y radicales- Matemáticas básicas

Documento ideal para repasar leyes de exponentes y radicales, con reglas claras, ejemplos resueltos y ejercicios prácticos. Perfecto para secundaria, preuniversitario o quienes preparan exámenes

MatemáticasMatemáticas
Universidad

Racionalización

Definición caso uno caso dos ejemplos y ejercicios

MatemáticasMatemáticas
9

Plano cartesiano

Resuelto

MatemáticasMatemáticas
7

Operaciones básicas decimales

Suma resta multiplicación y división breves explicadas

MatemáticasMatemáticas
6

Teorema de pitágoras

Qué es el teorema de pitágoras, cuando se usa y su clasificación.

MatemáticasMatemáticas
8

Funciones Exponeneciales

apuntes con excelente explicacion y ejemplos acerca de las funciones exponenciales

MatemáticasMatemáticas
9

Función Exponencial

Función Exponencial

MatemáticasMatemáticas
9

Contenidos más populares

English notebook

Cuaderno de ingles con diversos temas gramaticales

InglésInglés
8

English

Tiempos verbales en ingles

InglésInglés
9

Ciclo celular

Se explico las epatas del clico células: interfase, mitosis y meiosis

BiologiaBiologia
11

SIMPLE PAST

Tema: Icfes

ICFES: InglésICFES: Inglés
11

PRESENT PERFECT

Tema: Icfes

ICFES: InglésICFES: Inglés
11

Nomenclatura orgánica

Nomenclatura de todos los tipos de compuestos en orgánica con ejemplos

QuímicaQuímica
4° Sec

Verb to be

Este documento explica el verbo to be, que significa ser o estar en inglés. Incluye su definición, una tabla en presente simple y ejemplos fáciles.

InglésInglés
6

Estequiometria

Parcial #2 Química

QuímicaQuímica
Universidad

Gramatica completa ingles

Contiene la gramatica necesaria para el desarrollo del inglés

InglésInglés
10

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Opiniones de nuestros usuarios. Ellos obtuvieron cosas geniales — y tú también podrías.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

Asignaturas

Matemáticas

 

Matemáticas

•

146

•

11 de dic de 2025

•

12 páginas

Lección 3: Introducción al Álgebra Lineal

user profile picture

Yeferson Gallego Mosquera

@efersonallegoosquera_5dyk

¿Sabías que los vectores tienen propiedades súper útiles que te permiten resolver problemas de física y geometría de manera más fácil? En este tema vas a dominar el producto escalar, el producto vectorial y sus aplicaciones prácticas.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Propiedades del Producto Escalar

El producto escalar es como una herramienta mágica que te dice qué tanto "se parecen" dos vectores. Tiene cinco propiedades clave que necesitas memorizar porque aparecen en todos los exámenes.

La primera propiedad te dice que u⃗⋅u⃗≥0\vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0 - básicamente, un vector consigo mismo siempre da positivo (excepto el vector cero). La segunda es que el orden no importa: u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} (propiedad conmutativa).

La desigualdad de Cauchy-Schwarz suena complicada, pero es súper importante: ∣u⃗⋅v⃗∣≤∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq ||\vec{u}|| ||\vec{v}||. Esta desigualdad aparece porque el coseno del ángulo entre vectores nunca puede ser mayor que 1.

Tip clave: La fórmula cos⁡φ=u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣\cos\varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| ||\vec{v}||} te permite encontrar el ángulo entre cualquier par de vectores.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Desigualdad del Triángulo

¿Alguna vez te has preguntado por qué el camino más corto entre dos puntos es la línea recta? La desigualdad del triángulo lo explica matemáticamente: ∣∣a⃗+b⃗∣∣≤∣∣a⃗∣∣+∣∣b⃗∣∣||\vec{a} + \vec{b}|| \leq ||\vec{a}|| + ||\vec{b}||.

Para demostrar esta propiedad, usamos el truco de elevar al cuadrado ambos lados. Cuando desarrollas ∣∣a⃗+b⃗∣∣2||\vec{a} + \vec{b}||^2, obtienes ∣∣a⃗∣∣2+2a⃗⋅b⃗+∣∣b⃗∣∣2||\vec{a}||^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + ||\vec{b}||^2.

El paso clave es usar la propiedad de que cualquier número es menor o igual que su valor absoluto. Luego aplicamos Cauchy-Schwarz para reemplazar ∣a⃗⋅b⃗∣|\vec{a} \cdot \vec{b}| por ∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣||\vec{a}|| ||\vec{b}||.

Recuerda: Esta desigualdad te dice que la suma de las magnitudes de dos vectores siempre es mayor o igual que la magnitud de su suma vectorial.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Ángulos entre Vectores y Ortogonalidad

Calcular ángulos entre vectores es más fácil de lo que parece. Usas la fórmula cos⁡φ=u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣\cos\varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| ||\vec{v}||} y listo.

Hay dos casos especiales que siempre aparecen en los exámenes: cuando u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, los vectores son perpendiculares (ángulo de 90°). Cuando el ángulo es 0° o 180°, los vectores son paralelos.

Para el ejercicio de encontrar valores de λ donde los vectores sean ortogonales, simplemente igualas el producto escalar a cero: u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. Con los vectores dados, obtienes λ2−3λ−4=0\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0, que se resuelve factorizando: (λ−4)(λ+1)=0(\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0.

Dato útil: Los vectores ortogonales aparecen constantemente en física (fuerzas perpendiculares) y en geometría analítica.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Cálculos con Normas y Ángulos

Cuando tienes que calcular ∣∣2u⃗−v⃗∣∣||2\vec{u} - \vec{v}||, el truco está en usar la fórmula ∣∣2u⃗−v⃗∣∣2=(2u⃗−v⃗)⋅(2u⃗−v⃗)||2\vec{u} - \vec{v}||^2 = (2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (2\vec{u} - \vec{v}).

Al desarrollar el producto punto, obtienes 4∣∣u⃗∣∣2−4u⃗⋅v⃗+∣∣v⃗∣∣24||\vec{u}||^2 - 4\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2. Con ∣∣u⃗∣∣=3||\vec{u}|| = 3 y ∣∣v⃗∣∣=5||\vec{v}|| = 5, solo necesitas el valor de u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Para vectores perpendiculares (φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}), u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, entonces ∣∣2u⃗−v⃗∣∣=61||2\vec{u} - \vec{v}|| = \sqrt{61}. Para φ=2π3\varphi = \frac{2\pi}{3}, u⃗⋅v⃗=−152\vec{u} \cdot \vec{v} = -\frac{15}{2}, y obtienes ∣∣2u⃗−v⃗∣∣=91||2\vec{u} - \vec{v}|| = \sqrt{91}.

Estrategia: Siempre eleva al cuadrado primero cuando calcules normas de sumas o diferencias de vectores.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Proyecciones y Componentes

Las proyecciones vectoriales te permiten descomponer un vector en direcciones específicas - súper útil en física para analizar fuerzas.

La fórmula de proyección es \text{Proy}_\vec{v}\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}, mientras que la componente escalar es \text{comp}_\vec{v}\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||}.

En el ejemplo con u⃗=2i^+3j^+k^\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k} y v⃗=i^+2j^−6k^\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}, primero calculas u⃗⋅v⃗=2(1)+3(2)+1(−6)=2\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(1) + 3(2) + 1(-6) = 2 y ∣∣v⃗∣∣2=1+4+36=41||\vec{v}||^2 = 1 + 4 + 36 = 41.

Visualízalo: La proyección es la "sombra" de un vector sobre otro, como cuando el sol proyecta tu sombra en el suelo.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Introducción al Producto Vectorial y Determinantes

El producto vectorial (o producto cruz) solo existe en R3\mathbb{R}^3 y su resultado es un vector perpendicular a los dos vectores originales. Antes de dominarlo, necesitas entender los determinantes.

Para matrices 2×2, el determinante es ∣A∣=a11a22−a12a21|A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}. Si el determinante es diferente de cero, el sistema tiene solución única; si es cero, tiene infinitas soluciones o ninguna.

Para matrices 3×3, expandes por la primera fila: ∣A∣=a11∣a22a23 a32a33∣−a12∣a21a23 a31a33∣+a13∣a21a22 a31a32∣|A| = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.

Recuerda: Los signos en la expansión siguen el patrón + - + para la primera fila.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Cálculo del Producto Vectorial

El producto vectorial se calcula como un determinante especial: u⃗×v⃗=∣i^j^k^ u1u2u3 v1v2v3∣\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.

Al expandir, obtienes u⃗×v⃗=i^(u2v3−u3v2)−j^(u1v3−u3v1)+k^(u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \hat{i}(u_2v_3 - u_3v_2) - \hat{j}(u_1v_3 - u_3v_1) + \hat{k}(u_1v_2 - u_2v_1). Nota que el término en j^\hat{j} lleva signo negativo.

Los productos cruz de los vectores unitarios siguen la regla de la mano derecha: i^×j^=k^\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, j^×k^=i^\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}, k^×i^=j^\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}. En sentido contrario llevan signo negativo.

Truco nemotécnico: Para recordar la secuencia, piensa en las letras del abecedario: i→j→k→i...

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Interpretación Geométrica del Producto Vectorial

La norma del producto vectorial tiene una interpretación geométrica súper importante: ∣∣u⃗×v⃗∣∣=∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣sin⁡α||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \sin\alpha. Esta es exactamente el área del paralelogramo formado por los dos vectores.

La identidad de Lagrange conecta el producto vectorial con el producto escalar: ∣∣u⃗×v⃗∣∣2=∣∣u⃗∣∣2∣∣v⃗∣∣2−(u⃗⋅v⃗)2||\vec{u} \times \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 ||\vec{v}||^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2. Esta fórmula es súper útil cuando no conoces el ángulo directamente.

Para demostrar la identidad, usas la relación u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣cos⁡φ\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \cos\varphi y la identidad trigonométrica 1−cos⁡2φ=sin⁡2φ1 - \cos^2\varphi = \sin^2\varphi.

Aplicación práctica: En física, el área del paralelogramo aparece en el cálculo de torque y momento angular.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Propiedades del Producto Vectorial y Ejercicios

El producto vectorial tiene propiedades que lo hacen diferente del producto escalar. La más importante: u⃗×v⃗=−v⃗×u⃗\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u} (anticonmutativo).

Otras propiedades clave: es distributivo (u⃗×(v⃗+w⃗)=u⃗×v⃗+u⃗×w⃗\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}), cualquier vector cruz consigo mismo da cero (u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}), y el resultado es siempre perpendicular a ambos vectores originales.

Para encontrar un vector unitario ortogonal a dos vectores dados, calculas su producto cruz y luego lo normalizas: u⃗n=u⃗×v⃗∣∣u⃗×v⃗∣∣\vec{u}_n = \frac{\vec{u} \times \vec{v}}{||\vec{u} \times \vec{v}||}.

Dato importante: Si dos vectores son paralelos, su producto vectorial es el vector cero.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Aplicaciones Avanzadas del Producto Vectorial

Los ejercicios combinados te ayudan a dominar todas las propiedades juntas. Cuando tienes c⃗=a⃗×b⃗−a⃗\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a}, puedes usar la propiedad de que a⃗⋅(a⃗×b⃗)=0\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 para simplificar cálculos.

Para calcular a⃗⋅c⃗\vec{a} \cdot \vec{c}, desarrollas: a⃗⋅c⃗=a⃗⋅(a⃗×b⃗)−a⃗⋅a⃗=0−∣∣a⃗∣∣2=−4\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 - ||\vec{a}||^2 = -4.

Para ∣∣c⃗∣∣||\vec{c}||, usas la identidad de Lagrange cuando los vectores son ortogonales: ∣∣a⃗×b⃗∣∣2=∣∣a⃗∣∣2∣∣b⃗∣∣2||\vec{a} \times \vec{b}||^2 = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2, porque a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.

Estrategia final: Siempre verifica si los vectores son ortogonales o paralelos - esto simplifica muchísimo los cálculos.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1) येथे 20 2) ✔ ✔ - ✔ ✔ û ñ = 0 <= > ú = ō y 3) · (vtw) = û · v + û · w • 4) λ(ûv) = (λû). v = u. (λv) 5) |

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.

1

Herramientas Inteligentes NUEVO

Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo

Examen de Práctica
Quiz
Fichas
Ensayo

Contenidos más populares: Cross Product

Clase 4 - Algebra Lineal

Temas: Ejercicio producto vectorial o cruz, ecuaciones vectorial y parámetros, posicion de dos rectas en el espacio , distancia de un punto a una recta, planos en R^3

MatemáticasMatemáticas
11

Vectores y rectas

Producto cruz entre dos vectores Rectas en el espacio

MatemáticasMatemáticas
11

Contenidos más populares de Matemáticas

Ecuación cuadrática

Definición, procedimiento

MatemáticasMatemáticas
2°M

Propiedades de los exponentes

Diapositivas donde se explica el tema propiedades de los exponentes abarcado explicacion de Producto de potencias,Cociente de potencias,Potencia de una potencia,Potencia de un producto,Potencia de un cociente junto con ejemplos y actividad de la temática

MatemáticasMatemáticas
9

Leyes de exponentes y radicales- Matemáticas básicas

Documento ideal para repasar leyes de exponentes y radicales, con reglas claras, ejemplos resueltos y ejercicios prácticos. Perfecto para secundaria, preuniversitario o quienes preparan exámenes

MatemáticasMatemáticas
Universidad

Racionalización

Definición caso uno caso dos ejemplos y ejercicios

MatemáticasMatemáticas
9

Plano cartesiano

Resuelto

MatemáticasMatemáticas
7

Operaciones básicas decimales

Suma resta multiplicación y división breves explicadas

MatemáticasMatemáticas
6

Teorema de pitágoras

Qué es el teorema de pitágoras, cuando se usa y su clasificación.

MatemáticasMatemáticas
8

Funciones Exponeneciales

apuntes con excelente explicacion y ejemplos acerca de las funciones exponenciales

MatemáticasMatemáticas
9

Función Exponencial

Función Exponencial

MatemáticasMatemáticas
9

Contenidos más populares

English notebook

Cuaderno de ingles con diversos temas gramaticales

InglésInglés
8

English

Tiempos verbales en ingles

InglésInglés
9

Ciclo celular

Se explico las epatas del clico células: interfase, mitosis y meiosis

BiologiaBiologia
11

SIMPLE PAST

Tema: Icfes

ICFES: InglésICFES: Inglés
11

PRESENT PERFECT

Tema: Icfes

ICFES: InglésICFES: Inglés
11

Nomenclatura orgánica

Nomenclatura de todos los tipos de compuestos en orgánica con ejemplos

QuímicaQuímica
4° Sec

Verb to be

Este documento explica el verbo to be, que significa ser o estar en inglés. Incluye su definición, una tabla en presente simple y ejemplos fáciles.

InglésInglés
6

Estequiometria

Parcial #2 Química

QuímicaQuímica
Universidad

Gramatica completa ingles

Contiene la gramatica necesaria para el desarrollo del inglés

InglésInglés
10

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Opiniones de nuestros usuarios. Ellos obtuvieron cosas geniales — y tú también podrías.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS