Inducción Matemática Básica

La inducción matemática nos ayuda a demostrar que una propiedad es válida para todos los números naturales. Empezamos verificando casos particulares antes de generalizar.

Tomemos por ejemplo la fórmula para la suma de los primeros n números naturales: $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$. Para probarla por inducción, primero verificamos casos básicos:

• Para $n=1$: $1 = \frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ ✓
• Para $n=2$: $1+2 = \frac{2(2+1)}{2} = \frac{6}{2} = 3$ ✓

Luego, asumimos que la fórmula funciona para $n=K$ (hipótesis inductiva) y demostramos que también es válida para $n=K+1$.

💡 Consejo práctico: Cuando trabajas con inducción matemática, siempre organiza tu demostración en estos tres pasos claros: caso base, hipótesis inductiva, y paso inductivo.

Demostraciones por Inducción

Para completar nuestra demostración anterior, asumimos que $1+2+3+...+K = \frac{K(K+1)}{2}$ es verdadera (hipótesis inductiva).

Ahora debemos probar que la fórmula también funciona para $K+1$: $1+2+3+...+K+(K+1) = \frac{K(K+1)}{2} + (K+1) = \frac{K(K+1)+2(K+1)}{2} = \frac{K^2+K+2K+2}{2} = \frac{K^2+3K+2}{2}$

Esto es exactamente $\frac{(K+1)(K+2)}{2}$, que es la fórmula original pero con $n=K+1$. ¡Demostración completada!

Podemos aplicar el mismo proceso para probar otras fórmulas como $2+4+6+...+2n = n(n+1)$ o $1³+2³+3³+...+n³ = \frac{n²(n+1)²}{4}$.

La inducción es como una escalera: confirmamos que podemos subir el primer escalón, y luego demostramos que si podemos subir hasta cualquier escalón, también podemos subir al siguiente.

Inducción para Sumas de Cubos

Vamos a demostrar que $1³+2³+3³+...+n³ = \frac{n²(n+1)²}{4}$ usando inducción matemática.

Primero verificamos el caso base:

• Para $n=1$: $1³ = \frac{1²(1+1)²}{4} = \frac{4}{4} = 1$ ✓
• Para $n=2$: $1³+2³ = 1+8 = 9 = \frac{2²(2+1)²}{4} = \frac{36}{4} = 9$ ✓

Suponemos que la fórmula es válida para $n=K$ (hipótesis inductiva) y queremos probar que también lo es para $n=K+1$.

Para $n=K+1$, debemos demostrar que: $1³+2³+3³+...+K³+(K+1)³ = \frac{(K+1)²(K+2)²}{4}$

🔍 Observación importante: En estos ejercicios, la clave está en manipular algebraicamente la expresión partiendo de la hipótesis inductiva y añadiendo el siguiente término. No tengas miedo de expandir términos para ver cómo se combinan.

Manipulación Algebraica en Inducción

Continuando con la demostración anterior, partimos de la hipótesis inductiva: $1³+2³+3³+...+K³ = \frac{K²(K+1)²}{4}$

Añadimos $(K+1)³$ a ambos lados: $1³+2³+3³+...+K³+(K+1)³ = \frac{K²(K+1)²}{4}+(K+1)³$

Después de manipulación algebraica, obtenemos: $\frac{K²(K+1)²}{4}+(K+1)³ = \frac{K²(K+1)²+4(K+1)³}{4} = \frac{(K+1)²(K²+4K+4)}{4} = \frac{(K+1)²(K+2)²}{4}$

Con esto, completamos la demostración.

También podemos demostrar fórmulas como $2+4+6+...+2n = n(n+1)$. Para $n=k$, asumimos que $2+4+6+...+2k = k(k+1)$ es verdadera. Luego demostramos que para $n=k+1$: $2+4+6+...+2k+2(k+1) = k(k+1)+2(k+1) = k²+k+2k+2 = k²+3k+2 = (k+1)(k+2)$

Esto confirma nuestra fórmula.

Progresiones Geométricas por Inducción

Vamos a demostrar que $3+3²+3³+...+3^n = \frac{3}{2}(3^n-1)$ usando inducción matemática.

Primero verificamos casos particulares:

• Para $n=1$: $3¹ = \frac{3}{2}(3¹-1) = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$ ✓
• Para $n=2$: $3+3² = 3+9 = 12 = \frac{3}{2}(3²-1) = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12$ ✓

Ahora suponemos que la fórmula es válida para $n=K$ (hipótesis inductiva): $3+3²+3³+...+3^K = \frac{3}{2}(3^K-1)$

Para $n=K+1$, debemos demostrar que: $3+3²+3³+...+3^K+3^{K+1} = \frac{3}{2}(3^{K+1}-1)$

💡 Consejo matemático: En progresiones geométricas, la clave está en identificar cómo se relaciona el término $3^{K+1}$ con la suma anterior. Recuerda que cada término es 3 veces el anterior.

Demostraciones con Productos

Ahora vamos a trabajar con una fórmula que involucra productos: $1 \cdot 2 + 2 \cdot 2² + 3 \cdot 2³ + ... + n \cdot 2^n = (n-1)2^{n+1} + 2$

Verificamos los casos base:

• Para $n=1$: $1 \cdot 2 = 2 = (1-1)2^{1+1} + 2 = 0 + 2 = 2$ ✓
• Para $n=2$: $1 \cdot 2 + 2 \cdot 2² = 2 + 8 = 10 = (2-1)2^{2+1} + 2 = 1 \cdot 8 + 2 = 10$ ✓

Asumimos que la fórmula es correcta para $n=K$ (hipótesis inductiva): $1 \cdot 2 + 2 \cdot 2² + 3 \cdot 2³ + ... + K \cdot 2^K = (K-1)2^{K+1} + 2$

Para $n=K+1$, debemos demostrar que: $1 \cdot 2 + 2 \cdot 2² + 3 \cdot 2³ + ... + K \cdot 2^K + (K+1) \cdot 2^{K+1} = K \cdot 2^{K+2} + 2$

Esto requiere manipulación algebraica cuidadosa para mostrar la equivalencia.

Las demostraciones por inducción te permiten confirmar patrones complejos paso a paso, lo que resulta muy útil para entender secuencias matemáticas.

Inducción Matemática Avanzada

Continuando con nuestra demostración anterior, partimos de la hipótesis inductiva: $1 \cdot 2 + 2 \cdot 2² + 3 \cdot 2³ + ... + K \cdot 2^K = (K-1)2^{K+1} + 2$

Añadimos $(K+1) \cdot 2^{K+1}$ a ambos lados y simplificamos: $1 \cdot 2 + 2 \cdot 2² + ... + K \cdot 2^K + (K+1) \cdot 2^{K+1} = (K-1)2^{K+1} + 2 + (K+1) \cdot 2^{K+1}$ $= 2^{K+1}[(K-1) + (K+1)] + 2 = 2^{K+1} \cdot 2K + 2 = K \cdot 2^{K+2} + 2$

¡Esto completa nuestra demostración!

La inducción matemática puede parecer complicada al principio, pero con práctica se vuelve más intuitiva. Recuerda siempre estos pasos:

1. Verifica el caso base
2. Asume la hipótesis inductiva
3. Demuestra para el siguiente caso

🌟 Consejo de estudio: Cuando practicas inducción, intenta no mirar demasiado el procedimiento completo. Intenta resolver por tu cuenta el paso inductivo antes de ver la solución. Pasar al tablero y explicar tu razonamiento también es muy útil.

Divisibilidad mediante Inducción

La inducción también es útil para demostrar propiedades de divisibilidad. Veamos cómo probar que 3 es un factor de $n³ - n + 3$ para todo $n$ natural.

Debemos demostrar que $n³ - n + 3 = 3t$ donde $t$ es un entero positivo.

Casos base:

• Para $n=1$: $1³ - 1 + 3 = 1 - 1 + 3 = 3 = 3 \cdot 1$ ✓
• Para $n=2$: $2³ - 2 + 3 = 8 - 2 + 3 = 9 = 3 \cdot 3$ ✓

Asumimos que $k³ - k + 3 = 3t$ es verdadera para algún $k$ (hipótesis inductiva).

Para $n=k+1$, debemos probar que $(k+1)³ - (k+1) + 3 = 3m$ para algún entero $m$.

Expandiendo: $(k+1)³ - (k+1) + 3 = k³ + 3k² + 3k + 1 - k - 1 + 3 = k³ + 3k² + 2k + 3$

💡 Nota clave: Para demostraciones de divisibilidad, a veces es útil reescribir la hipótesis inductiva despejando algún término, como $k³ = 3t + k - 3$, para sustituirlo en la expresión del paso inductivo.

Técnicas de Demostración

Existen diferentes enfoques para completar demostraciones por inducción. Veamos dos formas para la demostración anterior.

Primera forma: Usando la hipótesis inductiva $k³ - k + 3 = 3t$, podemos añadir $3k² + 2k$ a ambos lados: $k³ + 3k² + 2k + 3 = 3t + 3k² + 2k + 3$ $= 3t + 3k² + 3k - k + 3$ $= 3(t + k² + k) + (-k + 3)$

Como sabemos que $-k + 3$ debe ser múltiplo de 3 por la hipótesis inductiva, podemos demostrar que toda la expresión es múltiplo de 3.

Segunda forma: Despejando $k³$ de la hipótesis inductiva: $k³ = k - 3 + 3t$

Sustituyendo en la expresión para $k+1$: $k³ + 3k² + 2k + 3 = (k - 3 + 3t) + 3k² + 2k + 3$ $= 3t + k + 3k² + 2k$ $= 3t + 3k² + 3k = 3(t + k² + k)$

Ambas formas nos llevan a la misma conclusión: $(k+1)³ - (k+1) + 3$ es divisible por 3.

Estas técnicas son aplicables a muchos problemas de divisibilidad.

Potencias y Divisibilidad

Ahora vamos a demostrar que $5^n - 1$ es divisible por 4 para todo $n$ natural.

Verificamos los casos base:

• Para $n=1$: $5^1 - 1 = 5 - 1 = 4 = 4 \cdot 1$ ✓
• Para $n=2$: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24 = 4 \cdot 6$ ✓

Asumimos que $5^k - 1 = 4t$ para algún entero $t$ (hipótesis inductiva).

Para $n=k+1$, debemos probar que $5^{k+1} - 1 = 4m$ para algún entero $m$.

Manipulamos la hipótesis inductiva: $5^k = 4t + 1$

Multiplicamos por 5: $5 \cdot 5^k = 5(4t + 1) = 20t + 5$

Restamos 1: $5 \cdot 5^k - 1 = 20t + 5 - 1 = 20t + 4 = 4(5t + 1)$

Esto prueba que $5^{k+1} - 1 = 4m$, donde $m = 5t + 1$.

🔍 Observación importante: En problemas de divisibilidad con potencias, la estrategia suele ser despejar la potencia menor de la hipótesis inductiva y luego multiplicar por la base para obtener la potencia siguiente.