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María José Zapata Muñoz
18/12/2025
Matemáticas
Matemáticas grado 10 y 11 - Trigonometría
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18 de dic de 2025
•
María José Zapata Muñoz
@araosapatauoz_mnpxa3
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia... Mostrar más
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90° (ángulo recto). Los otros dos ángulos son siempre menores a 90°, pues la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180°.
En estos triángulos aplicamos el Teorema de Pitágoras: , donde es la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y y son los catetos. También utilizamos las razones trigonométricas:
💡 Puedes encontrar un ángulo utilizando las funciones inversas: , o
Para resolver problemas completos, calcula los valores faltantes usando estas fórmulas. Por ejemplo, si conoces los catetos y , puedes hallar la hipotenusa y el ángulo .
Un ángulo es el conjunto de puntos sobre dos rayos o segmentos que comparten un punto común llamado vértice. Los rayos se denominan lados del ángulo y puede medirse en grados o radianes.
Los ángulos se ubican en el plano cartesiano y pueden estar en cualquiera de los cuatro cuadrantes. Su medida puede variar de 0° a 360°.
La medida en radianes se define como , donde es la longitud del arco que subtiende el ángulo y es el radio del círculo. Un radián es el ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio.
🔍 Cuando el arco es igual al radio $S = r$, el ángulo mide exactamente 1 radián. Esta es la unidad natural para medir ángulos en matemáticas avanzadas.
Por ejemplo, si un arco de 24 m se forma en una circunferencia con radio de 6 m, el ángulo en radianes será radianes.
Para convertir entre estas unidades de medida angular usamos las siguientes fórmulas:
Por ejemplo, 270° equivalen a radianes, y 10π radianes son 1800°.
En problemas prácticos como en poleas de transmisión, podemos calcular cuánto gira una respecto a otra. Si una polea de radio 5 cm gira 10 radianes, una polea conectada de radio 2 cm girará 25 radianes.
💡 Para calcular la longitud de arco de un círculo usamos la fórmula , donde es el radio y es el ángulo en radianes.
Cuando trabajamos con ángulos y arcos, recuerda que primero debes convertir el ángulo a radianes si está en grados. Por ejemplo, un arco que subtiende un ángulo central de 30° en un círculo de radio 10 m tiene una longitud de metros.
La trigonometría nos permite resolver problemas prácticos como calcular alturas inaccesibles o distancias. Veamos algunas aplicaciones:
En un triángulo con lados conocidos, podemos calcular las seis razones trigonométricas respecto a cualquier ángulo. Por ejemplo, en un triángulo con hipotenusa 4 y catetos 3 y , las razones respecto al ángulo serían:
Para problemas de altura como el de un árbol que proyecta una sombra, usamos la tangente. Si un pino proyecta una sombra de 150 m y el ángulo de elevación del sol es 30°, podemos calcular su altura:
🌲 En problemas de sombras, la altura del objeto está relacionada con la longitud de la sombra mediante la tangente del ángulo de elevación del sol.
m
La trigonometría te permite resolver problemas de medición indirecta, cuando no puedes medir directamente distancias o ángulos en situaciones reales.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y lados de los triángulos. En este resumen aprenderás los conceptos básicos de la trigonometría de triángulos rectángulos, la medición de ángulos y cómo resolver... Mostrar más
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Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90° (ángulo recto). Los otros dos ángulos son siempre menores a 90°, pues la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180°.
En estos triángulos aplicamos el Teorema de Pitágoras: , donde es la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y y son los catetos. También utilizamos las razones trigonométricas:
💡 Puedes encontrar un ángulo utilizando las funciones inversas: , o
Para resolver problemas completos, calcula los valores faltantes usando estas fórmulas. Por ejemplo, si conoces los catetos y , puedes hallar la hipotenusa y el ángulo .
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Un ángulo es el conjunto de puntos sobre dos rayos o segmentos que comparten un punto común llamado vértice. Los rayos se denominan lados del ángulo y puede medirse en grados o radianes.
Los ángulos se ubican en el plano cartesiano y pueden estar en cualquiera de los cuatro cuadrantes. Su medida puede variar de 0° a 360°.
La medida en radianes se define como , donde es la longitud del arco que subtiende el ángulo y es el radio del círculo. Un radián es el ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio.
🔍 Cuando el arco es igual al radio $S = r$, el ángulo mide exactamente 1 radián. Esta es la unidad natural para medir ángulos en matemáticas avanzadas.
Por ejemplo, si un arco de 24 m se forma en una circunferencia con radio de 6 m, el ángulo en radianes será radianes.
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Para convertir entre estas unidades de medida angular usamos las siguientes fórmulas:
Por ejemplo, 270° equivalen a radianes, y 10π radianes son 1800°.
En problemas prácticos como en poleas de transmisión, podemos calcular cuánto gira una respecto a otra. Si una polea de radio 5 cm gira 10 radianes, una polea conectada de radio 2 cm girará 25 radianes.
💡 Para calcular la longitud de arco de un círculo usamos la fórmula , donde es el radio y es el ángulo en radianes.
Cuando trabajamos con ángulos y arcos, recuerda que primero debes convertir el ángulo a radianes si está en grados. Por ejemplo, un arco que subtiende un ángulo central de 30° en un círculo de radio 10 m tiene una longitud de metros.
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La trigonometría nos permite resolver problemas prácticos como calcular alturas inaccesibles o distancias. Veamos algunas aplicaciones:
En un triángulo con lados conocidos, podemos calcular las seis razones trigonométricas respecto a cualquier ángulo. Por ejemplo, en un triángulo con hipotenusa 4 y catetos 3 y , las razones respecto al ángulo serían:
Para problemas de altura como el de un árbol que proyecta una sombra, usamos la tangente. Si un pino proyecta una sombra de 150 m y el ángulo de elevación del sol es 30°, podemos calcular su altura:
🌲 En problemas de sombras, la altura del objeto está relacionada con la longitud de la sombra mediante la tangente del ángulo de elevación del sol.
m
La trigonometría te permite resolver problemas de medición indirecta, cuando no puedes medir directamente distancias o ángulos en situaciones reales.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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