Colisiones y Conservación de Energía

Las colisiones son interacciones donde dos o más objetos ejercen fuerzas entre sí durante un corto tiempo. Existen diferentes tipos de colisiones dependiendo de si se conserva la energía mecánica:

En una colisión completamente elástica, la energía mecánica se conserva totalmente:

• E_m1 = E_m2
• E_C1 = E_C2

Para todas las colisiones, sin importar el tipo, siempre se conserva la cantidad de movimiento:

• m_Av_A + m_Bv_B = m_Av_A2 + m_Bv_B2

El coeficiente de restitución (e) indica qué tan elástica es una colisión:

• e = 1: colisión perfectamente elástica
• e = 0: colisión perfectamente inelástica (los objetos quedan unidos)
• 0 < e < 1: colisión imperfectamente elástica/inelástica

⚠️ ¡Recuerda! La fórmula para el coeficiente de restitución es e = -(v_B2 - v_A2)/(v_B1 - v_A1), que relaciona la velocidad relativa después del choque con la velocidad relativa antes del choque.

En una colisión perfectamente inelástica, los objetos permanecen unidos después del impacto y tienen la misma velocidad final.

Impulso y Cantidad de Movimiento

El estudio de colisiones se simplifica usando los conceptos de impulso y cantidad de movimiento. Estos conceptos surgen de las leyes de Newton y nos permiten analizar interacciones complejas.

Cuando una fuerza F actúa sobre una partícula durante un tiempo, tenemos:

• Impulso: I = ∑F∆t
• Cantidad de movimiento: P = mv

La relación fundamental entre ambos es:

• I = ∆P

Esto significa que el impulso que experimenta un cuerpo es igual al cambio en su cantidad de movimiento. Matemáticamente:

∑F∆t = m$v - v₀$

Esta relación es especialmente útil cuando las fuerzas varían de forma compleja, como en colisiones, atracciones o repulsiones entre partículas.

💡 Concepto clave: El impulso es una magnitud vectorial que representa el efecto acumulado de una fuerza aplicada durante un intervalo de tiempo. Cuando es difícil calcular fuerzas variables, el impulso nos permite determinar directamente el cambio en la cantidad de movimiento.

Las leyes de conservación de la cantidad de movimiento son particularmente útiles para estudiar sistemas de partículas, como en colisiones, donde las fuerzas internas son complejas.

Conservación de la Cantidad de Movimiento

Cuando tenemos un sistema aislado (solo consideramos las fuerzas entre las partículas), la cantidad de movimiento total se conserva. Este principio surge directamente de la tercera ley de Newton.

Para dos cuerpos que interactúan con masas m_A y m_B, y velocidades iniciales v_A0 y v_B0, después de la interacción sus velocidades serán v_A y v_B, cumpliéndose:

m_Av_A + m_Bv_B = m_Av_A0 + m_Bv_B0

Esto significa que la cantidad de movimiento final es igual a la inicial.

Ejemplo: Un fusil de 4,5 kg dispara una bala de 20 g a 200 m/s. Para hallar la velocidad de retroceso del fusil, aplicamos conservación de cantidad de movimiento:

• Antes del disparo, todo está en reposo: P = 0
• Después del disparo: (0,02 kg)$200 m/s$ + (4,5 kg)(v_fusil) = 0
• Despejando: v_fusil = -0,8 m/s

🚀 Aplicación práctica: La propulsión de cohetes funciona por este principio. Cuando un cohete expulsa gases a gran velocidad en una dirección, recibe un impulso en dirección opuesta. Esto es un ejemplo perfecto de la conservación de cantidad de movimiento.

Este principio de conservación es fundamental para analizar cualquier tipo de colisión o interacción entre objetos.

Análisis Unidimensional de Colisiones

En las colisiones unidimensionales, todo el movimiento ocurre a lo largo de una línea. Podemos identificar varias etapas durante una colisión:

1. Antes: Los objetos tienen velocidades v_A y v_B
2. Durante - Deformación: Se producen impulsos de deformación iguales y opuestos
3. Durante - Máxima deformación: Ambos cuerpos tienen la misma velocidad v
4. Durante - Restitución: Se producen impulsos de restitución
5. Después: Los cuerpos salen con velocidades finales diferentes

El coeficiente de restitución (e) relaciona los impulsos de restitución y deformación:

e = I_R/I_D

Analizando las velocidades relativas, podemos expresarlo como:

e = -(v_B2 - v_A2)/(v_B1 - v_A1)

Donde:

• v_B2 - v_A2 es la velocidad relativa después de la colisión
• v_B1 - v_A1 es la velocidad relativa antes de la colisión

⚡ Para resolver problemas de colisiones: Combina la ecuación del coeficiente de restitución con la de conservación de cantidad de movimiento. Esto te dará un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (las velocidades finales).

Los valores del coeficiente de restitución determinan el tipo de colisión: e=1 (perfectamente elástica), e=0 (perfectamente inelástica), 0<e<1 (parcialmente elástica).

Solución de Problemas de Colisiones

Para resolver problemas de colisiones, necesitamos usar simultáneamente la conservación de cantidad de movimiento y la ecuación del coeficiente de restitución.

Veamos un ejemplo: una bola A de 2 kg con velocidad 2 m/s choca con una bola B de 5 kg con velocidad 3 m/s. Si la colisión es completamente elástica $e=1$, debemos hallar las velocidades finales:

1. Conservación de cantidad de movimiento:

   • 2(2) + 5(-3) = 2v_A2 + 5v_B2
   • -11 = 2v_A2 + 5v_B2

2. Conservación de energía (colisión elástica):

   • ½(2)(2)² + ½(5)(3)² = ½(2)v_A2² + ½(5)v_B2²
   • 26,5 = v_A2² + 2,5v_B2²

Resolviendo este sistema de ecuaciones:

• v_A2 = -5,14 m/s
• v_B2 = -0,14 m/s

🔍 Consejo práctico: En colisiones donde las masas son iguales (m_A = m_B), las soluciones son más simples. Por ejemplo, en un choque frontal elástico con masas iguales, los objetos intercambian velocidades.

Para verificar tus resultados, siempre comprueba que se cumplan tanto la conservación de cantidad de movimiento como la de energía (si la colisión es elástica).

Tipos Especiales de Colisiones

Existen casos particulares de colisiones que tienen soluciones más directas:

Cuando las masas son iguales (m_A = m_B):

• En colisiones elásticas, los objetos intercambian sus velocidades
• Si un objeto está inicialmente en reposo, después del choque se detiene y transfiere toda su velocidad al otro

Colisiones perfectamente inelásticas $e=0$:

• Los objetos quedan unidos después del choque
• La velocidad final común se calcula con: v = (m_Av_A + m_Bv_B)/(m_A + m_B)

Para analizar colisiones imperfectamente inelásticas (0<e<1), utilizamos:

1. La ecuación de conservación de cantidad de movimiento
2. La relación del coeficiente de restitución: e = -(v_B2 - v_A2)/(v_B1 - v_A1)

🧩 Estrategia de solución: Para cualquier problema de colisiones, primero identifica el tipo de colisión (elástica, inelástica o parcialmente elástica), luego plantea las ecuaciones correspondientes y resuelve el sistema.

Por ejemplo, si e=0.8 (colisión parcialmente elástica), debemos usar la conservación de cantidad de movimiento junto con la ecuación del coeficiente de restitución para obtener un sistema de ecuaciones que nos permita encontrar las velocidades finales.

Colisiones Bidimensionales

Las colisiones en dos dimensiones son más complejas pero se resuelven aplicando los mismos principios a lo largo de ejes adecuados.

En una colisión oblicua, lo más conveniente es establecer:

• Un eje x a lo largo de la línea de impacto (línea que conecta los centros de los objetos)
• Un eje y perpendicular a esta línea, a lo largo del plano de contacto

Para resolver estos problemas:

1. Descompón las velocidades iniciales en componentes x y y

2. Aplica conservación de cantidad de movimiento en la dirección x:

   • m_A(v_Ax)₁ + m_B(v_Bx)₁ = m_A(v_Ax)₂ + m_B(v_Bx)₂

3. Aplica el coeficiente de restitución en la dirección x:

   • e = [(v_Bx)₂ - (v_Ax)₂]/[(v_Ax)₁ - (v_Bx)₁]

4. Conserva la cantidad de movimiento en la dirección y (no hay impulso externo):

   • m_A(v_Ay)₁ = m_A(v_Ay)₂
   • m_B(v_By)₁ = m_B(v_By)₂

🎯 Punto clave: En el plano de contacto (dirección y), la cantidad de movimiento de cada objeto se conserva individualmente porque no hay impulsos en esta dirección (si los objetos son lisos).

Resolviendo estas ecuaciones, obtendrás los componentes de las velocidades finales en ambas direcciones.

Análisis Avanzado de Colisiones

El análisis de colisiones en dos dimensiones requiere un trabajo matemático más detallado. Después de resolver el sistema de ecuaciones, podemos calcular las velocidades resultantes.

Para una colisión oblicua con un coeficiente de restitución e = 0.8, necesitamos:

1. Plantear las ecuaciones para la conservación de cantidad de movimiento en la línea de impacto y aplicar el coeficiente de restitución.

2. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las componentes de velocidad en la línea de impacto (x) y el plano de contacto (y).

3. Calcular las velocidades finales resultantes usando el teorema de Pitágoras:

   • V_A2 = √[(v_A2x)² + (v_A2y)²]
   • V_B2 = √[(v_B2x)² + (v_B2y)²]

En el ejemplo analizado, las velocidades finales resultantes son:

• V_A2 = 10,75 m/s
• V_B2 = 13,43 m/s

🔄 Técnica de verificación: Siempre comprueba que tus resultados satisfagan tanto la conservación de cantidad de movimiento como la relación del coeficiente de restitución. Esto te ayudará a detectar posibles errores en tus cálculos.

Las colisiones bidimensionales son importantes en muchas aplicaciones, desde el billar hasta la mecánica celeste.

Impulso y Problemas Prácticos

El concepto de impulso es muy útil para resolver problemas donde las fuerzas varían con el tiempo.

Ejemplo: Un automóvil de 15.000 kg arranca desde reposo bajo una fuerza de tracción variable. Para calcular su rapidez a los 6 segundos:

1. Calculamos el impulso como el área bajo la curva de fuerza-tiempo:

   • I = $(6+4)/2$ × 6000 = 30.000 N·s

2. Aplicamos la relación entre impulso y cambio de cantidad de movimiento:

   • I = Δp = m$v - v₀$
   • 30.000 = 15.000$v - 0$
   • v = 2 m/s

Por tanto, la rapidez cuando t = 6s es de 2 m/s.

🚗 Aplicación real: El concepto de impulso es fundamental en el diseño de sistemas de seguridad como airbags, que aumentan el tiempo de frenado para reducir la fuerza de impacto.

La mecánica de fluidos estudia cómo se comportan los líquidos y gases. Un fluido es un conjunto de partículas unidas por fuerzas cohesivas débiles que adoptan la forma de su recipiente.

Naturaleza Vectorial del Impulso y la Cantidad de Movimiento

Es importante recordar que tanto el impulso como la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales, lo que significa que tienen dirección y sentido.

Cuando analizamos el movimiento en diferentes direcciones, debemos descomponer los vectores en sus componentes:

I = Δp

Para cada componente:

• I_x = Δp_x
• I_y = Δp_y

Ejemplo: Una piedra de 100 kg inicialmente en reposo recibe una fuerza de 200 N a 45° durante 10 segundos.

Para calcular la velocidad final en x:

• I_x = Δp_x
• 200cos(45°)(10s) = 100(v_x - 0)
• v_x = 10√2/2 = 10 m/s

Para la fuerza normal:

• En y: 0 + $N + 200sen45° - 100g$10s = 0
• N + 200sen45° - 1000 = 0
• N = 858 N

⚖️ Concepto fundamental: En problemas bidimensionales, cada componente debe tratarse por separado, pero siempre recordando que están relacionados por el mismo evento físico.

Los problemas vectoriales requieren mayor cuidado con los signos y las direcciones, pero los principios físicos son los mismos.