Probabilidad y Diagrama de Árbol

El espacio muestral es el conjunto de todas las posibilidades que pueden ocurrir en un experimento. Por ejemplo, al lanzar dos dados, tenemos 36 posibles resultados $1-1, 1-2, 1-3... hasta 6-6$.

El diagrama de árbol es una herramienta visual super útil para calcular probabilidades. Te permite ver todas las posibles rutas de un experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda varias veces, cada rama representa una posibilidad (cara o sello) y las probabilidades se multiplican a lo largo de cada ruta.

Para encontrar probabilidades totales, simplemente sumamos las probabilidades individuales de cada resultado que nos interesa. Por ejemplo, la probabilidad de obtener al menos una cara en dos lanzamientos es 75% (0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75).

💡 Consejo práctico: Cuando trabajes con diagramas de árbol, siempre verifica que la suma de todas las probabilidades finales sea igual a 1 (o 100%). ¡Es una excelente forma de comprobar tus cálculos!

Combinatorias

La combinatoria es una rama de las matemáticas que nos ayuda a contar diferentes formas de agrupar elementos. ¡Es super útil para resolver problemas de la vida real!

Hay diferentes tipos de problemas en combinatoria según dos factores clave:

• ¿Importa el orden de los elementos? (Por ejemplo, elegir presidente y secretario)
• ¿Se pueden repetir los elementos? (Por ejemplo, escoger sabores de helado)

Para resolver estos problemas, necesitamos identificar correctamente: la población total (m), el tamaño de la muestra (r), si importa el orden y si se permiten repeticiones. Por ejemplo, en una clase de 30 estudiantes, ¿de cuántas formas podemos elegir presidente y secretario? Aquí importa el orden (ser presidente no es lo mismo que ser secretario) y no se puede repetir la persona.

🔍 Para recordar: Antes de aplicar cualquier fórmula de combinatoria, identifica siempre si importa el orden y si hay repetición. Estos dos factores te dirán exactamente qué técnica usar.

Variaciones

Las variaciones sin repetición son subconjuntos ordenados donde cada elemento se puede usar solo una vez. La fórmula para calcular estas variaciones es:

$V_m^r = \frac{m!}{(m-r)!}$

Por ejemplo, con los elementos {a, b, c}, las variaciones tomando 2 elementos serían: ab, ac, ba, bc, ca, cb (6 en total). El orden importa, por eso ab es diferente de ba.

Las variaciones con repetición son similares, pero permiten usar el mismo elemento más de una vez. Su fórmula es más sencilla:

$VR_m^r = m^r$

Con los mismos elementos {a, b, c}, podemos formar: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc (9 en total). Aquí puedes repetir elementos, por eso aparecen combinaciones como "aa".

🧩 Consejo: Dibuja un pequeño diagrama de árbol para visualizar las primeras variaciones en problemas pequeños. Te ayudará a entender mejor el concepto antes de aplicar las fórmulas.

Combinaciones

Las combinaciones sin repetición son subconjuntos donde el orden NO importa y cada elemento se usa solo una vez. La fórmula es:

$C_r^n = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Por ejemplo, con {a,b,c} tomando 2 elementos, las combinaciones serían solo: ab, ac, bc (3 en total). Aquí ab y ba se consideran iguales.

Las combinaciones con repetición son similares pero permiten repetir elementos. Su fórmula es:

$CR_r^n = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$

¡El factorial (n!) es súper importante para estos cálculos! Recuerda que $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$. Por ejemplo, $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

🔢 Truco matemático: Si te confundes entre combinaciones y variaciones, recuerda: en las combinaciones el orden NO importa (como un equipo donde todos son iguales), mientras que en las variaciones SÍ importa (como asignar diferentes cargos).

Proporcionalidad

La proporcionalidad ocurre cuando dos magnitudes mantienen una relación constante entre sí. Hay dos tipos principales:

La proporcionalidad directa significa que cuando una variable aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción. Por ejemplo, al preparar arroz: si usamos 2 tazas de agua por cada taza de arroz, para 3 tazas de arroz necesitaríamos 6 tazas de agua. A más arroz, más agua, siempre en la misma proporción.

La proporcionalidad inversa ocurre cuando al aumentar una variable, la otra disminuye. Por ejemplo, la relación entre velocidad y tiempo para recorrer una distancia fija: si aumentas la velocidad, disminuye el tiempo que tardas en llegar.

Estos conceptos son súper útiles en la vida cotidiana, desde cocinar hasta calcular costos o planificar tiempos.

🔄 Aplicación práctica: La próxima vez que cocines, piensa en las proporciones. Si una receta para 4 personas lleva 2 huevos, ¿cuántos necesitarás para 6 personas? ¡Es proporcionalidad directa en acción!

Ejemplos de Proporcionalidad

Proporcionalidad directa en acción:

1. El costo de hospedaje: Si una noche cuesta 50.000 pesos, 5 noches costarán 250.000 pesos. La relación es constante: cada noche adicional suma 50.000 pesos.

2. Receta de galletas: Para 10 galletas necesitas 20g de harina, entonces para 50 galletas necesitarías 100g. A más galletas, más harina en la misma proporción.

Proporcionalidad inversa en ejemplos:

1. Obreros y tiempo de construcción: Si 5 obreros terminan una obra en 5 semanas, 10 obreros la terminarían en 2.5 semanas. Al duplicar los trabajadores, el tiempo se reduce a la mitad.

2. Consumo de comida: Si un bulto de comida dura 10 días para 20 perros, para 5 perros duraría 40 días. A menos perros, más días dura la comida.

💼 Aplicación real: La proporcionalidad aparece constantemente en situaciones cotidianas: al dividir cuentas entre amigos, calcular descuentos en compras, o planificar viajes. Reconocerla te ayudará a resolver problemas prácticos más rápido.

Razón y Proporción

Una razón es la comparación de dos cantidades mediante división, mientras que una proporción establece la igualdad entre dos razones. Estos conceptos son fundamentales para resolver problemas prácticos.

Veamos un ejemplo: en una bolsa hay 3 balotas amarillas y 7 rojas, estableciendo una razón de 3:7. Si en total hay 150 balotas, ¿cuántas hay de cada color?

Para resolverlo, planteamos que la razón se mantiene constante:

• Rojas: 7 → x = 105
• Amarillas: 3 → x = 45
• Total: 10 → 150

Comprobamos: $7x + 3x = 150$, entonces $10x = 150$ y $x = 15$ Por lo tanto: $15 × 7 = 105$ balotas rojas y $15 × 3 = 45$ balotas amarillas.

🧮 Estrategia de solución: Cuando trabajes con proporciones, identifica primero la razón original (en este caso 3:7) y luego establece una variable que al multiplicarse por cada término de la razón te dé el total buscado.

Regla de Tres Compuesta

La regla de tres compuesta nos permite resolver problemas con más de dos magnitudes relacionadas. Podemos encontrar tres tipos principales:

1. Proporcionalidad directa-directa: Cuando ambas magnitudes son directamente proporcionales a la incógnita.

Ejemplo: 5 botellas de 2 litros pesan 10 kilos. ¿Cuánto pesarán 2 botellas de 3 litros?

• A más botellas, más peso (directa)
• A más litros, más peso (directa)

Planteamos: $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{x}$

Resolviendo: $\frac{10}{6} = \frac{10}{x}$, entonces $10x = 60$ y $x = 6$ kilos

📊 Consejo práctico: Para identificar si una relación es directa, pregúntate: ¿al aumentar esta variable, aumenta el resultado? Si es así, la relación es directamente proporcional.

Regla de Tres Compuesta (Directa-Inversa)

La proporcionalidad directa-inversa combina ambos tipos de relaciones:

Ejemplo: En 4 días, 6 impresoras han impreso 100 libros. ¿Cuántos días tardarán 4 impresoras en imprimir 50 libros?

Analizamos las relaciones:

• Días y libros: directa (a más días, más libros)
• Impresoras y días: inversa (a más impresoras, menos días)

Planteamos la ecuación: $\frac{4}{x} = \frac{4}{6} \cdot \frac{100}{50}$

Simplificando: $\frac{4}{x} = \frac{400}{300}$, entonces $4 \cdot 300 = 400x$

Resolviendo: $1200 = 400x$, por lo tanto $x = 3$ días

Este tipo de problemas requiere identificar correctamente qué magnitudes son directa o inversamente proporcionales antes de plantear las ecuaciones.

🔄 Truco de verificación: Si al aumentar una magnitud el resultado también aumenta, la relación es directa. Si al aumentar una magnitud el resultado disminuye, la relación es inversa.

Regla de Tres Compuesta (Inversa-Inversa)

La proporcionalidad inversa-inversa ocurre cuando ambas magnitudes tienen relación inversa con el resultado.

Ejemplo: 4 obreros trabajando 7 horas diarias construyen un muro en 3 días. ¿Cuántos días tardarían 2 obreros trabajando 6 horas diarias?

Analizamos las relaciones:

• Obreros y días: inversa (menos obreros, más días)
• Horas y días: inversa (menos horas, más días)

Planteamos: $\frac{2}{4} \cdot \frac{6}{7} = \frac{3}{x}$

Simplificando: $\frac{12}{28} = \frac{3}{x}$, entonces $12x = 28 \cdot 3 = 84$

Resolviendo: $x = \frac{84}{12} = 7$ días

Este tipo de problemas es común en situaciones de productividad, donde varias variables afectan al tiempo necesario para completar una tarea.

⏱️ Aplicación real: Este tipo de cálculo es muy útil para planificar proyectos. Si conoces cuánto tardas normalmente en hacer algo, puedes estimar fácilmente cómo cambiará el tiempo si modificas los recursos (personas, horas, etc.).