Factorial y tipos de selecciones

El factorial de un número es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a ese número. Por ejemplo:

• 5! = 5×4×3×2×1 = 120
• 4! = 4×3×2×1 = 24
• 0! = 1 (caso especial)

Al seleccionar elementos, existen dos situaciones importantes:

1. Combinaciones: Cuando el orden de los elementos NO importa. Por ejemplo, elegir helados de fresa, vainilla y mora es lo mismo que elegir mora, vainilla y fresa.

La fórmula para calcular combinaciones es: $C_r^n = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

💡 Consejo: Cuando te pregunten "de cuántas formas diferentes" puedes seleccionar elementos y el orden no importa, ¡usa combinaciones!

Ejemplo de combinaciones

¿De cuántas maneras podemos pedir un cono de tres sabores diferentes en una heladería que ofrece 9 sabores?

Para resolver este problema usamos la fórmula de combinaciones: $C_r^n = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Donde n = 9 (total de sabores disponibles) y r = 3 (sabores que elegiremos):

$C_3^9 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!}$

Simplificando: $C_3^9 = \frac{7×8×9}{1×2×3} = 84$

Por lo tanto, existen 84 formas diferentes de elegir tres sabores para nuestro cono de helado.

Permutaciones

Las permutaciones se utilizan cuando el orden de los elementos SÍ importa. Por ejemplo, el número 123 es diferente al número 321.

La fórmula para calcular permutaciones es: $P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!}$

Ejemplo: ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos del 1 al 9?

Aplicando la fórmula: $P_3^9 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9×8×7 = 504$

🔍 Nota importante: La diferencia clave entre permutaciones y combinaciones es que en las permutaciones importa el orden, mientras que en las combinaciones no.

Cálculo de probabilidad

La probabilidad se calcula dividiendo el número de eventos favorables entre el número total de eventos posibles:

$P = \frac{\text{Número de eventos favorables}}{\text{Número total de eventos posibles}}$

Ejemplo: ¿Al lanzar un dado, cuál es la probabilidad de que el número sea menor que 3?

• Eventos favorables: 2 casos (los números 1 y 2)
• Eventos posibles: 6 casos (las seis caras del dado)

$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = 0,33 = 33$

Esto significa que de cada 3 lanzamientos, aproximadamente 1 resultará en un número menor que 3.

💪 Puedes hacerlo!: Para resolver problemas de probabilidad, primero identifica claramente qué se considera un resultado "favorable" y luego cuenta todos los resultados posibles.