Asignaturas
322
•
28 de nov de 2025
•
Nicole Saenz
@icoleaenz_q49vqy0rs9
¡Vamos a sumergirnos en el mundo de los sistemas de... Mostrar más
Los sistemas de ecuaciones lineales son conjuntos de ecuaciones que debemos resolver simultáneamente. Comencemos con sistemas de dos variables (x, y), como en la ecuación 2x + 3y = 6.
En un sistema 2x2 tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:
{
x + 3y = 7
2x - y = 0
}
Estos sistemas pueden tener:
Para sistemas 3x3 trabajamos con tres variables (x, y, z) que representan planos en el espacio:
{
ax + by + cz = m
dx + ey + fz = n
gx + hy + iz = p
}
💡 El método de eliminación de Gauss es una técnica poderosa para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. Consiste en transformar el sistema en uno equivalente más sencillo mediante operaciones entre filas.
Para resolver un sistema usando Gauss, creamos una matriz aumentada y la transformamos mediante operaciones elementales hasta obtener una forma escalonada. Por ejemplo, para el sistema:
{
x - y + z = 2
2x + 3y + 5z = 11
x - 5y + 6z = 29
}
Podemos llegar a la solución (x, y, z) = (1, 1, 3) mediante operaciones entre filas.
Para resolver sistemas de ecuaciones, el método de Gauss nos permite determinar si el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Sistema con solución única
{
x + 2y = 0
3x + y = -5
}
Al aplicar el método de Gauss, transformamos el sistema en:
{
x + 2y = 0
y = 1
}
Sustituyendo: x + 2(1) = 0, obtenemos x = -2. La solución única es (-2, 1).
Ejemplo 2: Sistema con infinitas soluciones
{
3x - 2y = 1
6x - 4y = 2
}
Al aplicar Gauss, llegamos a:
{
x - 2/3y = 1/3
0 = 0
}
🔑 Una fila de ceros en la matriz aumentada (excepto en la última columna) indica que tenemos infinitas soluciones, pues una variable queda en función de otra.
En este caso, x = 1/3 + 2/3y, lo que nos da infinitas soluciones de la forma .
Ejemplo 3: Sistema sin solución
{
x - 2y = 0
-2x + 4y = 2
}
Al aplicar Gauss, obtenemos:
{
x - 2y = 0
0 = 2
}
La ecuación 0 = 2 es falsa, lo que indica una inconsistencia. Por tanto, este sistema no tiene solución.
Los sistemas con tres variables son más complejos, pero el método de Gauss sigue siendo eficaz. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 5: Sistema con solución única
{
2x + 12y - 2z = 2
x + y - 2z = 0
-3x - 2y + z = -1
}
Al aplicar Gauss, llegamos a:
{
x + y - 2z = 0
y - 5z = 1
z = 1
}
Resolviendo por sustitución:
La solución es (-4, 6, 1).
Ejemplo 6: Sistema sin solución
{
x + y - z = 1
2x - y + z = 2
-3x + 3y - 3z = 3
}
Al aplicar Gauss, llegamos a:
{
x + y - z = 1
y - z = 0
0 = 1
}
💡 Cuando encuentras una contradicción como 0 = 1, significa que el sistema es inconsistente y no tiene solución.
Ejemplo 7: Sistema con solución única
{
2x + y - z = 1
x - y = 2
7x + 3y - 3z = 0
}
Al resolver, obtenemos (x, y, z) = (-3, -5, -12).
Ejemplo 8: Sistema con infinitas soluciones
{
2x - 2y + 3z = 1
-x + y + z = 2
3x - 3y + 4z = 1
}
La solución tiene la forma (x, y, z) = , donde y puede tomar cualquier valor.
Las matrices son arreglos rectangulares de números organizados en filas y columnas. Son herramientas fundamentales en álgebra lineal y en la resolución de sistemas.
Existen varios tipos de matrices:
1. Matriz cuadrada: Tiene igual número de filas y columnas.
[a₁₁ a₁₂ a₁₃]
[a₂₁ a₂₂ a₂₃]
[a₃₁ a₃₂ a₃₃]
La diagonal principal va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha.
2. Matriz transpuesta: Se obtiene intercambiando filas por columnas.
A = [1 2] Aᵗ = [1 0 5]
[0 4] [2 4 -2]
[5 -2]
3. Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada igual a su transpuesta .
A = [1 6] Aᵗ = [1 6]
[6 4] [6 4]
💡 Las matrices simétricas tienen aplicaciones importantes en física, estadística y optimización, ya que representan formas cuadráticas y transformaciones lineales especiales.
4. Matriz diagonal: Todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros.
[2 0 0]
[0 1 0]
[0 0 0]
5. Matriz identidad: Es una matriz diagonal con unos en la diagonal principal.
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
6. Matriz triangular superior: Todos los elementos debajo de la diagonal principal son ceros.
[1 6 -2 4]
[0 2 3 -1]
[0 0 5 0]
[0 0 0 4]
7. Matriz nula: Todos sus elementos son ceros.
[0 0]
[0 0]
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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Nicole Saenz
@icoleaenz_q49vqy0rs9
¡Vamos a sumergirnos en el mundo de los sistemas de ecuaciones lineales y matrices! Este tema es fundamental en álgebra y tiene aplicaciones prácticas en muchas áreas. Aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones con diferentes métodos y a trabajar con... Mostrar más
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Los sistemas de ecuaciones lineales son conjuntos de ecuaciones que debemos resolver simultáneamente. Comencemos con sistemas de dos variables (x, y), como en la ecuación 2x + 3y = 6.
En un sistema 2x2 tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:
Otros
Biologia
Religión
Inglés
Química{
x + 3y = 7
2x - y = 0
}
Estos sistemas pueden tener:
Para sistemas 3x3 trabajamos con tres variables (x, y, z) que representan planos en el espacio:
{
ax + by + cz = m
dx + ey + fz = n
gx + hy + iz = p
}
💡 El método de eliminación de Gauss es una técnica poderosa para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. Consiste en transformar el sistema en uno equivalente más sencillo mediante operaciones entre filas.
Para resolver un sistema usando Gauss, creamos una matriz aumentada y la transformamos mediante operaciones elementales hasta obtener una forma escalonada. Por ejemplo, para el sistema:
{
x - y + z = 2
2x + 3y + 5z = 11
x - 5y + 6z = 29
}
Podemos llegar a la solución (x, y, z) = (1, 1, 3) mediante operaciones entre filas.
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Para resolver sistemas de ecuaciones, el método de Gauss nos permite determinar si el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Sistema con solución única
{
x + 2y = 0
3x + y = -5
}
Al aplicar el método de Gauss, transformamos el sistema en:
{
x + 2y = 0
y = 1
}
Sustituyendo: x + 2(1) = 0, obtenemos x = -2. La solución única es (-2, 1).
Ejemplo 2: Sistema con infinitas soluciones
{
3x - 2y = 1
6x - 4y = 2
}
Al aplicar Gauss, llegamos a:
{
x - 2/3y = 1/3
0 = 0
}
🔑 Una fila de ceros en la matriz aumentada (excepto en la última columna) indica que tenemos infinitas soluciones, pues una variable queda en función de otra.
En este caso, x = 1/3 + 2/3y, lo que nos da infinitas soluciones de la forma .
Ejemplo 3: Sistema sin solución
{
x - 2y = 0
-2x + 4y = 2
}
Al aplicar Gauss, obtenemos:
{
x - 2y = 0
0 = 2
}
La ecuación 0 = 2 es falsa, lo que indica una inconsistencia. Por tanto, este sistema no tiene solución.
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Los sistemas con tres variables son más complejos, pero el método de Gauss sigue siendo eficaz. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 5: Sistema con solución única
{
2x + 12y - 2z = 2
x + y - 2z = 0
-3x - 2y + z = -1
}
Al aplicar Gauss, llegamos a:
{
x + y - 2z = 0
y - 5z = 1
z = 1
}
Resolviendo por sustitución:
La solución es (-4, 6, 1).
Ejemplo 6: Sistema sin solución
{
x + y - z = 1
2x - y + z = 2
-3x + 3y - 3z = 3
}
Al aplicar Gauss, llegamos a:
{
x + y - z = 1
y - z = 0
0 = 1
}
💡 Cuando encuentras una contradicción como 0 = 1, significa que el sistema es inconsistente y no tiene solución.
Ejemplo 7: Sistema con solución única
{
2x + y - z = 1
x - y = 2
7x + 3y - 3z = 0
}
Al resolver, obtenemos (x, y, z) = (-3, -5, -12).
Ejemplo 8: Sistema con infinitas soluciones
{
2x - 2y + 3z = 1
-x + y + z = 2
3x - 3y + 4z = 1
}
La solución tiene la forma (x, y, z) = , donde y puede tomar cualquier valor.
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Las matrices son arreglos rectangulares de números organizados en filas y columnas. Son herramientas fundamentales en álgebra lineal y en la resolución de sistemas.
Existen varios tipos de matrices:
1. Matriz cuadrada: Tiene igual número de filas y columnas.
[a₁₁ a₁₂ a₁₃]
[a₂₁ a₂₂ a₂₃]
[a₃₁ a₃₂ a₃₃]
La diagonal principal va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha.
2. Matriz transpuesta: Se obtiene intercambiando filas por columnas.
A = [1 2] Aᵗ = [1 0 5]
[0 4] [2 4 -2]
[5 -2]
3. Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada igual a su transpuesta .
A = [1 6] Aᵗ = [1 6]
[6 4] [6 4]
💡 Las matrices simétricas tienen aplicaciones importantes en física, estadística y optimización, ya que representan formas cuadráticas y transformaciones lineales especiales.
4. Matriz diagonal: Todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros.
[2 0 0]
[0 1 0]
[0 0 0]
5. Matriz identidad: Es una matriz diagonal con unos en la diagonal principal.
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
6. Matriz triangular superior: Todos los elementos debajo de la diagonal principal son ceros.
[1 6 -2 4]
[0 2 3 -1]
[0 0 5 0]
[0 0 0 4]
7. Matriz nula: Todos sus elementos son ceros.
[0 0]
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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