Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales son conjuntos de ecuaciones que debemos resolver simultáneamente. Comencemos con sistemas de dos variables (x, y), como en la ecuación 2x + 3y = 6.

En un sistema 2x2 tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:

{
  x + 3y = 7
  2x - y = 0
}

Estos sistemas pueden tener:

• Solución única: cuando las rectas se intersectan en un punto, como (1, 2) en el ejemplo anterior
• Infinitas soluciones: cuando las rectas coinciden
• Ninguna solución: cuando las rectas son paralelas

Para sistemas 3x3 trabajamos con tres variables (x, y, z) que representan planos en el espacio:

{
  ax + by + cz = m
  dx + ey + fz = n
  gx + hy + iz = p
}

💡 El método de eliminación de Gauss es una técnica poderosa para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. Consiste en transformar el sistema en uno equivalente más sencillo mediante operaciones entre filas.

Para resolver un sistema usando Gauss, creamos una matriz aumentada y la transformamos mediante operaciones elementales hasta obtener una forma escalonada. Por ejemplo, para el sistema:

{
  x - y + z = 2
  2x + 3y + 5z = 11
  x - 5y + 6z = 29
}

Podemos llegar a la solución (x, y, z) = (1, 1, 3) mediante operaciones entre filas.

Métodos de resolución y ejercicios

Para resolver sistemas de ecuaciones, el método de Gauss nos permite determinar si el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Sistema con solución única

{
  x + 2y = 0
  3x + y = -5
}

Al aplicar el método de Gauss, transformamos el sistema en:

{
  x + 2y = 0
  y = 1
}

Sustituyendo: x + 2(1) = 0, obtenemos x = -2. La solución única es (-2, 1).

Ejemplo 2: Sistema con infinitas soluciones

{
  3x - 2y = 1
  6x - 4y = 2
}

Al aplicar Gauss, llegamos a:

{
  x - 2/3y = 1/3
  0 = 0
}

🔑 Una fila de ceros en la matriz aumentada (excepto en la última columna) indica que tenemos infinitas soluciones, pues una variable queda en función de otra.

En este caso, x = 1/3 + 2/3y, lo que nos da infinitas soluciones de la forma $1/3 + 2/3y, y$.

Ejemplo 3: Sistema sin solución

{
  x - 2y = 0
  -2x + 4y = 2
}

Al aplicar Gauss, obtenemos:

{
  x - 2y = 0
  0 = 2
}

La ecuación 0 = 2 es falsa, lo que indica una inconsistencia. Por tanto, este sistema no tiene solución.

Análisis de sistemas con tres variables

Los sistemas con tres variables son más complejos, pero el método de Gauss sigue siendo eficaz. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 5: Sistema con solución única

{
  2x + 12y - 2z = 2
  x + y - 2z = 0
  -3x - 2y + z = -1
}

Al aplicar Gauss, llegamos a:

{
  x + y - 2z = 0
  y - 5z = 1
  z = 1
}

Resolviendo por sustitución:

1. z = 1
2. y - 5(1) = 1 → y = 6
3. x + 6 - 2(1) = 0 → x = -4

La solución es (-4, 6, 1).

Ejemplo 6: Sistema sin solución

{
  x + y - z = 1
  2x - y + z = 2
  -3x + 3y - 3z = 3
}

Al aplicar Gauss, llegamos a:

{
  x + y - z = 1
  y - z = 0
  0 = 1
}

💡 Cuando encuentras una contradicción como 0 = 1, significa que el sistema es inconsistente y no tiene solución.

Ejemplo 7: Sistema con solución única

{
  2x + y - z = 1
  x - y = 2
  7x + 3y - 3z = 0
}

Al resolver, obtenemos (x, y, z) = (-3, -5, -12).

Ejemplo 8: Sistema con infinitas soluciones

{
  2x - 2y + 3z = 1
  -x + y + z = 2
  3x - 3y + 4z = 1
}

La solución tiene la forma (x, y, z) = $-1+y, y, 1$, donde y puede tomar cualquier valor.

Matrices y sus propiedades

Las matrices son arreglos rectangulares de números organizados en filas y columnas. Son herramientas fundamentales en álgebra lineal y en la resolución de sistemas.

Existen varios tipos de matrices:

1. Matriz cuadrada: Tiene igual número de filas y columnas.

[a₁₁ a₁₂ a₁₃]
[a₂₁ a₂₂ a₂₃]
[a₃₁ a₃₂ a₃₃]

La diagonal principal va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha.

2. Matriz transpuesta: Se obtiene intercambiando filas por columnas.

A = [1 2]    Aᵗ = [1 0 5]
    [0 4]         [2 4 -2]
    [5 -2]

3. Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada igual a su transpuesta $A = Aᵗ$.

A = [1 6]    Aᵗ = [1 6]
    [6 4]         [6 4]

💡 Las matrices simétricas tienen aplicaciones importantes en física, estadística y optimización, ya que representan formas cuadráticas y transformaciones lineales especiales.

4. Matriz diagonal: Todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros.

[2 0 0]
[0 1 0]
[0 0 0]

5. Matriz identidad: Es una matriz diagonal con unos en la diagonal principal.

[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]

6. Matriz triangular superior: Todos los elementos debajo de la diagonal principal son ceros.

[1 6 -2 4]
[0 2 3 -1]
[0 0 5 0]
[0 0 0 4]

7. Matriz nula: Todos sus elementos son ceros.

[0 0]
[0 0]