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MatemáticasMatemáticas116 visualizaciones·Actualizado 19 de jul de 2026·6 páginas

Práctica de Cálculo 1: Concepto de Límites

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Maria jose Zuluaga parra@ariajoseuluagaparra_otc8

¿Alguna vez te has preguntado cómo resolver esos límites que...

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Taller cálculo 1 – página 1

Límites con Formas Indeterminadas

Cuando evalúas un límite y obtienes 0/0, no te asustes - es una forma indeterminada que se puede resolver. La clave está en factorizar tanto el numerador como el denominador para cancelar términos problemáticos.

Para el primer ejemplo, lim⁡x→2x2−16x3−8\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 16}{x^3 - 8}, factorizamos: x2−16=(x2+4)(x−2)(x+2)x^2 - 16 = (x^2 + 4)(x - 2)(x + 2) y x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4). Al cancelar (x−2)(x - 2), el límite se convierte en algo evaluable.

El segundo problema usa racionalización para resolver formas indeterminadas con radicales. Multiplicar por el conjugado te ayuda a simplificar expresiones complicadas con raíces cuadradas.

Tip clave: Siempre factoriza primero cuando veas 0/0. Si hay radicales, piensa en racionalizar.

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Taller cálculo 1 – página 2

Técnicas de Factorización y Límites Trigonométricos

Los límites fundamentales como lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 son tus mejores amigos en cálculo. Estos límites especiales te permiten resolver problemas trigonométricos más complejos.

Cuando trabajas con expresiones algebraicas, la factorización por grupos o el uso del teorema del binomio pueden simplificar enormemente tu trabajo. Por ejemplo, (1+x)n=1+nx+n(n−1)2x2+...(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + ... para aproximaciones.

La clave está en reconocer patrones. Si ves x3−8x^3 - 8, piensa inmediatamente en (x−2)(x2+2x+4)(x-2)(x^2+2x+4). Si ves 1+x−1\sqrt{1+x} - 1, considera racionalizar.

Recuerda: Los límites trigonométricos casi siempre involucran sin⁡xx\frac{\sin x}{x} o 1−cos⁡xx2\frac{1-\cos x}{x^2}.

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Taller cálculo 1 – página 3

Límites Avanzados y Casos Especiales

Los límites con radicales requieren paciencia y técnica. Cuando tienes lim⁡x→9x−10x+213−x\lim_{x \to 9} \frac{x - 10\sqrt{x} + 21}{3 - \sqrt{x}}, multiplicas por el conjugado y factorizas cuidadosamente.

Para límites con valores absolutos, como lim⁡x→0xx−∣x∣\lim_{x \to 0} \frac{x}{x - |x|}, debes considerar los límites laterales. Cuando x<0x < 0, ∣x∣=−x|x| = -x, entonces x−∣x∣=x−(−x)=2xx - |x| = x - (-x) = 2x.

Los límites de funciones racionales a menudo se resuelven factorizando completamente. Por ejemplo, x4−18x2+81=(x2−9)2=(x−3)2(x+3)2x^4 - 18x^2 + 81 = (x^2 - 9)^2 = (x-3)^2(x+3)^2.

Estrategia: Con valores absolutos, siempre analiza qué pasa cuando x>0x > 0 y cuando x<0x < 0 por separado.

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Taller cálculo 1 – página 4

Límites Trigonométricos Complejos y Continuidad

Los límites trigonométricos avanzados requieren sustituciones inteligentes y identidades trigonométricas. En lim⁡x→π31−2cos⁡xπ−3x\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1 - 2 \cos x}{\pi - 3x}, la sustitución w=π−3xw = \pi - 3x simplifica enormemente el problema.

Las identidades trigonométricas son fundamentales: cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B. También recuerda que cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3) = 1/2 y sin⁡(π/3)=3/2\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2.

Para funciones continuas, el límite debe existir y ser igual al valor de la función en ese punto. Si tienes una función definida por partes, todos los límites laterales deben coincidir.

Dato útil: lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} es otro límite fundamental que debes memorizar.

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Taller cálculo 1 – página 5

Funciones Definidas por Partes

Las funciones definidas por partes requieren que verifiques la continuidad en los puntos de transición. Para que sea continua, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función.

En el primer ejemplo, igualas 2b=3a−b2b = 3a - b del límite en x=0x = 0, y 4+3a−b=14 + 3a - b = 1 del límite en x=2x = 2. Resolver este sistema de ecuaciones te da a=b=−32a = b = -\frac{3}{2}.

Para funciones con valor absoluto, recuerda que ∣2x+5∣=2x+5|2x + 5| = 2x + 5 cuando 2x+5≥02x + 5 \geq 0, y ∣2x+5∣=−(2x+5)|2x + 5| = -(2x + 5) cuando 2x+5<02x + 5 < 0.

Consejo: Siempre verifica que los límites laterales coincidan en los puntos donde cambia la definición.

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Simplificación de Funciones Racionales

Cuando tienes una función racional como x2+x−2x+2\frac{x^2+x-2}{x+2} donde x≠−2x \neq -2, el primer paso es factorizar el numerador. En este caso, x2+x−2=(x+2)(x−1)x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1).

Al cancelar el factor común (x+2)(x+2), la función se simplifica a x−1x - 1 para todos los valores excepto x=−2x = -2. Esta simplificación es válida porque estamos excluyendo explícitamente el punto problemático.

La función resultante es mucho más fácil de evaluar y graficar. Solo recuerda que hay un "hueco" en x=−2x = -2 donde la función original no está definida.

Importante: Siempre indica claramente las restricciones del dominio después de simplificar.

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Práctica de Cálculo 1: Concepto de Límites

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Maria jose Zuluaga parra@ariajoseuluagaparra_otc8

¿Alguna vez te has preguntado cómo resolver esos límites que parecen imposibles? Este taller de cálculo te va a mostrar las técnicas más importantes para dominar los límites, desde las formas indeterminadas hasta las funciones definidas por partes.

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Límites con Formas Indeterminadas

Cuando evalúas un límite y obtienes 0/0, no te asustes - es una forma indeterminada que se puede resolver. La clave está en factorizar tanto el numerador como el denominador para cancelar términos problemáticos.

Para el primer ejemplo, lim⁡x→2x2−16x3−8\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 16}{x^3 - 8}, factorizamos: x2−16=(x2+4)(x−2)(x+2)x^2 - 16 = (x^2 + 4)(x - 2)(x + 2) y x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4). Al cancelar (x−2)(x - 2), el límite se convierte en algo evaluable.

El segundo problema usa racionalización para resolver formas indeterminadas con radicales. Multiplicar por el conjugado te ayuda a simplificar expresiones complicadas con raíces cuadradas.

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Técnicas de Factorización y Límites Trigonométricos

Los límites fundamentales como lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 son tus mejores amigos en cálculo. Estos límites especiales te permiten resolver problemas trigonométricos más complejos.

Cuando trabajas con expresiones algebraicas, la factorización por grupos o el uso del teorema del binomio pueden simplificar enormemente tu trabajo. Por ejemplo, (1+x)n=1+nx+n(n−1)2x2+...(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + ... para aproximaciones.

La clave está en reconocer patrones. Si ves x3−8x^3 - 8, piensa inmediatamente en (x−2)(x2+2x+4)(x-2)(x^2+2x+4). Si ves 1+x−1\sqrt{1+x} - 1, considera racionalizar.

Recuerda: Los límites trigonométricos casi siempre involucran sin⁡xx\frac{\sin x}{x} o 1−cos⁡xx2\frac{1-\cos x}{x^2}.

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Los límites con radicales requieren paciencia y técnica. Cuando tienes lim⁡x→9x−10x+213−x\lim_{x \to 9} \frac{x - 10\sqrt{x} + 21}{3 - \sqrt{x}}, multiplicas por el conjugado y factorizas cuidadosamente.

Para límites con valores absolutos, como lim⁡x→0xx−∣x∣\lim_{x \to 0} \frac{x}{x - |x|}, debes considerar los límites laterales. Cuando x<0x < 0, ∣x∣=−x|x| = -x, entonces x−∣x∣=x−(−x)=2xx - |x| = x - (-x) = 2x.

Los límites de funciones racionales a menudo se resuelven factorizando completamente. Por ejemplo, x4−18x2+81=(x2−9)2=(x−3)2(x+3)2x^4 - 18x^2 + 81 = (x^2 - 9)^2 = (x-3)^2(x+3)^2.

Estrategia: Con valores absolutos, siempre analiza qué pasa cuando x>0x > 0 y cuando x<0x < 0 por separado.

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Límites Trigonométricos Complejos y Continuidad

Los límites trigonométricos avanzados requieren sustituciones inteligentes y identidades trigonométricas. En lim⁡x→π31−2cos⁡xπ−3x\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1 - 2 \cos x}{\pi - 3x}, la sustitución w=π−3xw = \pi - 3x simplifica enormemente el problema.

Las identidades trigonométricas son fundamentales: cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B. También recuerda que cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3) = 1/2 y sin⁡(π/3)=3/2\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2.

Para funciones continuas, el límite debe existir y ser igual al valor de la función en ese punto. Si tienes una función definida por partes, todos los límites laterales deben coincidir.

Dato útil: lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} es otro límite fundamental que debes memorizar.

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Funciones Definidas por Partes

Las funciones definidas por partes requieren que verifiques la continuidad en los puntos de transición. Para que sea continua, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función.

En el primer ejemplo, igualas 2b=3a−b2b = 3a - b del límite en x=0x = 0, y 4+3a−b=14 + 3a - b = 1 del límite en x=2x = 2. Resolver este sistema de ecuaciones te da a=b=−32a = b = -\frac{3}{2}.

Para funciones con valor absoluto, recuerda que ∣2x+5∣=2x+5|2x + 5| = 2x + 5 cuando 2x+5≥02x + 5 \geq 0, y ∣2x+5∣=−(2x+5)|2x + 5| = -(2x + 5) cuando 2x+5<02x + 5 < 0.

Consejo: Siempre verifica que los límites laterales coincidan en los puntos donde cambia la definición.

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Simplificación de Funciones Racionales

Cuando tienes una función racional como x2+x−2x+2\frac{x^2+x-2}{x+2} donde x≠−2x \neq -2, el primer paso es factorizar el numerador. En este caso, x2+x−2=(x+2)(x−1)x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1).

Al cancelar el factor común (x+2)(x+2), la función se simplifica a x−1x - 1 para todos los valores excepto x=−2x = -2. Esta simplificación es válida porque estamos excluyendo explícitamente el punto problemático.

La función resultante es mucho más fácil de evaluar y graficar. Solo recuerda que hay un "hueco" en x=−2x = -2 donde la función original no está definida.

Importante: Siempre indica claramente las restricciones del dominio después de simplificar.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

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