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Práctica de Cálculo 1: Concepto de Límites

M

Maria jose Zuluaga parra

@ariajoseuluagaparra_otc8

¿Alguna vez te has preguntado cómo resolver esos límites que... Mostrar más

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Taller calculo 3. lim $\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}$ = $\frac{(2)^{4}-16}{(2)^{3}-8}$ = $\frac{16-16}{8-8}$ = $\frac{0}{0}$ Indetermi X-02

Límites con Formas Indeterminadas

Cuando evalúas un límite y obtienes 0/0, no te asustes - es una forma indeterminada que se puede resolver. La clave está en factorizar tanto el numerador como el denominador para cancelar términos problemáticos.

Para el primer ejemplo, lim⁡x→2x2−16x3−8\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 16}{x^3 - 8}, factorizamos: x2−16=(x2+4)(x−2)(x+2)x^2 - 16 = (x^2 + 4)(x - 2)(x + 2) y x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4). Al cancelar (x−2)(x - 2), el límite se convierte en algo evaluable.

El segundo problema usa racionalización para resolver formas indeterminadas con radicales. Multiplicar por el conjugado te ayuda a simplificar expresiones complicadas con raíces cuadradas.

Tip clave: Siempre factoriza primero cuando veas 0/0. Si hay radicales, piensa en racionalizar.

Taller calculo 3. lim $\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}$ = $\frac{(2)^{4}-16}{(2)^{3}-8}$ = $\frac{16-16}{8-8}$ = $\frac{0}{0}$ Indetermi X-02

Técnicas de Factorización y Límites Trigonométricos

Los límites fundamentales como lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 son tus mejores amigos en cálculo. Estos límites especiales te permiten resolver problemas trigonométricos más complejos.

Cuando trabajas con expresiones algebraicas, la factorización por grupos o el uso del teorema del binomio pueden simplificar enormemente tu trabajo. Por ejemplo, (1+x)n=1+nx+n(n−1)2x2+...(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + ... para aproximaciones.

La clave está en reconocer patrones. Si ves x3−8x^3 - 8, piensa inmediatamente en (x−2)(x2+2x+4)(x-2)(x^2+2x+4). Si ves 1+x−1\sqrt{1+x} - 1, considera racionalizar.

Recuerda: Los límites trigonométricos casi siempre involucran sin⁡xx\frac{\sin x}{x} o 1−cos⁡xx2\frac{1-\cos x}{x^2}.

Taller calculo 3. lim $\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}$ = $\frac{(2)^{4}-16}{(2)^{3}-8}$ = $\frac{16-16}{8-8}$ = $\frac{0}{0}$ Indetermi X-02

Límites Avanzados y Casos Especiales

Los límites con radicales requieren paciencia y técnica. Cuando tienes lim⁡x→9x−10x+213−x\lim_{x \to 9} \frac{x - 10\sqrt{x} + 21}{3 - \sqrt{x}}, multiplicas por el conjugado y factorizas cuidadosamente.

Para límites con valores absolutos, como lim⁡x→0xx−∣x∣\lim_{x \to 0} \frac{x}{x - |x|}, debes considerar los límites laterales. Cuando x<0x < 0, ∣x∣=−x|x| = -x, entonces x−∣x∣=x−(−x)=2xx - |x| = x - (-x) = 2x.

Los límites de funciones racionales a menudo se resuelven factorizando completamente. Por ejemplo, x4−18x2+81=(x2−9)2=(x−3)2(x+3)2x^4 - 18x^2 + 81 = (x^2 - 9)^2 = (x-3)^2(x+3)^2.

Estrategia: Con valores absolutos, siempre analiza qué pasa cuando x>0x > 0 y cuando x<0x < 0 por separado.

Taller calculo 3. lim $\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}$ = $\frac{(2)^{4}-16}{(2)^{3}-8}$ = $\frac{16-16}{8-8}$ = $\frac{0}{0}$ Indetermi X-02

Límites Trigonométricos Complejos y Continuidad

Los límites trigonométricos avanzados requieren sustituciones inteligentes y identidades trigonométricas. En lim⁡x→π31−2cos⁡xπ−3x\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1 - 2 \cos x}{\pi - 3x}, la sustitución w=π−3xw = \pi - 3x simplifica enormemente el problema.

Las identidades trigonométricas son fundamentales: cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B. También recuerda que cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3) = 1/2 y sin⁡(π/3)=3/2\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2.

Para funciones continuas, el límite debe existir y ser igual al valor de la función en ese punto. Si tienes una función definida por partes, todos los límites laterales deben coincidir.

Dato útil: lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} es otro límite fundamental que debes memorizar.

Taller calculo 3. lim $\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}$ = $\frac{(2)^{4}-16}{(2)^{3}-8}$ = $\frac{16-16}{8-8}$ = $\frac{0}{0}$ Indetermi X-02

Funciones Definidas por Partes

Las funciones definidas por partes requieren que verifiques la continuidad en los puntos de transición. Para que sea continua, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función.

En el primer ejemplo, igualas 2b=3a−b2b = 3a - b del límite en x=0x = 0, y 4+3a−b=14 + 3a - b = 1 del límite en x=2x = 2. Resolver este sistema de ecuaciones te da a=b=−32a = b = -\frac{3}{2}.

Para funciones con valor absoluto, recuerda que ∣2x+5∣=2x+5|2x + 5| = 2x + 5 cuando 2x+5≥02x + 5 \geq 0, y ∣2x+5∣=−(2x+5)|2x + 5| = -(2x + 5) cuando 2x+5<02x + 5 < 0.

Consejo: Siempre verifica que los límites laterales coincidan en los puntos donde cambia la definición.

Taller calculo 3. lim $\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}$ = $\frac{(2)^{4}-16}{(2)^{3}-8}$ = $\frac{16-16}{8-8}$ = $\frac{0}{0}$ Indetermi X-02

Simplificación de Funciones Racionales

Cuando tienes una función racional como x2+x−2x+2\frac{x^2+x-2}{x+2} donde x≠−2x \neq -2, el primer paso es factorizar el numerador. En este caso, x2+x−2=(x+2)(x−1)x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1).

Al cancelar el factor común (x+2)(x+2), la función se simplifica a x−1x - 1 para todos los valores excepto x=−2x = -2. Esta simplificación es válida porque estamos excluyendo explícitamente el punto problemático.

La función resultante es mucho más fácil de evaluar y graficar. Solo recuerda que hay un "hueco" en x=−2x = -2 donde la función original no está definida.

Importante: Siempre indica claramente las restricciones del dominio después de simplificar.



Pensamos que nunca lo preguntarías...

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Incluye temas y ejercicios de "limites laterales, limites al infinito y limite trigonométrico" y ayuda del uso de GeoGebra para comprobar los ejercicios.

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Límites de una función en una variable real, propiedades de los límites, técnicas del calculo de límites, límites trigonométricos, límites en el infinito, técnicas para límites en el infinito, límites con el número e.

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Límites, solución por medio de factorización.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

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Práctica de Cálculo 1: Concepto de Límites

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Maria jose Zuluaga parra

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¿Alguna vez te has preguntado cómo resolver esos límites que parecen imposibles? Este taller de cálculo te va a mostrar las técnicas más importantes para dominar los límites, desde las formas indeterminadas hasta las funciones definidas por partes.

Taller calculo 3. lim $\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}$ = $\frac{(2)^{4}-16}{(2)^{3}-8}$ = $\frac{16-16}{8-8}$ = $\frac{0}{0}$ Indetermi X-02

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Límites con Formas Indeterminadas

Cuando evalúas un límite y obtienes 0/0, no te asustes - es una forma indeterminada que se puede resolver. La clave está en factorizar tanto el numerador como el denominador para cancelar términos problemáticos.

Para el primer ejemplo, lim⁡x→2x2−16x3−8\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 16}{x^3 - 8}, factorizamos: x2−16=(x2+4)(x−2)(x+2)x^2 - 16 = (x^2 + 4)(x - 2)(x + 2) y x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4). Al cancelar (x−2)(x - 2), el límite se convierte en algo evaluable.

El segundo problema usa racionalización para resolver formas indeterminadas con radicales. Multiplicar por el conjugado te ayuda a simplificar expresiones complicadas con raíces cuadradas.

Tip clave: Siempre factoriza primero cuando veas 0/0. Si hay radicales, piensa en racionalizar.

Taller calculo 3. lim $\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}$ = $\frac{(2)^{4}-16}{(2)^{3}-8}$ = $\frac{16-16}{8-8}$ = $\frac{0}{0}$ Indetermi X-02

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Técnicas de Factorización y Límites Trigonométricos

Los límites fundamentales como lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 son tus mejores amigos en cálculo. Estos límites especiales te permiten resolver problemas trigonométricos más complejos.

Cuando trabajas con expresiones algebraicas, la factorización por grupos o el uso del teorema del binomio pueden simplificar enormemente tu trabajo. Por ejemplo, (1+x)n=1+nx+n(n−1)2x2+...(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + ... para aproximaciones.

La clave está en reconocer patrones. Si ves x3−8x^3 - 8, piensa inmediatamente en (x−2)(x2+2x+4)(x-2)(x^2+2x+4). Si ves 1+x−1\sqrt{1+x} - 1, considera racionalizar.

Recuerda: Los límites trigonométricos casi siempre involucran sin⁡xx\frac{\sin x}{x} o 1−cos⁡xx2\frac{1-\cos x}{x^2}.

Taller calculo 3. lim $\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}$ = $\frac{(2)^{4}-16}{(2)^{3}-8}$ = $\frac{16-16}{8-8}$ = $\frac{0}{0}$ Indetermi X-02

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Límites Avanzados y Casos Especiales

Los límites con radicales requieren paciencia y técnica. Cuando tienes lim⁡x→9x−10x+213−x\lim_{x \to 9} \frac{x - 10\sqrt{x} + 21}{3 - \sqrt{x}}, multiplicas por el conjugado y factorizas cuidadosamente.

Para límites con valores absolutos, como lim⁡x→0xx−∣x∣\lim_{x \to 0} \frac{x}{x - |x|}, debes considerar los límites laterales. Cuando x<0x < 0, ∣x∣=−x|x| = -x, entonces x−∣x∣=x−(−x)=2xx - |x| = x - (-x) = 2x.

Los límites de funciones racionales a menudo se resuelven factorizando completamente. Por ejemplo, x4−18x2+81=(x2−9)2=(x−3)2(x+3)2x^4 - 18x^2 + 81 = (x^2 - 9)^2 = (x-3)^2(x+3)^2.

Estrategia: Con valores absolutos, siempre analiza qué pasa cuando x>0x > 0 y cuando x<0x < 0 por separado.

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Límites Trigonométricos Complejos y Continuidad

Los límites trigonométricos avanzados requieren sustituciones inteligentes y identidades trigonométricas. En lim⁡x→π31−2cos⁡xπ−3x\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1 - 2 \cos x}{\pi - 3x}, la sustitución w=π−3xw = \pi - 3x simplifica enormemente el problema.

Las identidades trigonométricas son fundamentales: cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B. También recuerda que cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3) = 1/2 y sin⁡(π/3)=3/2\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2.

Para funciones continuas, el límite debe existir y ser igual al valor de la función en ese punto. Si tienes una función definida por partes, todos los límites laterales deben coincidir.

Dato útil: lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} es otro límite fundamental que debes memorizar.

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Funciones Definidas por Partes

Las funciones definidas por partes requieren que verifiques la continuidad en los puntos de transición. Para que sea continua, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función.

En el primer ejemplo, igualas 2b=3a−b2b = 3a - b del límite en x=0x = 0, y 4+3a−b=14 + 3a - b = 1 del límite en x=2x = 2. Resolver este sistema de ecuaciones te da a=b=−32a = b = -\frac{3}{2}.

Para funciones con valor absoluto, recuerda que ∣2x+5∣=2x+5|2x + 5| = 2x + 5 cuando 2x+5≥02x + 5 \geq 0, y ∣2x+5∣=−(2x+5)|2x + 5| = -(2x + 5) cuando 2x+5<02x + 5 < 0.

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Simplificación de Funciones Racionales

Cuando tienes una función racional como x2+x−2x+2\frac{x^2+x-2}{x+2} donde x≠−2x \neq -2, el primer paso es factorizar el numerador. En este caso, x2+x−2=(x+2)(x−1)x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1).

Al cancelar el factor común (x+2)(x+2), la función se simplifica a x−1x - 1 para todos los valores excepto x=−2x = -2. Esta simplificación es válida porque estamos excluyendo explícitamente el punto problemático.

La función resultante es mucho más fácil de evaluar y graficar. Solo recuerda que hay un "hueco" en x=−2x = -2 donde la función original no está definida.

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Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS