Cómo Encontrar la Ecuación de una Circunferencia: Canónica y General

Ecuación Canónica de la Circunferencia

La ecuación canónica de una circunferencia sigue la estructura $x-h$² + $y-k$² = r², donde (h,k) son las coordenadas del centro y r es el radio. Cuando trabajamos con una circunferencia centrada en el origen (0,0), la ecuación se simplifica a x² + y² = r².

Veamos un ejemplo práctico: para una circunferencia con centro en el origen P(0,0) y radio 5 unidades, la ecuación canónica queda: $x-0$² + $y-0$² = 5² x² + y² = 25

La ecuación general se obtiene desarrollando las operaciones indicadas en la ecuación canónica. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en $1,-5$ y radio 3, expandimos: $x-1$² + $y+5$² = 9

⚠️ ¡Atención! Al expandir binomios, recuerda aplicar correctamente las fórmulas: $a+b$² = a² + 2ab + b² y $a-b$² = a² - 2ab + b²

Al desarrollar las operaciones obtenemos: x² - 2x + 1 + y² + 10y + 25 = 9 x² + y² - 2x + 10y + 17 = 0

Esta última es la forma general: x² + y² + Cx + Dy + E = 0

Convertir entre Ecuaciones Canónica y General

¿Cómo transformamos entre ambas formas? Analicemos un ejemplo con centro en P$-1,4$ y radio √3. Para la ecuación canónica, simplemente sustituimos los valores: $x-(-1)$² + $y-4$² = (√3)² $x+1$² + $y-4$² = 3

Para convertirla a la forma general, expandimos cada término: • $x+1$² = x² + 2x + 1 (usando la fórmula del binomio cuadrado) • $y-4$² = y² - 8y + 16

Al sustituir y simplificar: x² + 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 3 x² + y² + 2x - 8y + 14 = 0

💡 Consejo útil: Siempre puedes comprobar tu trabajo dibujando la circunferencia en el plano cartesiano usando el centro y radio dados.

El proceso inverso (de general a canónica) requiere completar cuadrados perfectos, una técnica que te permitirá identificar el centro y radio de cualquier circunferencia dada su ecuación general.