Vectores Geométricos y sus Características

Un vector geométrico es un segmento rectilíneo dirigido que posee tres características fundamentales: magnitud, dirección y sentido.

La magnitud es la longitud del segmento y representa el "tamaño" del vector. La dirección viene dada por el ángulo entre el sentido positivo del eje x y el segmento. El sentido se indica con una flecha en el extremo del segmento - es positivo si coincide con el ángulo y negativo si no coincide.

Todos los vectores se representan con letra mayúscula o con las últimas letras del alfabeto, con una flecha en su parte superior. Sus componentes se indican con letras minúsculas o con subíndices.

💡 Los vectores posición son aquellos cuyo punto inicial es el origen y el punto final es el punto de coordenadas (a,b,c).

Un vector en el espacio tridimensional (R³) es una tripleta de números reales (a,b,c), donde a, b y c son las componentes del vector en cada eje.

Vectores Unitarios y Magnitud

Un vector cero es aquel que tiene todas sus componentes iguales a cero: (0,0,0). Se denota como $\vec{0}$.

La magnitud o longitud de un vector $\vec{V} = (a,b,c)$ se calcula mediante la fórmula: $|\vec{V}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Por ejemplo:

• Para $\vec{u} = (1,2,3)$ → $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$
• Para $\vec{A} = (1,0,-1)$ → $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
• Para $\vec{V} = (-1,1,1)$ → $|\vec{V}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

Un vector unitario es aquel cuya magnitud es exactamente 1. Puedes crear un vector unitario a partir de cualquier vector no nulo dividiéndolo por su magnitud: $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

🔑 Los vectores coordenados unitarios $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son especialmente importantes porque llevan la dirección de los ejes coordenados x, y, z respectivamente.

Vector entre Puntos y Suma de Vectores

Dados dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ en el espacio, el vector que va desde P hasta Q se calcula como: $\vec{PQ} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$

Por ejemplo:

• Entre $P(1,-1,2)$ y $Q(3,2,1)$ → $\vec{PQ} = (2,3,-1)$
• Entre $A(0,1,5)$ y $B(2,2,3)$ → $\vec{AB} = (2,1,-2)$

Todo vector $\vec{V}=(a,b,c)$ se puede expresar como combinación de los vectores unitarios: $\vec{V} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$

Dados los vectores $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$ y $\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)$ y un escalar $k$:

1. Suma de vectores: $\vec{u} + \vec{v} = (a_1+a_2, b_1+b_2, c_1+c_2)$
2. Multiplicación por escalar: $k\vec{u} = (ka_1, kb_1, kc_1)$

💡 Las operaciones con vectores mantienen propiedades similares al álgebra común, como la conmutatividad de la suma y la distributividad del producto por escalar.

Puedes combinar estas operaciones en expresiones como: $2\vec{u} - 3\vec{v}$ o $3\vec{A} - 4\vec{B} + 2\vec{C}$

Producto Escalar (Producto Punto)

El producto escalar o punto entre vectores $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$ y $\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)$ se define como: $\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2$

Este producto da como resultado un número real (escalar), no un vector. Por ejemplo:

• Para $\vec{u} = (3, -1, 6)$ y $\vec{v} = (-2, 3, 4)$ → $\vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(-2) + (-1)(3) + (6)(4) = -6 - 3 + 24 = 15$

El producto escalar permite calcular el ángulo entre dos vectores mediante: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

Donde θ representa el ángulo más pequeño entre los vectores.

🔑 Los vectores tienen relaciones especiales según su ángulo:

• Son paralelos si θ = 0° o 180°
• Son ortogonales (perpendiculares) si θ = 90° o 270°

Dos vectores no nulos son ortogonales si y solo si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Dos vectores no nulos son paralelos si y solo si uno es múltiplo del otro: $\vec{v} = k\vec{u}$ para algún escalar k.

Proyección y Producto Cruz

La proyección de un vector $\vec{u}$ sobre otro vector $\vec{v}$ se define como: $\text{Proy}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}$

La componente escalar de esta proyección es $\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$. Si separamos un vector en sus componentes paralela y perpendicular a otro, tenemos: $\vec{w} = \vec{u} - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}$ donde $\vec{w}$ es ortogonal a $\vec{v}$.

El producto cruz o producto vectorial entre $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$ y $\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)$ se define como: $\vec{u} \times \vec{v} = (b_1c_2 - c_1b_2)\vec{i} + (c_1a_2 - a_1c_2)\vec{j} + (a_1b_2 - b_1a_2)\vec{k}$

Este producto se puede calcular utilizando determinantes: $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}$

💡 A diferencia del producto escalar, el producto cruz da como resultado un nuevo vector perpendicular a los dos originales.

El producto cruz tiene la propiedad: $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$, lo que significa que el orden importa.

Aplicaciones del Producto Cruz

El producto cruz tiene varias propiedades y aplicaciones geométricas importantes:

1. El seno del ángulo entre dos vectores se calcula como: $\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \times \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

2. El área de un paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es: $A = |\vec{u} \times \vec{v}|$

3. El área de un triángulo con los mismos vectores es: $A = \frac{|\vec{u} \times \vec{v}|}{2}$

4. El volumen del paralelepípedo determinado por tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ es: $V = |(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$

🔑 El producto cruz es fundamental en física para calcular momentos, torques y campos electromagnéticos.

Otras propiedades importantes del producto cruz son:

• $\vec{u} \times \vec{0} = \vec{0} \times \vec{u} = \vec{0}$
• $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ (triple producto escalar)
• $\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{v} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0$