Guía de Matemáticas para el Grado 11: Prepara tu ICFES

Introducción al Taller de Matemáticas

¡Bienvenido al taller de matemáticas para grado 11! En estas páginas encontrarás problemas que ponen a prueba tu razonamiento matemático aplicado a situaciones reales.

Los ejercicios que veremos combinan conceptos de tiempo y distancia, conversión de monedas, optimización de costos y cálculos financieros básicos. Cada problema requiere que analices cuidadosamente la información proporcionada.

💡 Consejo: Antes de resolver cualquier problema, identifica claramente qué te están pidiendo y qué información te dan. Esto te ayudará a organizar mejor tu proceso de solución.

Recuerda que estos problemas evalúan más tu capacidad de razonamiento que la aplicación mecánica de fórmulas. ¡Vamos a empezar!

Problema del Sistema de Transporte

En este problema analizamos el tiempo de viaje en un sistema de transporte masivo. Un bus tarda 4 minutos entre estaciones consecutivas y 30 segundos en cada parada.

Se presenta un usuario que quiere ir de E1 a E10 por la ruta R2 y calcula su tiempo de viaje siguiendo tres pasos:

1. Cuenta 10 tramos entre estaciones consecutivas
2. Multiplica estos 10 tramos por 4 minutos: 40 minutos
3. Suma 30 segundos por la parada en E6: 40,5 minutos

El problema nos pide identificar en qué pasos se equivoca el usuario. Si observamos el diagrama, notamos que la ruta R2 no pasa por todas las estaciones consecutivas, sino que hace paradas específicas (círculos sombreados).

🚨 Atención: ¡No confundas el número de estaciones con el número de tramos! Un viaje de E1 a E10 no necesariamente implica recorrer 10 tramos si la ruta no para en todas las estaciones intermedias.

Por tanto, el error está en el paso I, donde cuenta incorrectamente los tramos, lo que también afecta el cálculo del paso II.

Problemas de Conversión de Divisas

Aquí enfrentamos un problema sobre inversiones en dólares y su equivalencia en pesos colombianos. Un inversionista tiene dólares en Estados Unidos con una ganancia del 3% y una tasa de cambio constante de 1 dólar = 2.000 pesos colombianos.

Un amigo afirma que la ganancia en pesos también será del 3%. ¿Es esto correcto?

Si analizamos la situación: al mantener una tasa de cambio constante, el porcentaje de ganancia se mantiene igual en ambas monedas. Por ejemplo, si inviertes 100 dólares (200.000 pesos):

• Ganancia en dólares: 3% de 100 = 3 dólares
• Valor en pesos de esa ganancia: 3 × 2.000 = 6.000 pesos
• 6.000 pesos representan el 3% de 200.000 pesos

💡 Clave matemática: Cuando la tasa de cambio permanece constante, los porcentajes de ganancia se mantienen iguales independientemente de la moneda en que se expresen.

Por lo tanto, la afirmación del amigo es correcta, ya que al permanecer constante la tasa de cambio, la proporción de incremento es la misma en ambas monedas.

Problema de Organización de Viaje Escolar

En este problema, un colegio debe organizar un viaje al museo para 140 estudiantes divididos en 3 grupos, buscando minimizar el costo total de las entradas.

La tabla muestra cuatro franjas horarias con diferentes capacidades y precios:

• Franja 1 $8-10$: 50 estudiantes máximo, $35.000 por entrada
• Franja 2 $10-12$: 40 estudiantes máximo, $40.000 por entrada
• Franja 3 $12-14$: 30 estudiantes máximo, $50.000 por entrada
• Franja 4 $14-16$: 60 estudiantes máximo, $45.000 por entrada

Las directivas eligieron las franjas 1, 3 y 4, que permiten acomodar exactamente 140 estudiantes $50+30+60$, pero debemos determinar si esta es la opción más económica.

🔍 Estrategia: Para comparar opciones, calcula el costo total de diferentes combinaciones de franjas que permitan acomodar a los 140 estudiantes.

Para la opción elegida (franjas 1, 3 y 4), el costo total es: (50 × $35.000) + (30 ×$50.000) + (60 × $45.000) =$6.350.000

Si reemplazamos la franja 3 por la franja 2, tendríamos: (50 × $35.000) + (40 ×$40.000) + (50 × $45.000) =$6.050.000

Esto demuestra que la elección no garantiza el menor precio posible, ya que existe una combinación más económica.

Problemas de Capacitación Empresarial

Esta sección presenta tres problemas relacionados con una capacitación en informática básica para trabajadores de una empresa. La capacitación incluye cuatro módulos con diferentes intensidades horarias y valores por hora:

• Módulo I (Fundamentación): 40 horas, $35.000/hora
• Módulo II (Procesador de texto): 30 horas, $30.000/hora
• Módulo III (Hoja de cálculo): 40 horas, $40.000/hora
• Módulo IV (Presentación con diapositivas): 10 horas, $45.000/hora

Para el primer problema, sabemos que la empresa pagó $4.200.000 por el Módulo I para la dependencia "Insumos". Calculando:

• Valor del módulo por persona: 40h × $35.000 =$1.400.000
• Número de trabajadores: $4.200.000 ÷$1.400.000 = 3 grupos

Como cada grupo tiene entre 20 y 30 personas, la dependencia tendría entre 60 y 90 trabajadores.

💰 Consejo práctico: En problemas de finanzas, identifica primero los valores unitarios antes de calcular totales o dividir cantidades.

Para el segundo problema, 50 trabajadores de "Recursos Humanos" pagarán por el Módulo II:

• Costo total: 30h × $30.000 × 2 grupos =$1.800.000
• Costo por persona: $1.800.000 ÷ 50 =$36.000

Para el tercer problema, si la empresa paga $900.000 por capacitar a 40 funcionarios, debemos identificar qué módulo corresponde a este valor.