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María Lovo
4/12/2025
ICFES: Matemáticas
repaso ICFES
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4 de dic de 2025
•
María Lovo
@araovo_6a17dyvb5kgoa
Las secciones cónicas son curvas súper importantes en matemáticas que... Mostrar más
Las parábolas son el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto fijo (foco) y una línea recta (directriz). Imagínate el trayecto de una pelota de fútbol: esa curva perfecta es una parábola.
La clave está en entender el valor p, que es la distancia del vértice al foco. Si p > 0, la parábola abre hacia arriba o derecha; si p < 0, abre hacia abajo o izquierda. Las ecuaciones canónicas son simples: x² = 4py (abre vertical) y y² = 4px (abre horizontal).
Para resolver ejercicios, primero identifica si tienes x² o y² para saber la dirección. Luego encuentra p dividiendo el coeficiente entre 4. El vértice te da el punto de partida, el foco está a distancia p del vértice, y la directriz está del lado opuesto.
Tip clave: La longitud del lado recto siempre es 4p, sin importar la orientación de la parábola.
Los círculos tienen la ecuación más directa de todas las cónicas. La forma canónica ² + ² = r² te dice todo: centro en (h,k) y radio r. Es así de simple.
Para convertir entre formas, usa la técnica de completar cuadrados. Si tienes la forma general, agrupa términos de x y y por separado, luego completa los cuadrados. El truco está en sumar y restar la misma cantidad para no alterar la ecuación.
Cuando necesites solo media circunferencia, despeja la variable correspondiente. Para la mitad derecha despeja x positivo, para la izquierda x negativo. Lo mismo aplica para partes superior e inferior con y.
Recuerda: Las circunferencias no tienen excentricidad, son perfectamente simétricas.
Dominar los círculos es cuestión de práctica sistemática. Cuando te den centro y radio, simplemente sustituye en ² + ² = r² y expande para obtener la forma general.
Para ir de general a canónica, el proceso es: agrupar términos, completar cuadrados y factorizar. Por ejemplo, si tienes x² - 6x, necesitas sumar 9 para completar ². No olvides sumarlo también del otro lado de la ecuación.
Los puntos pueden estar dentro, sobre o fuera del círculo. Sustituye las coordenadas en la ecuación: si el resultado es menor que r², está adentro; si es igual, está sobre la circunferencia; si es mayor, está afuera.
Estrategia ganadora: Siempre verifica tus respuestas sustituyendo un punto conocido en la ecuación final.
Las parábolas con vértice en (h,k) siguen las mismas reglas básicas, solo desplazadas. Las ecuaciones se convierten en ² = 4p o ² = 4p. El proceso para encontrar foco y directriz es idéntico, pero desde el nuevo vértice.
Para convertir de canónica a general, expande el binomio cuadrado perfecto y reorganiza términos. De general a canónica, completa cuadrados como siempre, pero mantén los términos organizados.
Las semiparábolas aparecen cuando solo necesitas una parte. Para la mitad superior despeja y positivo, para la inferior y negativo. El mismo principio aplica horizontalmente con x.
Punto importante: El valor p siempre indica la distancia y dirección desde el vértice al foco.
Las elipses son como círculos estirados, con dos focos en lugar de un centro simple. La ecuación canónica x²/a² + y²/b² = 1 te dice todo sobre su forma y orientación.
Los valores clave son: a (semieje mayor), b (semieje menor) y c . La relación fundamental es c² = a² - b². Siempre recuerda que a > b > c en elipses.
Los vértices están a distancia a del centro, los focos a distancia c, y los puntos del eje menor a distancia b. Si a acompaña a x², la elipse es horizontal; si acompaña a y², es vertical.
La excentricidad e = c/a mide qué tan alargada está la elipse. Cerca de 0 es casi circular, cerca de 1 es muy alargada.
Truco visual: El denominador mayor siempre corresponde al eje mayor de la elipse.
Convertir elipses entre formas requiere técnica y paciencia. Para ir de canónica a general, elimina denominadores multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo.
Con centro en (h,k), la ecuación se vuelve ²/a² + ²/b² = 1. Al expandir, primero multiplica por los denominadores, luego desarrolla los binomios cuadrados perfectos y simplifica.
De general a canónica es el proceso inverso: agrupa términos, factoriza coeficientes, completa cuadrados y divide para que quede igualada a 1. Este último paso es crucial para identificar correctamente los valores de a y b.
Consejo de oro: Siempre verifica que tu ecuación final esté igualada a 1 en la forma canónica.
Las hipérbolas son el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. A diferencia de elipses, tienen coeficientes de signos opuestos: uno positivo y otro negativo.
La ecuación x²/a² - y²/b² = 1 describe una hipérbola horizontal, mientras que y²/a² - x²/b² = 1 es vertical. Aquí c² = a² + b² (nota el signo más, diferente de las elipses).
Las asíntotas son líneas que la hipérbola se acerca pero nunca toca. Para hipérbolas centradas en el origen son y = ±x si es horizontal, o y = ±x si es vertical.
Los vértices están a distancia a del centro, los focos a distancia c. El eje conjugado tiene longitud 2b y es perpendicular al eje principal.
Diferencia clave: En hipérbolas sumas a² + b² para encontrar c², mientras que en elipses restas.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Las secciones cónicas son curvas súper importantes en matemáticas que aparecen constantemente en física, ingeniería y en tus exámenes. Desde parábolas que describen trayectorias hasta círculos y elipses que modelan órbitas, estas figuras están en todos lados y dominarlas te... Mostrar más
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Las parábolas son el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto fijo (foco) y una línea recta (directriz). Imagínate el trayecto de una pelota de fútbol: esa curva perfecta es una parábola.
La clave está en entender el valor p, que es la distancia del vértice al foco. Si p > 0, la parábola abre hacia arriba o derecha; si p < 0, abre hacia abajo o izquierda. Las ecuaciones canónicas son simples: x² = 4py (abre vertical) y y² = 4px (abre horizontal).
Para resolver ejercicios, primero identifica si tienes x² o y² para saber la dirección. Luego encuentra p dividiendo el coeficiente entre 4. El vértice te da el punto de partida, el foco está a distancia p del vértice, y la directriz está del lado opuesto.
Tip clave: La longitud del lado recto siempre es 4p, sin importar la orientación de la parábola.
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Para convertir entre formas, usa la técnica de completar cuadrados. Si tienes la forma general, agrupa términos de x y y por separado, luego completa los cuadrados. El truco está en sumar y restar la misma cantidad para no alterar la ecuación.
Cuando necesites solo media circunferencia, despeja la variable correspondiente. Para la mitad derecha despeja x positivo, para la izquierda x negativo. Lo mismo aplica para partes superior e inferior con y.
Recuerda: Las circunferencias no tienen excentricidad, son perfectamente simétricas.
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Dominar los círculos es cuestión de práctica sistemática. Cuando te den centro y radio, simplemente sustituye en ² + ² = r² y expande para obtener la forma general.
Para ir de general a canónica, el proceso es: agrupar términos, completar cuadrados y factorizar. Por ejemplo, si tienes x² - 6x, necesitas sumar 9 para completar ². No olvides sumarlo también del otro lado de la ecuación.
Los puntos pueden estar dentro, sobre o fuera del círculo. Sustituye las coordenadas en la ecuación: si el resultado es menor que r², está adentro; si es igual, está sobre la circunferencia; si es mayor, está afuera.
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Para convertir de canónica a general, expande el binomio cuadrado perfecto y reorganiza términos. De general a canónica, completa cuadrados como siempre, pero mantén los términos organizados.
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Los valores clave son: a (semieje mayor), b (semieje menor) y c . La relación fundamental es c² = a² - b². Siempre recuerda que a > b > c en elipses.
Los vértices están a distancia a del centro, los focos a distancia c, y los puntos del eje menor a distancia b. Si a acompaña a x², la elipse es horizontal; si acompaña a y², es vertical.
La excentricidad e = c/a mide qué tan alargada está la elipse. Cerca de 0 es casi circular, cerca de 1 es muy alargada.
Truco visual: El denominador mayor siempre corresponde al eje mayor de la elipse.
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Convertir elipses entre formas requiere técnica y paciencia. Para ir de canónica a general, elimina denominadores multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo.
Con centro en (h,k), la ecuación se vuelve ²/a² + ²/b² = 1. Al expandir, primero multiplica por los denominadores, luego desarrolla los binomios cuadrados perfectos y simplifica.
De general a canónica es el proceso inverso: agrupa términos, factoriza coeficientes, completa cuadrados y divide para que quede igualada a 1. Este último paso es crucial para identificar correctamente los valores de a y b.
Consejo de oro: Siempre verifica que tu ecuación final esté igualada a 1 en la forma canónica.
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Las hipérbolas son el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. A diferencia de elipses, tienen coeficientes de signos opuestos: uno positivo y otro negativo.
La ecuación x²/a² - y²/b² = 1 describe una hipérbola horizontal, mientras que y²/a² - x²/b² = 1 es vertical. Aquí c² = a² + b² (nota el signo más, diferente de las elipses).
Las asíntotas son líneas que la hipérbola se acerca pero nunca toca. Para hipérbolas centradas en el origen son y = ±x si es horizontal, o y = ±x si es vertical.
Los vértices están a distancia a del centro, los focos a distancia c. El eje conjugado tiene longitud 2b y es perpendicular al eje principal.
Diferencia clave: En hipérbolas sumas a² + b² para encontrar c², mientras que en elipses restas.
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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