Cinemática y Estadísticas Básicas

¿Te has preguntado cómo calcular la velocidad de un objeto en movimiento? La cinemática es más simple de lo que parece. La fórmula clave es $v_f = v_i + at$, donde la velocidad final depende de la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo.

Algo genial: cuando la velocidad no cambia, significa que la aceleración es cero. Para encontrar la distancia recorrida, usás $X_f = X_i + v_it + \frac{1}{2}at^2$. La velocidad promedio se calcula dividiendo la distancia total entre el tiempo transcurrido, no promediando las velocidades.

En estadísticas, las marcas de motos más vendidas en Colombia nos enseñan sobre proporciones y porcentajes. Yamaha y Honda juntas representan aproximadamente el 35% del mercado. La desviación estándar mide qué tan dispersos están los datos usando la fórmula $\sigma = \sqrt{\frac{\sum(X_i - \overline{x})^2}{n}}$.

Tip clave: Para gráficos circulares, recordá que si las motos representan 41,312 de 70,000 vehículos totales, eso es aproximadamente 59% del mercado.

Triángulos Semejantes y Descuentos

Los triángulos semejantes son como hermanos gemelos de diferentes tamaños. Si dos triángulos tienen ángulos iguales, sus lados correspondientes son proporcionales. Por ejemplo, si $\frac{AC}{DE} = \frac{BC}{BE}$, podés encontrar cualquier lado faltante usando regla de tres.

Con medidas de 5 cm, 15 cm y 3 cm, establecés la proporción: $\frac{5}{3} = \frac{15}{BE}$. Multiplicás en cruz y obtenés $BE = 9$ cm. Los triángulos rectángulos se clasifican así porque tienen un ángulo de 90°.

Para calcular descuentos correctamente, si un celular cuesta $840,000 con 30$840,000 × 30 ÷ 100 = $252,000 de descuento.

Si $840,000 representa el 70$840,000 ÷ 0.70 = $1,200,000.

Dato importante: En triángulos semejantes, la proporcionalidad entre lados correspondientes es la clave para resolver cualquier problema.

Teorema de Pitágoras y Probabilidades

El teorema de Pitágoras es tu mejor amigo con triángulos rectángulos: $c^2 = a^2 + b^2$. Si tenés un triángulo con hipotenusa de 10 y un cateto de 8, el otro cateto se calcula: $10^2 = x^2 + 8^2$, entonces $100 = x^2 + 64$, por lo que $x^2 = 36$ y $x = 6$.

El perímetro se obtiene sumando todos los lados: 10 + 8 + 6 = 24. Es súper directo una vez que conocés todas las medidas.

Las probabilidades funcionan con la fórmula $P = \frac{\text{Casos Favorables}}{\text{Casos Posibles}}$. Con 7 bolas negras y 5 blancas (12 total), la probabilidad de sacar una negra es $\frac{7}{12} = 58.33\%$.

Para garantizar sacar 3 bolas blancas, en el peor escenario sacarías todas las 7 negras primero, entonces necesitás extraer 10 bolas mínimo. Para igualar probabilidades de negras y blancas, necesitás que ambas sean $\frac{1}{2}$.

Truco de examen: En probabilidades, siempre pensá en el peor escenario posible para problemas de "garantía".

Áreas, Combinaciones y Trigonometría

Para calcular el área de rectángulos agrupados, sumás las áreas individuales. Si tenés rectángulos de $2x \times 3$, $x \times 3$, $x \times 2$, y $2x \times 2$, las áreas son $6x$, $3x$, $2x$ y $4x$. El área total es $6x + 3x + 2x + 4x = 15x$.

Cuando $x = 5$, el área total es $15(5) = 75$ unidades cuadradas. También podés factorizar: $3x(2 + 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{3}) = 3x(\frac{5x + 2}{3})$.

Las combinaciones usan la fórmula $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ cuando el orden no importa. Para formar grupos de 3 estudiantes entre 15, calculás $C(15,3) = \frac{15!}{3! \times 12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ grupos diferentes.

En trigonometría, usás las razones seno, coseno y tangente. Con ángulos de 30° y 60°, y distancias de 2m y 10m desde la base del edificio, podés calcular la altura usando $\tan(60°) = \frac{h}{2}$ y $\tan(30°) = \frac{h}{10}$.

Recordá: El factorial de n (n!) es el producto de todos los números desde 1 hasta n. Por ejemplo: 5! = 5×4×3×2×1 = 120.