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ICFES: Matemáticas

8 de dic de 2025

125

9 páginas

Introducción a la Geometría y su Historia

Valeria Duran @valeriadu_by098

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$# Lenite de un ceciente $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} f(x)$ # Loite de una potents $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x$

Límites y Fundamentos de Geometría

Los límites son como las reglas básicas de cómo se comportan las funciones cuando se acercan a un valor específico. Pensá en ellos como el "destino" hacia donde va una función, y hay reglas claras para calcularlos.

Para límites de cocientes si tenés $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ , podés dividir los límites por separado siempre que $g(x) \neq 0$ . Para límites de funciones compuestas como raíces o logaritmos, simplemente aplicás la función al límite que ya calculaste.

La geometría $de las palabras griegas "geo" = tierra y "metría" = medida$ evolucionó desde sistemas antiguos hasta el Sistema Internacional de Unidades. Los reyes europeos como Carlomagno definían medidas usando partes de su cuerpo el pie del rey, la distancia de la nariz a los dedos para la yarda.

Dato curioso La Convención del Metro de 1875 estableció las unidades que usamos hoy el metro se define por la velocidad de la luz, el segundo por radiación de cesio, y el kilogramo por un prototipo internacional.

$# Lenite de un ceciente $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} f(x)$ # Loite de una potents $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x$

Conversiones, Perímetros y Áreas

La conversión de unidades es súper práctica - transformás valores entre diferentes medidas de la misma magnitud. Los prefijos te facilitan todo kilo (10³), mega (10⁶), mili (10⁻³), micro (10⁻⁶).

El perímetro es simplemente sumar todos los lados de una figura - pensá en caminar alrededor del borde. Se mide en unidades lineales como metros o centímetros.

El área mide la superficie que ocupa una figura. Cada forma geométrica tiene su fórmula específica cuadrados usan $A = l²$ , rectángulos $A = b × h$ , y triángulos $A = \frac{b × h}{2}$ .

Tip de examen Para círculos recordá que π ≈ 3.1416, y que el área es $A = πr²$ mientras que el perímetro (circunferencia) es $P = 2πr$ .

$# Lenite de un ceciente $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} f(x)$ # Loite de una potents $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x$

Volumen y Conceptos Geométricos Básicos

El volumen mide el espacio tridimensional que ocupa un objeto - largo × ancho × altura. Para formas básicas cubos usan $V = a³$ , cilindros $V = πr²h$ , y conos $V = \frac{1}{3}πr²h$ .

Los elementos geométricos fundamentales se construyen progresivamente. Un punto no tiene dimensión pero marca ubicación específica. Una línea es una sucesión infinita de puntos (unidimensional). El plano cartesiano combina dos dimensiones con ejes x (abscisas) y y (ordenadas).

Las líneas pueden ser horizontales, diagonales, quebradas, curvas o perpendiculares. Conceptos importantes puntos colineales están en la misma recta, y puntos coplanares están en el mismo plano.

Recuerda Dos puntos determinan una recta única, y dos planos que se intersectan forman una línea recta.

$# Lenite de un ceciente $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} f(x)$ # Loite de una potents $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x$

Ángulos y Elementos de Triángulos

Los ángulos se forman cuando dos rectas se cruzan en un punto llamado vértice. Se miden en grados ángulo recto = 90°, ángulo llano = 180°, vuelta completa = 360°.

Tipos importantes de ángulos complementarios suman 90°, suplementarios suman 180°, adyacentes comparten vértice y lado común, opuestos por el vértice son iguales.

Los triángulos tienen elementos clave que necesitás dominar. Las alturas son perpendiculares desde un vértice al lado opuesto. Las mediatrices son perpendiculares desde el punto medio de cada lado. Las medianas van desde el punto medio de un lado al vértice opuesto.

Para recordar Las bisectrices dividen ángulos por la mitad, y su intersección (incentro) es el centro del círculo inscrito en el triángulo.

$# Lenite de un ceciente $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} f(x)$ # Loite de una potents $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x$

Centros de Triángulos y Clasificaciones

Todo triángulo tiene cuatro centros importantes el baricentro (intersección de medianas, centro de gravedad), circuncentro (intersección de mediatrices, centro del círculo circunscrito), incentro (intersección de bisectrices), y ortocentro (intersección de alturas).

Los triángulos congruentes tienen igual forma y tamaño. Los triángulos semejantes tienen ángulos iguales pero diferentes tamaños, con lados proporcionales.

Clasificación por lados equilátero (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales), escaleno (todos diferentes). Por ángulos acutángulo (todos menores a 90°), rectángulo (un ángulo de 90°), obtusángulo (un ángulo mayor a 90°).

Propiedad clave En cualquier triángulo, la suma de dos lados siempre es mayor que el tercer lado (desigualdad triangular).

$# Lenite de un ceciente $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} f(x)$ # Loite de una potents $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x$

Cuadriláteros y Circunferencias

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados con cuatro vértices y dos diagonales. Se clasifican según paralelismo paralelogramos (lados opuestos paralelos), rectángulos (cuatro ángulos rectos), rombos (cuatro lados iguales), cuadrados (lados iguales y ángulos rectos).

Una circunferencia es una línea curva cerrada donde todos los puntos están a igual distancia del centro. Elementos esenciales radio (centro a cualquier punto), diámetro $el doble del radio, $d = 2r$$ , cuerda (segmento entre dos puntos), tangente (recta que toca en un solo punto).

La longitud de la circunferencia se calcula con $L = 2πr$ o $L = πd$ . Un arco es una porción de la circunferencia, y una corona circular es el área entre dos circunferencias concéntricas.

Constante π La razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro siempre es π ≈ 3.1416.

$# Lenite de un ceciente $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} f(x)$ # Loite de una potents $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x$

Polígonos y Fórmulas de Volumen

Los polígonos regulares tienen todos los lados y ángulos iguales. Sus elementos incluyen vértices, lados, centro, apotemas (del centro al punto medio de cada lado) y radios. El área se calcula $A = \frac{Perímetro × apotema}{2}$ .

Los polígonos irregulares tienen lados y ángulos desiguales, requiriendo métodos diferentes para calcular área y perímetro.

Las fórmulas de volumen para cuerpos tridimensionales son esenciales prismas $V = A_{base} × h$ , pirámides $V = \frac{A_{base} × h}{3}$ , esferas $V = \frac{4πr³}{3}$ , cilindros $V = πr²h$ , conos $V = \frac{πr²h}{3}$ .

Tip práctico Para troncos de pirámide y cono, las fórmulas incluyen las áreas de ambas bases y consideran la altura entre ellas.

$# Lenite de un ceciente $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} f(x)$ # Loite de una potents $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x$

Sistemas de Coordenadas

Los sistemas de coordenadas usan números para establecer posiciones en el espacio. Las coordenadas cartesianas son las más comunes pares ordenados (x,y) para planos 2D o trios (x,y,z) para espacios 3D.

Las coordenadas cilíndricas (r,θ,z) combinan coordenadas polares en el plano xy con altura z. Las coordenadas esféricas (ρ,θ,φ) usan distancia al origen, ángulo horizontal y ángulo desde el eje z.

Conversiones importantes de cilíndricas a rectangulares $x = r\cos θ$ , $y = r\sen θ$ , $z = z$ . De esféricas a rectangulares $x = ρ\sen φ \cos θ$ , $y = ρ\sen φ \sen θ$ , $z = ρ\cos φ$ .

Aplicación real Las coordenadas esféricas son perfectas para GPS y astronomía, similar al sistema latitud-longitud de la Tierra.

$# Lenite de un ceciente $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} f(x)$ # Loite de una potents $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x$

Coordenadas Esféricas y Trigonometría

Para convertir entre sistemas de coordenadas, usás fórmulas específicas. De rectangulares a esféricas $ρ² = x² + y² + z²$ , y los ángulos se calculan con funciones trigonométricas inversas.

Las superficies en coordenadas esféricas se representan con ecuaciones como $ρ = c$ (esfera), $θ = c$ (semiplano vertical), $φ = c$ (semicono). Estas representaciones simplifican cálculos en problemas con simetría esférica.

La trigonometría $trigon = triángulo, metron = medida$ estudia las relaciones en triángulos. En triángulos rectángulos, la hipotenusa es el lado más largo, opuesto al ángulo recto.

Historia interesante La trigonometría se usó durante siglos en topografía, navegación y astronomía antes de convertirse en herramienta fundamental de la matemática moderna.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

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Introducción a la Geometría y su Historia

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¿Te has preguntado cómo funciona la matemática detrás del GPS o cómo los arquitectos calculan el espacio de un edificio? Este contenido te lleva desde los límites básicos hasta conceptos fascinantes como sistemas de coordenadas esféricas y trigonometría. Es matemática... Mostrar más

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Para límites de cocientes: si tenés $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ , podés dividir los límites por separado siempre que $g(x) \neq 0$ . Para límites de funciones compuestas como raíces o logaritmos, simplemente aplicás la función al límite que ya calculaste.

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El perímetro es simplemente sumar todos los lados de una figura - pensá en caminar alrededor del borde. Se mide en unidades lineales como metros o centímetros.

El área mide la superficie que ocupa una figura. Cada forma geométrica tiene su fórmula específica: cuadrados usan $A = l²$ , rectángulos $A = b × h$ , y triángulos $A = \frac{b × h}{2}$ .

Tip de examen: Para círculos recordá que π ≈ 3.1416, y que el área es $A = πr²$ mientras que el perímetro (circunferencia) es $P = 2πr$ .

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El volumen mide el espacio tridimensional que ocupa un objeto - largo × ancho × altura. Para formas básicas: cubos usan $V = a³$ , cilindros $V = πr²h$ , y conos $V = \frac{1}{3}πr²h$ .

Las líneas pueden ser horizontales, diagonales, quebradas, curvas o perpendiculares. Conceptos importantes: puntos colineales están en la misma recta, y puntos coplanares están en el mismo plano.

Recuerda: Dos puntos determinan una recta única, y dos planos que se intersectan forman una línea recta.

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Ángulos y Elementos de Triángulos

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Tipos importantes de ángulos: complementarios suman 90°, suplementarios suman 180°, adyacentes comparten vértice y lado común, opuestos por el vértice son iguales.

Para recordar: Las bisectrices dividen ángulos por la mitad, y su intersección (incentro) es el centro del círculo inscrito en el triángulo.

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Todo triángulo tiene cuatro centros importantes: el baricentro (intersección de medianas, centro de gravedad), circuncentro (intersección de mediatrices, centro del círculo circunscrito), incentro (intersección de bisectrices), y ortocentro (intersección de alturas).

Los triángulos congruentes tienen igual forma y tamaño. Los triángulos semejantes tienen ángulos iguales pero diferentes tamaños, con lados proporcionales.

Clasificación por lados: equilátero (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales), escaleno (todos diferentes). Por ángulos: acutángulo (todos menores a 90°), rectángulo (un ángulo de 90°), obtusángulo (un ángulo mayor a 90°).

Propiedad clave: En cualquier triángulo, la suma de dos lados siempre es mayor que el tercer lado (desigualdad triangular).

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Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados con cuatro vértices y dos diagonales. Se clasifican según paralelismo: paralelogramos (lados opuestos paralelos), rectángulos (cuatro ángulos rectos), rombos (cuatro lados iguales), cuadrados (lados iguales y ángulos rectos).

Una circunferencia es una línea curva cerrada donde todos los puntos están a igual distancia del centro. Elementos esenciales: radio (centro a cualquier punto), diámetro $el doble del radio, $d = 2r$$ , cuerda (segmento entre dos puntos), tangente (recta que toca en un solo punto).

Constante π: La razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro siempre es π ≈ 3.1416.

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Los polígonos irregulares tienen lados y ángulos desiguales, requiriendo métodos diferentes para calcular área y perímetro.

Las fórmulas de volumen para cuerpos tridimensionales son esenciales: prismas $V = A_{base} × h$ , pirámides $V = \frac{A_{base} × h}{3}$ , esferas $V = \frac{4πr³}{3}$ , cilindros $V = πr²h$ , conos $V = \frac{πr²h}{3}$ .

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Sistemas de Coordenadas

Los sistemas de coordenadas usan números para establecer posiciones en el espacio. Las coordenadas cartesianas son las más comunes: pares ordenados (x,y) para planos 2D o trios (x,y,z) para espacios 3D.

Conversiones importantes: de cilíndricas a rectangulares: $x = r\cos θ$ , $y = r\sen θ$ , $z = z$ . De esféricas a rectangulares: $x = ρ\sen φ \cos θ$ , $y = ρ\sen φ \sen θ$ , $z = ρ\cos φ$ .

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Coordenadas Esféricas y Trigonometría

Para convertir entre sistemas de coordenadas, usás fórmulas específicas. De rectangulares a esféricas: $ρ² = x² + y² + z²$ , y los ángulos se calculan con funciones trigonométricas inversas.

La trigonometría $trigon = triángulo, metron = medida$ estudia las relaciones en triángulos. En triángulos rectángulos, la hipotenusa es el lado más largo, opuesto al ángulo recto.

Historia interesante: La trigonometría se usó durante siglos en topografía, navegación y astronomía antes de convertirse en herramienta fundamental de la matemática moderna.

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Biologia

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